Axiome des parties

[Médiat]

Bonsoir,

Afin de toucher du bout du doigt des problèmes profonds (paradoxe de Skolem, hypothèse du continu, etc.), je vous propose d'écrire une liste la plus complète possible des sous-ensembles d'un ensemble x quelconque, ou, pour commencer, des sous-ensembles de
-----

[karlp]

Bonjour très cher Médiat

Bonsoir,

Afin de toucher du bout du doigt des problèmes profonds (paradoxe de Skolem, hypothèse du continu, etc.), je vous propose d'écrire une liste la plus complète possible des sous-ensembles d'un ensemble x quelconque, ou, pour commencer, des sous-ensembles de

Ecrire chacun des sous-ensembles de "omega": je vous avoue ne pas avoir le temps !
Blague à part, la question que vous posez m'intéresse, mais je ne sais même pas ce qu'il faut entendre par "sous-ensemble" en un sens non naïf.
Si je crois savoir que le cardinal de "omega" est "aleph 0", je me demande si celui de l'ensemble de ses sous-ensembles vaut 2 élevé à la puissance "aleph 0".
Je vous laisse mesurer mon degré d'incompétence, mais aussi tout le profit que j'aurai à suivre ce fil.

[Médiat]

Très cher karlp,

Ecrire chacun des sous-ensembles de "omega": je vous avoue ne pas avoir le temps !

Vous mettez le doigt sur l'origine du mal

Blague à part, la question que vous posez m'intéresse, mais je ne sais même pas ce qu'il faut entendre par "sous-ensemble" en un sens non naïf.

Excellente question, puisque tout est là

Si je crois savoir que le cardinal de "omega" est "aleph 0", je me demande si celui de l'ensemble de ses sous-ensembles vaut 2 élevé à la puissance "aleph 0".

Oui et le but, ici, est justement de donner un sens aux problèmes évoqués plus haut.

[Superbenji]

Bonsoir,
C'est là tout le problème, que signifie "être complète" pour cette liste ? Qu'est ce qui nous permet de dire qu'elle contiendrait tout les sous-ensembles ? Que veut dire tout ?
On peut aussi ajouter, que signifie "écrire" ? (écrire les sous ensembles selon un procédé calculable, descriptible, etc... ? )
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

C'est là tout le problème, que signifie "être complète" pour cette liste ?

Je ne sais pas, je n'ai pas utilisé cette expression, si la "plus complète" vous gène, lisez "plus riche"

Qu'est ce qui nous permet de dire qu'elle contiendrait tout les sous-ensembles ? Que veut dire tout ?

Ce sont les axiomes de ZF qui, à la fois donnent la définition de "tous" et garantissent que l'ensemble de toutes (avec la définition ci-dessus) les parties existe

On peut aussi ajouter, que signifie "écrire" ? (écrire les sous ensembles selon un procédé calculable, descriptible, etc... ? )

En respectant la logique du premier ordre et en utilisant le langage de ZF.

[Superbenji]

Bonsoir,
Je sèche, je ne sais pas comment il faut comprendre la "plus complète" ou la "plus riche". Je pense par exemple aux méthodes comme le forcing, qui permettent d'introduire de nouveaux sous-ensembles de dans un modèle, ou si je ne me trompe pas, affirmer directement l'existence d'un certain sous ensemble par axiome (qui vérifie telle propriété par exemple). Du coup notre liste deviens moins complète. Je rate quelque chose mais je sens que ça être intéressant.

[Médiat]

Bonsoir,

J'aurais pu poser la question sous une autre forme :
"Soit x un ensemble quelconque (d'un modèle de ZF), quels sont ses sous-ensembles", exprimés dans le langage de ZF, ce qui exclut le forcing, et de nouveaux axiomes

Il y a plusieurs façons de répondre, une qui ne fait beaucoup avancer les choses ...

[Superbenji]

Bonjour,
Si je tente de proposer comme liste, les sous-ensembles constructibles de ?

[Médiat]

Bonjour,

Evidemment ce n'est pas faux, mais je ne pense pas que cela aide les non spécialistes (dit comme cela).

J'attends, dans un premier temps, une liste de "sous-ensembles" de x dont on est sûr qu'ils appartiennent à l'ensemble des parties de x (un seul serait déjà un départ).

[karlp]

Bonjour très cher Médiat !

Je me demandais si l'axiome de l'ensemble des parties ne permet pas de conclure que l'ensemble vide est un sous-ensemble de l'ensemble des parties de X ?

