axiome de fondation

[invite694f6e61]

Bonjour,
je ne comprends pas bien l'axiome de fondation dans la théorie des ensembles, celui-ci dit:
pour tout ensemble x non vide, il existe un ensemble y appartenant à x et n'ayant aucun élément en commun avec x

Soit alors X={a,b} où a et b ne sont pas des ensembles. X est non vide, mais quel ensemble jouera le rôle de y de l'axiome? En effet il n'y a pas d'ensembles appartenant à X...
Merci d'avance...
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[Médiat]

Soit alors X={a,b} où a et b ne sont pas des ensembles. X est non vide, mais quel ensemble jouera le rôle de y de l'axiome? En effet il n'y a pas d'ensembles appartenant à X...

C'est impossible, si X={a, b}, alors a et b sont forcément des ensembles !
Tous les objets de ZF sont des ensembles.

[invite694f6e61]

Oui, je crois que je me suis emmêlé les pinceaux... Merci beaucoup...

[invite6754323456711]

Bonjour,
je ne comprends pas bien l'axiome de fondation dans la théorie des ensembles, celui-ci dit:
pour tout ensemble x non vide, il existe un ensemble y appartenant à x et n'ayant aucun élément en commun avec x

Soit alors X={a,b} où a et b ne sont pas des ensembles. X est non vide, mais quel ensemble jouera le rôle de y de l'axiome? En effet il n'y a pas d'ensembles appartenant à X...
Merci d'avance...

Par exemple si x est un ensemble transitif non vide, le seul choix possible pour y est l'ensemble vide.

L'axiome de fondation traduit par exemple qu'aucun ensemble n'est élément de lui-même (on ne peut avoir x appartient à x) car sinon le singleton {x} fournirait un contre exemple de l'axiome de fondation {x} intersection x = {x}

Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Par exemple si x est un ensemble transitif non vide, le seul choix possible pour y est l'ensemble vide.

L'axiome de fondation traduit par exemple qu'aucun ensemble n'est élément de lui-même (on ne peut avoir x appartient à x) car sinon le singleton {x} fournirait un contre exemple de l'axiome de fondation {x} intersection x = {x}

Patrick

wikipedia

[invite6754323456711]

wikipedia

Oui c'est une source très intéressante à laquelle je me suis fortement inspirée lors du précédent fil sur une thématique équivalente.

Les exemples c'est un peu comme un schéma. Mieux vaut un bon exemple qu'un long discour.

Patrick

[invite7863222222222]

Sinon pour être sur de bien comprendre.

Si

L'axiome de fondation exprime l'existence d'un ensemble B contenu dans A mais dont aucun élément n'appartient à A.

Par exemple .

C'est bien cela ?

[invitec053041c]

Euh, il ne me semble pas.. (je suis novice dans ce domaine, donc attendre la venue de médiat )

[invitec053041c]

D'ailleurs:



donc



Pour B, on peut prendre si je ne m'abuse.

[invite7863222222222]

Euh, il ne me semble pas.. (je suis novice dans ce domaine, donc attendre la venue de médiat )

C'est ce que j'en ai compris en lisant la définition d'un ensemble qui contient une représentation des entiers (formule empruntée à wikipédia) : http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_....C3.A9finition

[invite7863222222222]

D'ailleurs:



donc



Pour B, on peut prendre si je ne m'abuse.

Oui car l'ensemble vide appartient à tous les ensembles et qu'une proposition exprimant une relation sur les éléments de l'ensemble vide est toujours vérifiée .

[invité576543]

Sinon pour être sur de bien comprendre.

Si

C'est pas ça. Disons

L'axiome de fondation exprime l'existence d'un ensemble B contenu dans A mais dont aucun élément n'appartient à A.

Non. L'axiome de fondation appliqué ici dit que soit , soit n'a aucune intersection avec A (ou les deux), et c'est le cas du premier (mais pas du second).

Oui car l'ensemble vide appartient à tous les ensembles et qu'une proposition exprimant une relation sur les éléments de l'ensemble vide est toujours vérifiée .

Non. L'ensemble vide n'est pas élément de A. Et non l'ensemble vide n'appartient pas à tous les ensembles.


Cordialement,

[invite7863222222222]

Ok merci, effectivement je n'avais pas bien compris.

Sinon, j'ai encore une question, est-ce qu'on a A = {x, x} = {x} ? Est-ce que le nombre d'élément de A c'est 1 ou 2 ?

[invitec053041c]

Oui, {x,x}={x} et A a un élément.

[invite6754323456711]

Oui, {x,x}={x} et A a un élément.

Pourtant le cardinal de {x,x} n'est il pas 2 et le cardinal de {x} n'est il pas 1.

Patrick

[invité576543]

Pourtant le cardinal de {x,x} n'est il pas 2 et le cardinal de {x} n'est il pas 1.

Si toi et toi êtes les seules personnes dans une pièce, il y a combien de personnes dans la pièce?

Cordialement,

[invite6754323456711]

Si toi et toi sont les seules personnes dans une pièce, il y a combien de personnes dans la pièce?

Cordialement,

C'est vraiment ambigu alors. S'associe la notion de cardinal à la notion équipotents (s'il existe une bijection). Donc si le cardinal est 1 alors l'application qui lie {x,x} à {1} est surjective et non bijective ?

Patrick

[invitec317278e]

Précise un peu l'application, précise ce que tu entends exactement par lier...

[invite6754323456711]

Précise un peu l'application, précise ce que tu entends exactement par lier...

