Et et ou (ou, ou ou et)

[Merlin95]

Moi jai trouvé mais je laisse les autres chercher.
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[karlp]

Quand, on fait une démonstration par récurrence sur la complexité d'une formule, on doit démontrer pour les formules atomiques (ce qui correspond à n=0), puis si on suppose la propriété vraie pour et pour alors on démontre que c'est vrai pour , et pour , à moins que l'on trouve plus facile de démontrer pour , et pour , ce qui correspond à f(n) entraine f(n+1) dans les récurrences usuelles (il y a aussi quelque chose à faire pour les quantificateurs, mais ce n'est pas le sujet)

Je vous avoue ne pas comprendre un point (je ne connais pas la logique du premier ordre: je l'ai un peu étudiée par moi-même au siècle dernier- je vous laisse imaginer mon niveau)
Si la propriété est vraie pour "p et q" je ne comprends pas comment elle peut être vraie pour "non p" ... ou alors :
J'essaye de prendre des exemples : si "p et q" est " décidable", "non p" l'est aussi (je suppose)

Est-ce que "décidable" est une propriété ?
Est-ce que vous auriez un autre exemple (pour novice) d'une propriété au sens où vous l'entendez ici ?

(Je crois comprendre que "p" correspond à n = 0 ; je crois comprendre également que "p et q" correspond à n= 1 - En revanche, je me pose la question pour "non p" : je crois que c'est aussi n=1 )

[Médiat]

Donc ce n'est ni au niveau du langage naturel, ni au niveau de la disjonction et conjonction formelle ? Quelque chose au niveau du métalangage mathématique ?

Si on prend comme définition de métalangage mathématique le langage qui décrit le langage mathématique, je dirais oui.

[Médiat]

Bonjour,

,

le "et" est une "partie" du "ou" et à l'inverse, le ou contient le et
Pour les ensembles, c'est plus clair, l'intersection de deux ensembles A B est une partie du sous-ensemble union de A et de B.
A l'inverse, l'union de deux ensemble contient son intersection.

Non, ce n'est pas cela,par contre c'est bien là que se trouve la différence entre union et intersection ensemblistes

[Médiat]

...

Je vais essayer d'être plus clair (sans parler des quantificateurs) : on appelle complexité d'une formule dans le langage L :

p est de complexité 0 si p est atomique
p est de complexité n+1 si p = q et q est de complexité n
p est de complexité n+1 si p = q r (*) et max( complexité(q), complexité(r)) = n

La récurrence s'écrit alors comme d'habitude

(j'aurais pu écrire )

[karlp]

Je vais essayer d'être plus clair (sans parler des quantificateurs) : on appelle complexité d'une formule dans le langage L :

p est de complexité 0 si p est atomique
p est de complexité n+1 si p = q et q est de complexité n
p est de complexité n+1 si p = q r (*) et max( complexité(q), complexité(r)) = n

La récurrence s'écrit alors comme d'habitude

(j'aurais pu écrire )

Merci très cher Médiat : ce point là est parfaitement clair pour moi désormais.

Est-ce que les propriétés dont vous évoquez la démonstration par récurrence sur la complexité relèvent de ce métalangage dont vous faîtes état dans votre réponse à Superbenji (message 63) ?

[Médiat]

Ce sont des démonstrations utilisés en théorie des modèles (par exemple), donc, sans savoir ce que sont ces formules, et souvent ni ce qu'est le langage, mais ce sont bien des formules du langage.

[Médiat]

oupps, la définition aurait été meilleure comme cela :

p est de complexité n+1 si p = q r (*) et complexité(q) + complexité(r) = n

Mais cela ne change rien, surtout que dans la vraie vie on ne l'écrit jamais comme cela (on ne passe pas par une récurrence sur n, mais directement sur la forme de la formule)

[Médiat]

Je ne pourrai pas répondre avant demain matin.

Médiat AFK

[invite7b7f1ad0]

Bonjour, dans le post sur les multivers je n'ai pas réussi (je ne sais pas pourquoi) à écarter une configuration et/et incompatible pour définir un ou:

Sur la question des multivers, il me manque un aspect conceptuel: la situation de ces autres univers: si en d'autres endroits? si au même moment? si au même endroit en même temps? si au même endroit pas en même temps? si pas au même endroit pas en même temps?..etc

L'existence d'une propriété incompatible avec les implications des modalités admises en logique du premier ordre est-elle ce que l'on appelle le forcing?
Peut-on formaliser un état intermédiaire non inclus dans les combinaisons excluantes basées sur des suites (et/ou), la combinatoire de ces deux états modaux peut-elle générée l'incertitude? Une propriété "non exclue" exprimable en langage usuel en "peut-être?"
J'espère ne pas être encore trop nawak comme souvent..
Je suis un poil HS, mais je cherche ce que peut être une hypothèse formalisée.

