Axiome d'archimede

[invitee4cb9752]

Bonsoir
svp une interpretation de l'axiome d'Archimede qui dit :

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[inviteea028771]

Une interprétation imagée :

Peu importe la longueur x de mes pas, je peux toujours aller aussi loin que je veux en marchant (en additionnant les pas)

[Seirios]

On peut également dire que ne contient pas d'élément (positif) infiniment petit : il n'existe pas de réel tel que pour tout . Ou encore que ne contient pas d'élément arbitrairement grand : il n'existe pas de réel tel que pour tout .

[invite8133ced9]

Deux autres façon de voir les choses:

-Tous les segments de longueur non nulle sont commensurables.
- n'admet pas de majorant réel.



Cet axiome exprime une propriété importante qui lie la structure de corps (ou de groupe divisible) et la structure d'ordre sur . Elle permet notamment de traiter des problèmes de topologie ou d'ordre à l'aide de suites, ce qui est pratique parce qu'il est facile de manipuler et de construire des suites. D'une certaine façon, cela fait un lien avec qui possède lui-même des propriétés "puissantes".

Il y a des corps qui ne possèdent pas cette propriété, et pour ces corps, de nombreux théorèmes ou équivalences entre théorèmes classiques en analyse ne sont pas valides. En gros, cette propriété importante est utilisée directement ou indirectement dans la plupart des théorèmes d'analyse réelle. (en revanche, les théorèmes classiques de géométrie élémentaire n'utilisent pas sa version "géométrique" énoncée plus haut avec les segments)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Il y a des corps qui ne possèdent pas cette propriété

Plus étrange encore, il existe des corps non archimédiens, vérifiant les mêmes formules du premier ordre que IR.

[invite5357f325]

Médiat, pardonne la naïveté de ma question mais sachant que l'axiome d'Archimède est un axiome du deuxième ordre, pourquoi l'existence d'un tel corps est elle "étrange" ? Il me semble au contraire logique qu'au premier ordre il soit impossible de discerner si un corps est archimédien ou non.

[Médiat]

Médiat, pardonne la naïveté de ma question mais sachant que l'axiome d'Archimède est un axiome du deuxième ordre, pourquoi l'existence d'un tel corps est elle "étrange" ? Il me semble au contraire logique qu'au premier ordre il soit impossible de discerner si un corps est archimédien ou non.

C'est même une façon de démontrer que l'axiome d'Archimède n'est pas équivalent à une formule du premier ordre ; ce n'est, évidemment, pas étrange dans ce sens (pour des logiciens ), mais j'ai le sentiment que ce n'est pas si évident pour tout le monde (déjà saisir la différence entre formules du premier et du deuxième ordre (au delà de la définition brute) ...), à la limite, si je me trompe par excès de pessimisme, j'en serais ravi .

C'était aussi pour renforcer la remarque de Mocassins

[invite5357f325]

Merci ! Je suis ignare en logique donc je me demandais effectivement la signification de la remarque. Est ce un résultat difficile ?

[Médiat]

Non, c'est un résultat très simple à démontrer par compacité, vous pouvez regarder le théorème 9 là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1395351

[invite5357f325]

Merci pour cette réponse !

[invite8133ced9]

Oui, pour moi ce n'est pas évident qu'il existe des corps non archimédiens avec les mêmes propriétés du premier ordre que . Même l'existence d'un corps non archimédien si on n'en a jamais croisé avant peut être surprenante. Et je ne trouve pas inimaginable de s'essayer à démontrer la propriété d'Archimède à partir des axiomes de corps ordonnés si on n'a jamais trop entendu parler de propriétés du premier ordre.