Et et ou (ou, ou ou et)

[Médiat]

Bonjour,

on peut aussi remarquer que le produit des premiers nombres premiers de vérifie cette formule.

Voilà ce que c'est que de changer de notation en cours de rédaction, il faut lire :

on peut aussi remarquer que le produit des nombres premiers de inférieurs ou égaux à vérifie cette formule.

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[Superbenji]

Bonjour,
Du coup je me suis replongé dans mes recherches maintenant que j'y vois mieux, lorsque qu'un modèle de AP réalise tout les types qui sont calculables (et finiment réalisable), on dit qu'il est récursivement saturé, et ces modèles ci forment une classe particulièrement intéressante des modèles de AP. On peut définir similairement ces notion dans ZFC. Pourrais t-on avoir un exemple de type dans ZFC ?

[Médiat]

Bonjour,

A priori tout ensemble de formule est un type, mais ils ne sont pas tous intéressants ; je n'ai pas d'exemple en tête, il faudrait rechercher des démonstration de stabilité (et donc des papiers de Shelah, mais il y en a plus de 1000).

[invite7b7f1ad0]

Il y a un moteur de recherche : https://shelah.logic.at/paper-table/all/detailed/dt/ , il renvoi 14 entrées avec "stability" comme mot clé dans le filtre title

[Médiat]

Pourrais t-on avoir un exemple de type dans ZFC ?

Une idée qui me traverse la tête : définir un type qui impose l'existence de certains sous-ensembles de

[Superbenji]

Ah oui, tout bêtement.

[Médiat]

Je préfère dire "tout simplement"

[DidierGr]

Bonjour,
Je rebondis tardivement mais certains points me restent obscurs, comme ceux-ci :

La différence se fait jour quand l'axiomatisation est infinie, car

1) On ne peut plus utiliser

Mais par contre :

n'est-il pas équivalent ou n ne peut-il être aussi grand que possible ?

2) Il n'y a pas d'équivalent pour la disjonction

comme :


Il est vrai qu'il serait inhabituel de bâtir une axiomatique avec des disjonctions mais je n'y vois pas d'impossibilités dans la mesure où:

sauf grossière erreur de ma part, ce qui est tout à fait possible ...

Dire qu'un modèle est fini, c'est dire qu'il est de taille au plus 2, ou de taille au plus 3, ou ...

Par exemple:

En quoi, est-ce impossible ?

[Médiat]

n'est-il pas équivalent ou n ne peut-il être aussi grand que possible ?

Non, il y a une différence énorme entre ensemble fini aussi grand que l'on veut et ensemble infini.

C'est à rapprocher d'un autre fait : les deux phrases suivantes (dans le langage adéquat et T une théorie dans ce langage) ne sont pas formellement identiques :
1. Pour tout et pour tout je peux démontrer, dans le cadre de la théorie T que : .
2. Je peux démontrer dans le cadre de la théorie T que :

Il est vrai qu'il serait inhabituel de bâtir une axiomatique avec des disjonctions mais je n'y vois pas d'impossibilités dans la mesure où:

Vous pouvez le faire avec une disjonction fini aussi grande que vous voulez, mais pas une disjonction infinie.

sauf grossière erreur de ma part, ce qui est tout à fait possible ...

C'est correcte, mais ne marche que dans le cas fini

[DidierGr]

Décidément, les subtilités des ensembles infinis m'échappent

[Médiat]

Il y a un exemple très simple : il existe des nombres entiers aussi grand que l'on veut, pourtant aucun n'est infini ...

https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post4094567 en particulier la partie "ludique" du dernier message

[Deedee81]

Salut,

C'est à rapprocher d'un autre fait : les deux phrases suivantes (dans le langage adéquat et T une théorie dans ce langage) ne sont pas formellement identiques :
1. Pour tout et pour tout je peux démontrer, dans le cadre de la théorie T que : .
2. Je peux démontrer dans le cadre de la théorie T que :

Est-ce que ce n'est pas équivalent selon le principe d'induction ? Quel est le statut de ce principe en logique formelle ?
Ou alors serait-ce juste que "équivalent" (peut-être au niveau sémantique ?) ne veut pas dire identique (au sens formel) ?

