Quelle est la valeur logique de la notion mathématique d'"ensemble" ?

[aygline]

Bonjour,

La notion d’ « ensemble » en mathématiques semble très mystérieuse, a l’air plutôt vague ou floue, quand dans le même temps dans des définitions mathématiques en grand nombre, il est fait mention d’ « ensembles » et qu’un « ensemble » en mathématiques est aussi un élément de logique, car constitutif de définitions mathématiques en grand nombre.

Exemple la notion d’« espace métrique » dont la définition requiert la notion d’ensemble :

http://www.les-mathematiques.net/a/a/b/node4.php :

Espaces métriques et espaces normés
Définition [Métrique] Une métrique ou distance sur l'ensemble X est une application vérifiant:


(propriété dite inégalité triangulaire)
On dit alors que est un espace métrique.
Exemples:


Propriété:

… un espace métrique c’est très intuitif en somme comme notion mathématique mais sa définition contient la notion d’ « ensemble » qui, elle, peut s’avérer être autrement moins intuitive, plus abstraite et de fait pour définir des notions somme toute très intuitives, les mathématiques requièrent souvent dans leurs définitions, des notions qui peuvent s’avérer être autrement plus abstraites, telle celle d’ « ensemble ».

Puis-je parler en mathématiques d’ensembles de cailloux ou de perles, de carottes ou de navets tout en gardant la valeur logique des propositions mathématiques qui utilisent la notion d’ « ensemble » ? Comment formaliser cette notion d'ensemble ?

Repère :

http://www.les-mathematiques.net/pho....php?16,493689

merci
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[Médiat]

Bonjour,

Un ensemble est un objet d'un modèle d'une théorie des ensembles (de la même façon qu'un point est un objet d'une théorie dot certains objets sont appelés point).

Quant aux cailloux, perles, carottes et navets, ce ne sont pas des objets mathématiques, à ma connaissance, donc la question n'a pas de sens pour moi.

[aygline]

Merci de cette réponse très éclairante quand même.

En général quand une notion est difficilement formalisable, ça peut venir de deux faits indiscutables :

1) Elle relève d’une trop grande intuition, l’intuition étant ce qui « tombe sous le sens »
2) Elle est le fruit de trop d’abstraction et l’abstraction requiert le raisonnement, la raison humaine.

Dans tous les cas si c’est trop abstrait ou trop concret c’est difficilement formalisable ou formulable, ou dicible.

Un écueil étant de penser que l’intuition pure ça peut exister or il n’y a pas d’intuitions pures car toute intuition est à base de raisonnement(s) et voir cela est absolument indispensable, indépassable pour ne pas s’égarer soi-même dans des raisonnements fallacieux.

… la notion mathématique d’ « ensemble » a l’air très intuitive quand dans le même temps parler d’ensembles de carottes ou de d’atomes ou de galaxies, ça pourrait ne pas rentrer à 100% dans les canons de la logique mathématique dans son ensemble et à bien y réfléchir, cette notion qui reste mystérieuse quand même, pourrait s’avérer autrement plus abstraite et donc obscure qu’à première vue il pourrait sembler

[Médiat]

Vous avez raison, j'ai écrit il y a peu, que les deux plus grands pièges à éviter pour comprendre les mathématiques sont
1) de croire compliquée quelque chose de simple
et bien pire
2) de croire simple quelque chose de compliquée

[A voir en vidéo sur Futura]

[syborgg]

Il faut bien comprendre que la theorie axiomatique des ensembles est une tentative de modelisation de la notion intuitive d'ensemble, de meme par exemple que la geometrie euclidienne elementaire est une tentative de modelisation des notions intuitives de droite, triangle, cercle, angles, etc..
Le mot "ensemble" est utilise pour nommer a la fois la notion intuitive et la formalisation au sein de cette modelisation, ce qui peut creer une certaine confusion dans le public.
Pour comprendre vraiment pourquoi les mathematiciens ont eu besoin de formaliser cette notion intuitive d'ensemble, il faut accepter de faire un minimum de maths, et par la meme accepter a ne pas voir seulement l'aspect philosophique de la chose. Sans cela, on ne comprendra jamais vraiment le fond du fond.

[aygline]

Un ensemble est une collection d’objets (mathématiques) ou d'entités (non moins mathématiques) qui sont reliés par une relation commune :

https://perso.univ-rennes1.fr/marie-.../ensembles.pdf :

Dans une théorie mathématique, il est rare qu’un objet intervienne seul ; d’où l’idée de considérer des collections, groupements, familles, etc. d’objets, les objets ainsi “regroupés” étant désignés par individu, membre, élément, etc. Pour traduire ces deux idées complémentaires, les mathématiciens ont choisi les mots ensemble et élément.
Un ensemble est donc une collection d’objets satisfaisant un certain nombre de propriétés et chacun de ces objets est appelé élément de cet ensemble.

Un ensemble certes mais ensemble de quoi ?

