Axiome d'archimede
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Axiome d'archimede



  1. #1
    azeda

    Axiome d'archimede


    ------

    Bonsoir
    svp une interpretation de l'axiome d'Archimede qui dit :
    Nom : arci.PNG
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Taille : 83,0 Ko

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  2. #2
    Tryss

    Re : Axiome d'archimede

    Une interprétation imagée :

    Peu importe la longueur x de mes pas, je peux toujours aller aussi loin que je veux en marchant (en additionnant les pas)

  3. #3
    Seirios

    Re : Axiome d'archimede

    On peut également dire que ne contient pas d'élément (positif) infiniment petit : il n'existe pas de réel tel que pour tout . Ou encore que ne contient pas d'élément arbitrairement grand : il n'existe pas de réel tel que pour tout .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #4
    Mocassins

    Re : Axiome d'archimede

    Deux autres façon de voir les choses:

    -Tous les segments de longueur non nulle sont commensurables.
    - n'admet pas de majorant réel.



    Cet axiome exprime une propriété importante qui lie la structure de corps (ou de groupe divisible) et la structure d'ordre sur . Elle permet notamment de traiter des problèmes de topologie ou d'ordre à l'aide de suites, ce qui est pratique parce qu'il est facile de manipuler et de construire des suites. D'une certaine façon, cela fait un lien avec qui possède lui-même des propriétés "puissantes".

    Il y a des corps qui ne possèdent pas cette propriété, et pour ces corps, de nombreux théorèmes ou équivalences entre théorèmes classiques en analyse ne sont pas valides. En gros, cette propriété importante est utilisée directement ou indirectement dans la plupart des théorèmes d'analyse réelle. (en revanche, les théorèmes classiques de géométrie élémentaire n'utilisent pas sa version "géométrique" énoncée plus haut avec les segments)
    Dernière modification par Mocassins ; 11/07/2015 à 10h36.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Médiat

    Re : Axiome d'archimede

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Mocassins Voir le message
    Il y a des corps qui ne possèdent pas cette propriété
    Plus étrange encore, il existe des corps non archimédiens, vérifiant les mêmes formules du premier ordre que IR.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. #6
    invite90034748

    Re : Axiome d'archimede

    Médiat, pardonne la naïveté de ma question mais sachant que l'axiome d'Archimède est un axiome du deuxième ordre, pourquoi l'existence d'un tel corps est elle "étrange" ? Il me semble au contraire logique qu'au premier ordre il soit impossible de discerner si un corps est archimédien ou non.

  8. #7
    Médiat

    Re : Axiome d'archimede

    Citation Envoyé par petrifie Voir le message
    Médiat, pardonne la naïveté de ma question mais sachant que l'axiome d'Archimède est un axiome du deuxième ordre, pourquoi l'existence d'un tel corps est elle "étrange" ? Il me semble au contraire logique qu'au premier ordre il soit impossible de discerner si un corps est archimédien ou non.
    C'est même une façon de démontrer que l'axiome d'Archimède n'est pas équivalent à une formule du premier ordre ; ce n'est, évidemment, pas étrange dans ce sens (pour des logiciens ), mais j'ai le sentiment que ce n'est pas si évident pour tout le monde (déjà saisir la différence entre formules du premier et du deuxième ordre (au delà de la définition brute) ...), à la limite, si je me trompe par excès de pessimisme, j'en serais ravi .

    C'était aussi pour renforcer la remarque de Mocassins
    Dernière modification par Médiat ; 16/07/2015 à 14h07.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  9. #8
    invite90034748

    Re : Axiome d'archimede

    Merci ! Je suis ignare en logique donc je me demandais effectivement la signification de la remarque. Est ce un résultat difficile ?

  10. #9
    Médiat

    Re : Axiome d'archimede

    Non, c'est un résultat très simple à démontrer par compacité, vous pouvez regarder le théorème 9 là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1395351
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #10
    invite90034748

    Re : Axiome d'archimede

    Merci pour cette réponse !

  12. #11
    Mocassins

    Re : Axiome d'archimede

    Oui, pour moi ce n'est pas évident qu'il existe des corps non archimédiens avec les mêmes propriétés du premier ordre que . Même l'existence d'un corps non archimédien si on n'en a jamais croisé avant peut être surprenante. Et je ne trouve pas inimaginable de s'essayer à démontrer la propriété d'Archimède à partir des axiomes de corps ordonnés si on n'a jamais trop entendu parler de propriétés du premier ordre.

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