[Deedee81]

Est-ce que ce n'est pas équivalent selon le principe d'induction ? Quel est le statut de ce principe en logique formelle ?
Ou alors serait-ce juste que "équivalent" (peut-être au niveau sémantique ?) ne veut pas dire identique (au sens formel) ?

Ah, je crois que je viens de comprendre (en regardant le lien). Mais pour éviter de dire des bêtises je préfère laisser Médiat apporter une réponse.

[Médiat]

Bonjour,

Est-ce que ce n'est pas équivalent selon le principe d'induction ? Quel est le statut de ce principe en logique formelle ?
Ou alors serait-ce juste que "équivalent" (peut-être au niveau sémantique ?) ne veut pas dire identique (au sens formel) ?

Le principe d'induction est un axiome de Peano, et comme je cite des entiers, ici, cela ne pourrait marcher que dans IN pour Peano.

La différence, c'est que dans le premier cas j'ai un schéma de démonstration pour tous les couples d'entiers, dans le deuxième j'ai une démonstration formelle pour tous les éléments du modèle.

L'exemple que j'ai donné apparaît dans l'arithmétique de Robinson.

[Deedee81]

Le principe d'induction est un axiome de Peano, et comme je cite des entiers, ici, cela ne pourrait marcher que dans IN pour Peano.

D'accord. C'est encore un peu plus strict que je pensais (je pensais au dénombrable en effet, mais je ne pensais pas à Peano ni à Robinson).
J'ai bien fait de demander. Merci,

[Médiat]

La différence, c'est que dans le premier cas j'ai un schéma de démonstration pour tous les couples d'entiers, dans le deuxième j'ai une démonstration formelle pour tous les éléments du modèle.

J'aurais dû écrire "pour tous les couples d'entiers naïfs", cela aurait été plus clair

[Deedee81]

J'aurais dû écrire "pour tous les couples d'entiers naïfs", cela aurait été plus clair

J'ai dû chercher un peu, alors si ça peut aider d'autres :
https://forums.futura-sciences.com/m...s-formels.html

[DidierGr]

Difficile à avaler ces entiers "naïfs" du métalangage quand ils servent à définir le même entier de l'arithmétique, sauf à représenter une facilité d'écriture, il semble absurde de définir un entier n par le nième successeur de 0 et d'écrire ce n dans la définition. Il me semble que le métalangage devrait être aussi "pauvre" lexicalement que ce qu'il défini, non ?

[Médiat]

Vous faites une confusion, dans l'écriture , le 5 de droite ne sert pas à définir le 5 de gauche, est juste une facilité d'écriture, que tout le monde comprend, la définition c'est

[invite23cdddab]

Définition formelle qui est un peu longue à écrire quand il s'agit de l'entier 454642

[Médiat]

Définition formelle qui est un peu longue à écrire quand il s'agit de l'entier 454642

Petit joueur : https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post5114148

[Deedee81]

Salut,

Ces remarques me font penser à certaines démonstrations "élémentaires" qui ont été écrites de manière strictement formelles (par exemple pour une vérification avec Coq) et qui font des pages et des pages. Ca rappelle certaines images humoristique où ont voit un tableau bourré d'équations et à la fin "et donc 1+1=2"

[Médiat]

Bonjour,

Ca rappelle certaines images humoristique où ont voit un tableau bourré d'équations et à la fin "et donc 1+1=2"

Pas humoristique, mais les Principia Mathematica de Whitehead et Russell

[Deedee81]

Pas humoristique, mais les Principia Mathematica de Whitehead et Russell

C'est vrai en plus.
(Mais l'image humoristique existe bien)

Une autre un peu dans le style qui m'avait fait beaucoup rire est un mathématicien qui couvre environ 10 mètres de tableau noir avec des calculs élaborés.
Et au milieu, on voit la femme d'ouvrages pointer du doigt et dire "il y a une faute là"


Bon, on n'est pas en forum ludique là, j'arrête ce quasi HS

[Médiat]

Avant de clore le HS, je me souviens d'un dessin humoristique des années 40, on y voit un robot androïde assis à un bureau où il y a divers papiers griffonnés d'équations complexes, et ... une règle à calcul

[karlp]

Bonjour très cher Médiat, bonjour à tous

Bonjour,

Pas humoristique, mais les Principia Mathematica de Whitehead et Russell

Frege avait au moins fourni l'effort de s'attaquer à la démonstration que 2+2 = 4
Mlaheureusement sa démonstration s'est effondrée à cause de Russell (la jalousie je présume )

[invite23cdddab]

Il me semble que le 1+1=2 des Principia Mathematica, concerne l'arithmétique des cardinaux.