Donc ça peut être un ensemble de nombres ou de points ou de segments de points genre un vecteur qui est une classe d’équivalence http://www.bibmath.net/dico/index.ph...ipollence.html

Ou alors un ensemble d’ensembles (de nombres ou autre) genre Z/nZ pour un n donné dans IN, etc.

Il reste que dans de multiples définitions mathématiques il est fait mention d’ « ensemble » sans que soit précisé de quoi, cf la définition d’un espace métrique.

Moralité la notion d’ « ensemble » en mathématiques est largement surdéterminée https://www.cnrtl.fr/definition/surdetermination, difficilement formalisable mais elle est constitutive des mathématiques et donc, les mathématiques elles-mêmes dans leur ensemble ou globalité, pourraient être elles-mêmes surdéterminées et donc « obscures » en quelque sorte.

[Médiat]

Donc vous ne lisez pas, ou ne comprenez pas les réponses qui vous sont données, sans compter une méconnaissance totale de ce que sont les mathématiques (faire appel au religieux ou à la psychologie pour parler de théorie des ensembles, celle-là on ne me l'avait jamais faite)
Vu l'extrait, j'abandonnerais le pdf mis en lien

[aygline]

« obscures » n’a rien de religieux ici, signifie simplement des bases difficilement formalisables, ce qui est le cas pour cette notion d’ « ensemble ».

[Médiat]

Vous ne lisez même pas les articles que vous mettez en lien

[Superbenji]

Bonjour,

Un ensemble certes mais ensemble de quoi ?

En théorie des ensembles, il n'y a que des ensembles, rien d'autre, un ensemble n'a pour éléments que d'autres ensembles. Ce qu'il faut comprendre, c'est que les autres objets mathématiques peuvent être construit en terme d'ensembles. Par exemple la construction ensembliste des entiers naturels: https://fr.wikipedia.org/wiki/Constr...tiers_naturels
C'est alors après cela qu'on s'autorise à parler d'ensemble de nombres, ou d'autres choses. Mais formellement parlant, c'est toujours ma première phrase qui s'applique.

[aygline]

Dans la théorie des ensembles, on définit les entiers par récurrence, en construisant explicitement une suite d'ensembles à partir de l'ensemble vide (la théorie des ensembles postule qu'il existe au minimum un tel ensemble vide).

L'idée centrale de cette méthode est de considérer chaque entier à la fois comme un ensemble (contenant le nombre correspondant d'éléments) et comme un nouvel objet ; et de construire des ensembles de plus en plus grands, en rajoutant à chaque étape à l'ensemble précédent, l'objet qui vient juste d'être formé :








• L'ensemble vide, noté , est (par définition) un entier, noté 0.
• Puis on définit l'entier n[+1] (le successeur de n) comme l'ensemble n U {n} (l'ensemble n, auquel on rajoute l'élément n).

Avec cette définition, l'entier n est l'ensemble {0, 1, ... , n - 1} des entiers naturels qui le précèdent, et la cardinalité de cet ensemble est précisément n. Les premières étape de la construction de cette suite d'entiers naturels sont :

… ça devient autrement plus abstrait et donc difficile à comprendre et donc à s’imaginer et à se représenter

[Superbenji]

Comme tu dis c'est pas facile à se représenter, mais tout l’intérêt d'une telle démarche et d'avoir un même cadre commun pour y interpréter les différentes branches des mathématiques. C'est une des choses qui en fait la force.

[aygline]

… maintenant si j’écris, par la seule efficience de ma volonté arbitraire d’écrire le mot « mathématiques », E = {m,a,t,h,é,m,a,t,i,q,u,e,s} est-ce un objet mathématique, une entité mathématique ?

Brut de décoffrage E tel qu’écrit n’a pas l'air d'être un objet mathématique car les éléments ne sont pas définis mathématiquement. En revanche je peux, ultérieurement, conférer aux lettres qui le constituent un sens mathématique et alors E sera lui-même un objet mathématique.

Genre pour n donné dans IN, Z/nZ est l’ensemble des classes d’équivalence modulo n donc un élément donné dedans est parfaitement défini mathématiquement en amont genre classe(x), x dans Z, = {y dans Z tels que il existe k dans Z tel que x-y = kn} ou quelque chose comme ça (corriger si c’est faux ce qui est possible mais en gros ça a l'air d'être ça.

Donc Z/nZ pour un n donné dans IN est lui-même un objet mathématique mais E = {m,a,t,h,é,m,a,t,i,q,u,e,s} n’est pas comme tel (produit de ma seule volonté arbitraire d’écrire le mot « mathématiques » dedans), n’a pas l'air d'être lui-même un objet mathématique.

[Deedee81]

Salut,

Brut de décoffrage E tel qu’écrit n’a pas l'air d'être un objet mathématique car les éléments ne sont pas définis mathématiquement. En revanche je peux, ultérieurement, conférer aux lettres qui le constituent un sens mathématique et alors E sera lui-même un objet mathématique.