(c'est toujours la définition de "sous-ensemble" qui me pose difficulté)

[Médiat]

Très cher karlp,

OUI !

Pour que la démonstration soit complète, il faut :

1) Montrer que l'ensemble vide est un ensemble : pas de problème, c'est un axiome
2) Montrer que l'ensemble vide est une partie de x : cqfd
3) L'axiome de l'ensemble des partie, et les deux points précédents, assurent que l'ensemble vide est bien un élément de l'ensemble des parties de x

Juste après l'ensemble vide on peut se compliquer, à peine, la vie, avec les ....

[karlp]

Bonjour très cher Médiat

Très cher karlp,

OUI !

Pour que la démonstration soit complète, il faut :

1) Montrer que l'ensemble vide est un ensemble : pas de problème, c'est un axiome
2) Montrer que l'ensemble vide est une partie de x : cqfd
3) L'axiome de l'ensemble des partie, et les deux points précédents, assurent que l'ensemble vide est bien un élément de l'ensemble des parties de x

Juste après l'ensemble vide on peut se compliquer, à peine, la vie, avec les ....

Avant de me compliquer la vie ( ) je vais déjà essayer de bien comprendre : les points 1) et 3) ne me posent pas de difficulté (ou alors je vais trop vite).
En revanche, je me demande ce qui nous autorise à écrire que "pour tout y, si y est élément de l'ensemble vide, alors il est élément de x"

Merci !!

[Deedee81]

Salut,

En revanche, je me demande ce qui nous autorise à écrire que "pour tout y, si y est élément de l'ensemble vide, alors il est élément de x"

Ce n'est pas tout simplement parce que l'ensemble vide est une partie de x ?

[Deedee81]

Salut,
Ce n'est pas tout simplement parce que l'ensemble vide est une partie de x ?

Voilà la réponse la plus idiote du siècle, c'est justement ce qu'on essaie de démontrer. Oublie mon message.

[Médiat]

Très cher karlp,

En revanche, je me demande ce qui nous autorise à écrire que "pour tout y, si y est élément de l'ensemble vide, alors il est élément de x"

En fait c'est une propriété général de l'ensemble vide : soit une formule quelconque à une variable libre, alors

, en effet sont contraire est qui est manifestement fausse, puisqu'il faudrait trouver un élément dans l'ensemble vide

[Médiat]

Voilà la réponse la plus idiote du siècle,

Toujours cette envie d'être le meilleur (depuis la coupe du monde ; je sais, c'est un coup bas)

[Deedee81]

Qu'on me dise si je me trompe mais est-ce équivalent (l'explication du message de Médiat) à ceci :



Est forcément faux. Et donc :



forcément vrai.

[Médiat]

Non, tu ne te trompes pas (j'adore dire non, pour acquiescer)

[Deedee81]

Ok merci,

(j'adore dire non, pour acquiescer)

PS. m'a fallu un moment pour comprendre avec la coupe du monde, je suis pas très ballon rond

[Médiat]

je suis pas très ballon rond

Moi, pas du tout, mais depuis, à chaque apparition d'un belge à la télé, une allusion est faite ... Et j'avoue que je ne sais pas s'ils se sont fait voler la victoire par l'arbitre, la malchance, ou l'incompétence

[Deedee81]

Moi, pas du tout, mais depuis, à chaque apparition d'un belge à la télé, une allusion est faite ... Et j'avoue que je ne sais pas s'ils se sont fait voler la victoire par l'arbitre, la malchance, ou l'incompétence

J'en sais fichtre rien. De toute façon, moi le sport, je vois juste un peu le tour de France le dimanche.... quand je vais chez ma soeur (car mon beau-frère regarde).

[karlp]

Très cher karlp,

En fait c'est une propriété général de l'ensemble vide : soit une formule quelconque à une variable libre, alors

, en effet sont contraire est qui est manifestement fausse, puisqu'il faudrait trouver un élément dans l'ensemble vide

Je ne suis pas sûr de comprendre correctement. Néanmoins je trouve absolument magnifique et renversante la démonstration par l'absurde de la formule universelle.

Ce que je crois comprendre c'est que la formule "y élément de x" est une interprétation (ou un cas particulier) de la formule Phi(y)

[Médiat]

Ce que je crois comprendre c'est que la formule "y élément de x" est une interprétation (ou un cas particulier) de la formule Phi(y)

Oui absolument.