[DidierGr]

Bonsoir,

p est de complexité n+1 si p = non(q) et q est de complexité n
p est de complexité n+1 si p = q V r et max( complexité(q), complexité(r)) = n

Si je comprends bien, le fait d'ajouter un opérateur augmente le niveau de complexité de 1.
si p est un atome, non(p) est alors de complexité 1 donc non(non(p)) serait de complexité 2 ? Encore un coup du tiers exclut !
(p V q) est de complexité 1 si p, q sont atomiques alors non(p V q) est de complexité 2 mais non(p V q) <=> (non(p) et non(q)) de complexité 2 ...

Je ne sais pas où tout cela me mène.

[Deedee81]

Salut,

Moi jai trouvé mais je laisse les autres chercher.

Un petit spoiler avec un indice ?
(comme ça, ceux qui veulent éviter de regarder peuvent l'éviter et Médiat pourra confirmer si c'est bien ça)

[Médiat]

Bonjour,

L'existence d'une propriété incompatible avec les implications des modalités admises en logique du premier ordre est-elle ce que l'on appelle le forcing?
Peut-on formaliser un état intermédiaire non inclus dans les combinaisons excluantes basées sur des suites (et/ou), la combinatoire de ces deux états modaux peut-elle générée l'incertitude? Une propriété "non exclue" exprimable en langage usuel en "peut-être?"
J'espère ne pas être encore trop nawak comme souvent..
Je suis un poil HS, mais je cherche ce que peut être une hypothèse formalisée.

nawak, mais vous le savez !

[Médiat]

Réponse en fin de matinée sauf si certain(s) demande(nt) plus de temps ou si Merlin95 veut rédiger la réponse (ce n'est pas très long)

[Deedee81]

Réponse en fin de matinée sauf si certain(s) demande(nt) plus de temps ou si Merlin95 veut rédiger la réponse (ce n'est pas très long)

Génial

Avec un spoiler au cas où certains voudraient encore y réfléchir un peu
(pas moi, je n'y arrive pas/plus .... et c'est pas cause du vendredi ou de la chaleur de la mort qui tue .... c'est juste que je n'ai vraiment plus d'idée)

[Médiat]

Bonjour,

Si je comprends bien, le fait d'ajouter un opérateur augmente le niveau de complexité de 1.
si p est un atome, non(p) est alors de complexité 1 donc non(non(p)) serait de complexité 2 ? Encore un coup du tiers exclut !
(p V q) est de complexité 1 si p, q sont atomiques alors non(p V q) est de complexité 2 mais non(p V q) <=> (non(p) et non(q)) de complexité 2 ...

Je ne sais pas où tout cela me mène.

Ne perdez pas de temps là-dessus, je ne l'ai écrit (avec une erreur) que pour faire le lien avec la récurrence usuelle, mais dans la pratique on ne l'utilise pas

[karlp]

Bonjour très cher Médiat

Réponse en fin de matinée sauf si certain(s) demande(nt) plus de temps ou si Merlin95 veut rédiger la réponse (ce n'est pas très long)

Voilà une merveilleuse nouvelle : moi non plus je n'ai plus d'idée

[Médiat]

Tant pis pour Merlin95, je m'y colle :

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Comme dit plusieurs fois la différence fondamentale n'est pas entre et ...

Il y a un cas où tout le monde sait qu'il faut appliquer une conjonction qui n'est pas écrite : la liste des axiomes d'une théorie, par exemple, pour une relation d'équivalence on les 3 axiomes :
1)
2)
3)

Mais en fait j'aurais pu écrire l'axiome :
1)

Et c'est le cas de toute axiomatisation finie que de pouvoir être réduite à un seul axiome ; ayant remplacer le mot conjonction par , ce n'est pas exactement là que se situe la différence.