Excuse-moi mais où veux-tu en venir ??? Je veux dire que ça, c'est évident : oui, c'est mathématique quand on le définit mathématiquement !!!!! Mais quel intérêt ???? C'est le coté "abstrait" qui te gêne et que tu essaies de dépasser ???? Ca risque de ne pas être très facile dans ce domaine !!!!

[aygline]

No but j’ai cru voir passer une petite chose pas très comment dire par ici https://perso.univ-rennes1.fr/marie-.../ensembles.pdf :

Par exemple, l’ensemble E dont les éléments sont 1, 2, 3, 4 est noté E={1,2,3,4};l’ensemble des lettres du mot mathématiques est{m, a, t, h, e, i, q, u, s}

… ensuite sur les classes modulo n, ai commis quelques erreurs donc revoir les cours …

https://homeomath2.imingo.net/znz.htm

[Deedee81]

Là je vais laisser plus qualifié que moi (Médiat ) juger de la qualité de l'article.

[Médiat]

L'article de Rennes ne correspond pas à une théorie des ensembles, mais, au mieux, à une description succinct d'une théorie naïve (je ne suis pas aller au bout, pas de temps à perdre), bref, rien à faire en "logique"

[Deedee81]

L'article de Rennes ne correspond pas à une théorie des ensembles, mais, au mieux, à une description succinct d'une théorie naïve

Merci, je n'avais pas osé le dire

[aygline]

… à bien y réfléchir il apparait que la notion d’ « ensemble » (en mathématiques) est intrinsèquement reliée à celle d’ « élément » (non moins en mathématiques) !

Qui sachant très bien ce qu’est un « élément » (mathématique) semblant devoir savoir non moins très bien ce qu’est, un « ensemble » (non moins mathématique)

[syborgg]

… à bien y réfléchir il apparait que la notion d’ « ensemble » (en mathématiques) est intrinsèquement reliée à celle d’ « élément » (non moins en mathématiques) !

Qui sachant très bien ce qu’est un « élément » (mathématique) semblant devoir savoir non moins très bien ce qu’est, un « ensemble » (non moins mathématique)

Tu est lourd, excuse moi de le dire. As tu bien lu et essaye de comprendre ce que l'on t'a dit (en particulier ma reponse, mais pas que) ?
Je le repete : si tu veux savoir ce qu'est la theorie mathematique qui s'appelle theorie axiomatique des ensembles, ZFC pour son petit nom, lit des livres de maths qui traitent du sujet, et pose des questions sur le contenu du livre si tu ne comprends pas certains points. Mais par pitie, cesse de melanger les notions populaires, les notions intuitives, l'aspect philosophique, et les notions mathematiques.

[syborgg]

PS : est on condamnes a sans cesse donner ce genre de reponses a 9 intervenants sur 10 a propos de la logique et de la theorie des ensembles ?.... le mythe de Sisyphe....

[aygline]

… êtes-vous d’accord avec

Par exemple, l’ensemble E dont les éléments sont 1, 2, 3, 4 est not é E={1,2,3,4};l’ensemble des lettres du mot mathématiques est {m, a, t, h, e, i, q, u, s}

?

En d'autres termes, si j’écris E = {m, a, t, h, e, i, q, u, s} sans préciser le sens mathématique de chaque lettre située à l’intérieur des parenthèses, E est-il un être mathématique ?

[Médiat]

… à bien y réfléchir il apparait que la notion d’ « ensemble » (en mathématiques) est intrinsèquement reliée à celle d’ « élément » (non moins en mathématiques) !

Qui sachant très bien ce qu’est un « élément » (mathématique) semblant devoir savoir non moins très bien ce qu’est, un « ensemble » (non moins mathématique)

Plus faux; tu ... inutile de préciser c'est impossible d'être plus faux

[syborgg]

… êtes-vous d’accord avec

?

En d'autres termes, si j’écris E = {m, a, t, h, e, i, q, u, s} sans préciser le sens mathématique de chaque lettre située à l’intérieur des parenthèses, E est-il un être mathématique ?

Pour la derniere fois je reponds a ces questions stupides : E est un ensemble dans le sens intuitif du terme (a differencier avec le sens axiomatique, c'est a dire un point de l'univers ZFC). Je ne vois pas ou tu veux en venir avec cette question. Evidemment que c'est un ensemble, tu enfonces des portes ouvertes. Et oui c'est un "etre mathematique", mais cela est evident aussi.

[albanxiii]

Comme j'ai déjà eu, de trop nombreuses fois, à le dire, ce forum n'est pas une poubelle où on déverse n'importe quoi sous le prétexte qu'on arrive à y placer le mot "logique" ou "ensemble".
On assiste ici à une démonstration de "brasser du vent" et "parler pour ne rien dire" de la part de l'OP.
La solution a été donnée au message #5 :

Pour comprendre vraiment pourquoi les mathematiciens ont eu besoin de formaliser cette notion intuitive d'ensemble, il faut accepter de faire un minimum de maths, et par la meme accepter a ne pas voir seulement l'aspect philosophique de la chose. Sans cela, on ne comprendra jamais vraiment le fond du fond.

Il est temps de s'y mettre.