Vous allez adorer : Tous les éléments du vide vérifie(nt) (là, la grammaire est impuissante ) toutes les formules, alors qu'il n'existe pas d'élément du vide en vérifiant, ne serait-ce qu'une.

C'est un cas où "Tous les éléments" n'entraine pas "Il y a au moins un élément"

[Deedee81]

Vous allez adorer : Tous les éléments du vide vérifie(nt) (là, la grammaire est impuissante ) toutes les formules, alors qu'il n'existe pas d'élément du vide en vérifiant, ne serait-ce qu'une.

M'a fallu un moment pour tilter. C'est effectivement assez extra. On voit de ces trucs en logique

[Deedee81]

M'a fallu un moment pour tilter. C'est effectivement assez extra. On voit de ces trucs en logique

Ca peut même être vu comme une définition du vide. Sympa.

[Médiat]

Ca peut même être vu comme une définition du vide. Sympa.

Pas la plus simple, mais oui.

On voit de ces trucs en logique

Une des raisons de mon choix de cursus

[karlp]

Oui absolument.

Vous allez adorer : Tous les éléments du vide vérifie(nt) (là, la grammaire est impuissante ) toutes les formules, alors qu'il n'existe pas d'élément du vide en vérifiant, ne serait-ce qu'une.

C'est un cas où "Tous les éléments" n'entraine pas "Il y a au moins un élément"

Entre l'impuissance de la grammaire et la mise en cause d'une loi d'Aristote (sauf erreur de ma part, pour Aristote la vérité de "pour tout x p(x)" implique celle de "il existe un x tq p(x)"), la discussion avec mon analyste va être passionnée
Mille mercis !!

[Deedee81]

Entre l'impuissance de la grammaire et la mise en cause d'une loi d'Aristote (sauf erreur de ma part, pour Aristote la vérité de "pour tout x p(x)" implique celle de "il existe un x tq p(x)"), la discussion avec mon analyste va être passionnée

Oui mais Aristote réfutait l'existence du vide

[karlp]

Oui mais Aristote réfutait l'existence du vide

Vous avez raison !

[HS : La question que je me pose est de savoir si c'est le refus du vide qui a déterminé son carré logique ou l'inverse (en d'autres termes : quelle croyance a constitué l'obstacle épistémologique premier ?).
Il serait également intéressant de savoir si en grec ancien on retrouve la même impuissance grammaticale qu'en français contemporain.

Par ailleurs,votre remarque me conduit à constater qu'il y a peut-être, dans l'esprit humain, un rapport -qui reste à éclaircir- entre l'acceptation de l'ensemble vide et celle de l'infini. Aristote rejetait les deux. Frege ne voyait pas de problème avec l'idée d'un cardinal infini mais s'était "cassé" la tête pour justifier l'existence de l'ensemble vide - qu'il faisait correspondre à l'extension du concept "équinumérique à tout concept contradictoire". Cantor admettait sans discuter l'ensemble vide, mais s'est donné de la peine pour construire les ordinaux et cardinaux transfinis. Certains mystiques identifient les deux. Ce sont juste des propos de "comptoir" dont j'espère qu'ils me seront pardonnés ]

[Deedee81]

Salut,

[HS : La question que je me pose est de savoir si c'est le refus du vide qui a déterminé son carré logique ou l'inverse (en d'autres termes : quelle croyance a constitué l'obstacle épistémologique premier ?).

Je m'avance peut-être un peu mais je ne suis même pas sûr que la question se soit posée en ces termes (le vide d'Aristote étant celui de la physique et il devait voir sa logique comme LA logique et qui il est vrai est limitée au syllogisme. Sans en diminuer les mérites, c'était une première).

Par ailleurs,votre remarque me conduit à constater qu'il y a peut-être, dans l'esprit humain, un rapport -qui reste à éclaircir- entre l'acceptation de l'ensemble vide et celle de l'infini. Aristote rejetait les deux. Frege ne voyait pas de problème avec l'idée d'un cardinal infini mais s'était "cassé" la tête pour justifier l'existence de l'ensemble vide - qu'il faisait correspondre à l'extension du concept "équinumérique à tout concept contradictoire". Cantor admettait sans discuter l'ensemble vide, mais s'est donné de la peine pour construire les ordinaux et cardinaux transfinis. Certains mystiques identifient les deux. Ce sont juste des propos de "comptoir" dont j'espère qu'ils me seront pardonnés ]

Non, c'est vachement intéressant, j'ignorais ça et avec Cantor et surtout Frege on est vraiment dans le sujet.