[Médiat]

Il me semble que le 1+1=2 des Principia Mathematica, concerne l'arithmétique des cardinaux.

De mémoire je dirais oui, mais il y a longtemps que je n'ai relu ces 3 volumes (2000 pages) il y a aussi l'arithmétique des ordinaux

[DidierGr]

Il y a un exemple très simple : il existe des nombres entiers aussi grand que l'on veut, pourtant aucun n'est infini ...
https://forums.futura-sciences.com/l...ml#post4094567 en particulier la partie "ludique" du dernier message

En effet, très ludique, j'ai envie de mentionner comme au cinéma:
Toute ressemblance avec des situations existantes ou ayant existé ne saurait être que fortuite.

Un train part à vide de son dépot (gare N° 0) et s'arrête à chacune des stations d'une lignes où les gares sont numérotées à partir de 1.
A chaque station 10 voyageurs entre dans le train, et 1 voyageur en descend.

Celui qui descend à la première station a dû se tromper de train, mais admettons, c'est ludique

On suppose que le train met 1 heure entre la station N° 1 et la 2, puis 1/2 heure entre la 2 et la 3 etc, la durée est divisée par 2 à chaque station.

Et l'arrêt pour faire monter et descendre les voyageurs, il est de combien de temps ?

Combien il y a-t-il de voyageur au bout de 2 heures ?

Visiblement, pas de temps d'arrêt entre chaque station, le problème aurait été tout autre, trop réaliste peut-être.
La c'est une citation de Pierre Dac qui me vient à l'esprit:
Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares.
Bon, comme c'est ludique, j'admets l'énoncé ... Donc nous voici avec une variante temporelle du paradoxe de Zenon (Achille et la tortue).
La première gare étant atteinte à 1h, la 2ème à 1h30, etc ... la nième est atteinte à 2h moins 1/n (heure).

On remarque qu'à chaque station le train comporte 9 voyageur de plus qu'à la station précédente, et pourtant au bout de 2 heures, on peut choisir

La, le temps s'arrête, comme à la frontière d'un trou noir, les 2 heures ne sont jamais atteintes.

1) il est vide (à la station n, le voyageur n descend)

Très curieux comme résultat, que sont devenus les 10n voyageurs qui sont montés, en toute logique, le train compte 9n voyageurs, non ?

2) il contient p voyageurs, quelque soit p (on bidouille pour laisser p voyageurs parmi les premiers, puis on fait descendre celui dont le N° est immédiatement supérieur au précédent).

???? il faudra m'expliquer.

3) il contient une infinité de voyageurs (à la station n, le voyageur 2n descend).

Oui, pour moi, 9n tend vers l'infini quand 1/n avant 2 heures tend vers 0.
Comme ce problème met en oeuvre des nombres entiers, l'infini est Aleph zero, le nombre de voyageurs sera donc égale à Aleph zero mais nous n'aurons pas atteint les 2 heures car il manquera encore un temps epsilon = 1/(Aleph zero).

Nous sommes dans un cas de figure où le temps mathématique ne correspond pas à un temps physique classique qui s'écoule régulièrement mais à un temps relativiste qui s'arrête juste avant 2 heures.
A coté de ça, le temps de Planck, c'est de la rigolade D'ailleurs, à quoi ressemble un train qui parcours un trajet entre deux gares avec un temps inférieur au temps de Planck ?

Mes réponses et mes remarques sont à prendre avec humour, bien entendu ...

[DidierGr]

Vous faites une confusion, dans l'écriture ....

Non pas du tout, je comprends cette facilité d'écriture (à mon sens maladroite) mais je m'inquiète quand un élément de cette facilité d'écriture passe dans une écriture formelle sous le nom d'entier "naïf" qui prête réellement à confusion et d'ailleurs la confusion a été faite.

Cela étant, merci beaucoup pour ce sujet qui est réellement passionnant même si je n'en ai pas encore tout compris.