La différence se fait jour quand l'axiomatisation est infinie, car

1) On ne peut plus utiliser
2) Il n'y a pas d'équivalent pour la disjonction

Par exemple, soit une théorie (sur un langage égalitaire) qui a, au moins des modèles finis plus grand que n'importe quel entier (relation d'équivalence, relation d'ordre, théorie des groupes ...)

Soit l'axiome : , axiome qui dit que l'on a au moins éléments dans le modèle

La théorie enrichie des axiomes est consistante (je pourrais élaborer), elle vérifie la conjonction des , et donc ses modèles sont infinis.

Il est donc facile d'imposer à une théorie (sous certaines conditions) de n'avoir que des modèles infinis

Pour imposer de n'avoir que des modèles finis (sans limite de taille), il faudrait utiliser une disjonction, et on ne sait pas faire.

La différence entre conjonction et disjontion est donc, au moins, aussi fondamentale qu'entre fini et infini.

Qu'est-ce que cela dit de notre façon de raisonner, je n'en sait rien, je suis sûr que karlp aura plus de réponses que moi, si le sujet l'intéresse.

Si cela intéresse certains, je pourrais donner un autre exemple plus historique et légèrement différent de la notion d'axiomatisation, et qui ouvre des portes vers des choses plus compliquées (comme la stabilité)

[Deedee81]

Joliiiiii, en tout cas moi je trouve ça assez subtil et pas si simple du tout.

Merci, là j'ai vraiment apprécié l'énigme et sa solution

[karlp]

Mille mercis !

Je trouve la conclusion extrêmement intéressante, mais j'ai besoin d'un peu de temps pour tout comprendre (vous connaissez ma lenteur légendaire )
Je verrais ensuite en quoi (et peut-être pourquoi) ça m'intéresse : pour l'instant je suis encore "fasciné"

[Deedee81]

Ah là pour le coup j'ai vite compris. Et dans ce domaine, crois moi, c'est un exploit

[Deedee81]

Question par curiosité :

 Cliquez pour afficher

Soit 1+2+3+4+.... à l'infini
Ce genre de notation t'a déjà fait bondir (avec raison, évidemment).

Ca me fait tout à fait penser à cette histoire de suite infinie de conjonction et disjonction.

Est-ce que j'ai raison de rapprocher les deux ?

[karlp]

T


Soit l'axiome : , axiome qui dit que l'on a au moins éléments dans le modèle

Est-ce que quelqu'un peut m'apprendre à lire cette formule ?

Pour le moment je sais lire : il existe a₁, il existe a₂...il existe a_n. Bien sûr je comprends i<j< ou = n , de même que a_i différent de a_j : c'est le symbole de la conjonction écrit de cette façon que je ne sais pas lire

Merci pour votre patience

[Deedee81]

C'est tout bête (la flemme latex) : Conj(de 1 à 3) ai = a1 conj a2 conj a3

[karlp]

C'est tout bête (la flemme latex) : Conj(de 1 à 3) ai = a1 conj a2 conj a3

Merci beaucoup Deedee81 !

[Médiat]

 Cliquez pour afficher

Soit 1+2+3+4+.... à l'infini
Ce genre de notation t'a déjà fait bondir (avec raison, évidemment).

Ca me fait tout à fait penser à cette histoire de suite infinie de conjonction et disjonction.

Est-ce que j'ai raison de rapprocher les deux ?

 Cliquez pour afficher

Oui, il y un rapport, mais certaines logiques admettent des "et" et des "ou" infinis et surtout dans une axiomatisation la conjonction concerne des formules closes dans le cas des langages infinitaires ce n'est pas obligatoire.

Spontanément j'aurais envie de dire que c'est plutôt comme une somme infinie convergente

[PlaneteF]

Bonjour,

Juste pour illustrer la réponse de Deedee81 (message#84), pour par exemple, cela donne :



Cordialement

[karlp]

Bonjour,

Juste pour illustrer la réponse de Deedee81 (message#84), pour par exemple, cela donne :



Cordialement

Merci beaucoup PlaneteF : je dois reconnaître que malgré les éclaircissements donnés, je ne parvenais toujours pas à être sûr de ce qu'il fallait lire.

(Oui je suis un "boulet" )

[Deedee81]

Oui, il y un rapport

Ah ça je ne savais pas. Merci,

[karlp]

J'en profite (tant que les bonnes âmes ont la patience de me répondre )

Est-ce que Tn est un axiome ou un schéma d'axiomes ?