Il y a deux flèches qui partent de l'ensemble {x,x} vers l'ensemble {1} tout simplement.

Patrick

[invitec053041c]

Non, car x est le même élément que x." Une seule flèche" part de cet ensemble.
Tu as bien {x,x}={x}

[invite6754323456711]

Non, car x est le même élément que x." Une seule flèche" part de cet ensemble.
Tu as bien {x,x}={x}

Un ensemble contenant deux fois le même élément est identique à un ensemble contenant uniquement ce même élément ?

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

En est-il de même pour l'ordinal ?

Pour moi {x,x} a aussi 2 pour ordinal et {x} à 1 pour ordinal.

Patrick

[invitec317278e]

Les flèches sont très utiles pour expliquer basiquement ce qu'est une application, mais elles ont leurs limites...
Définis formellement une telle application : quel est son graphe ?
Pour moi, son graphe ne peut être que
et cette application est bien injective, puisque :

Soient x,y appartenant à {x,x}
Alors, on a forcément "f(x)=f(y) implique x=y", puisque "x=y" est toujours vraie...


Bref, tu n'as pas le droit de faire partir deux flèches de l'ensemble {x,x}, car x=x.

[invite6754323456711]

Les flèches sont très utiles pour expliquer basiquement ce qu'est une application, mais elles ont leurs limites...
Définis formellement une telle application : quel est son graphe ?
Pour moi, son graphe ne peut être que
et cette application est bien injective, puisque :

Soient x,y appartenant à {x,x}
Alors, on a forcément "f(x)=f(y) implique x=y", puisque "x=y" est toujours vraie...


Bref, tu n'as pas le droit de faire partir deux flèches de l'ensemble {x,x}, car x=x.

Oui mais pour l'ordinal ?

l'ensemble {1,2,3, ....} à bien pour ordinal w
et l'ensemble {1,2,3,...,1} à bien pour ordinal w + 1

Donc pour les ensembles fini (cardinal peut être assimilé à l'ordinal) cela ne serait pas pareil ?

Patrick

[invite6acfe16b]

Bonjour,

En est-il de même pour l'ordinal ?

Pour moi {x,x} a aussi 2 pour ordinal et {x} à 1 pour ordinal.

Patrick

C'est l'axiome d'extensionnalité qui prouve que a={x,x} et b={x} sont égaux. En effet, on a bien que . Car si y=x, on a bien et si alors y n'appartient ni à {x}, ni à {x,x}. Donc {x}={x,x}.

[invite6acfe16b]

l'ensemble {1,2,3, ....} à bien pour ordinal w
et l'ensemble {1,2,3,...,1} à bien pour ordinal w + 1

Donc pour les ensembles fini (cardinal peut être assimilé à l'ordinal) cela ne serait pas pareil ?

Dans un ensemble, il n'y a pas de notion d'ordre. Un ordre est une relation entre les éléments d'un ensemble, mais elle est définie ailleurs. Donc

[invite6754323456711]

C'est l'axiome d'extensionnalité qui prouve que a={x,x} et b={x} sont égaux. En effet, on a bien que . Car si y=x, on a bien et si alors y n'appartient ni à {x}, ni à {x,x}. Donc {x}={x,x}.

a = {1,2,3,...,1} et b= {1,2,3,...} sont donc aussi égaux et pourtant il n'ont pas le même ordinal. De même que l'ensemble c = {1,1,2,3,...} a pour ordinal 1 + w (différent de w + 1).

Patrick

[invite7863222222222]

a = {1,2,3,...,1} et b= {1,2,3,...} sont donc aussi égaux et pourtant il n'ont pas le même ordinal.

Pourquoi n'ont-ils pas le même ordinal ? Faudrait définir ce qu'est l'ordinal peut-être ?

[invite6acfe16b]

a = {1,2,3,...,1} et b= {1,2,3,...} sont donc aussi égaux et pourtant il n'ont pas le même ordinal.

Ces deux ensembles sont égaux, mais la propriété dont tu parles "avoir un ordinal" ne porte pas sur les ensembles, mais plutôt sur les "ensembles ordonnés". Ce que tu veux dire, c'est que l'ensemble ordonné (1,2,3,...) n'a pas le même ordinal que l'ensemble ordonné (1,2,3,...,1). Tu remarqueras que j'ai mis des parenthèses au lieu d'accolades pour montrer qu'il s'agit d'un ensemble ordonné et non simplement d'un ensemble.

De même que l'ensemble c = {1,1,2,3,...} a pour ordinal 1 + w (différent de w + 1).

Même remarque : {1,1,2,3,...}={1,2,3,...}.

Plus précisément, un ensemble ordonné est un couple (E,O), où E est un ensemble et O est un ordre sur E. O peut être être, par exemple, le sous ensemble de tel que si et seulement si .

[Médiat]

Quelques mises au point :
{x, x} = {x} (axiome d'extentionnalité (il existe des théories où ce n'est pas le cas, par exemple la théorie des multisets, utile pour décrire la divisibilité des nombres entiers (ou des polynômes))

Un cardinal est un ordinal (en tout état de cause c'est l'une des définitions, équivalentes entre elles, et, par expérience la plus utile)

Les ordinaus finis sont égaux aux cardinaux finis

a = {1,2,3,...,1} et b= {1,2,3,...} sont donc aussi égaux et pourtant il n'ont pas le même ordinal. De même que l'ensemble c = {1,1,2,3,...} a pour ordinal 1 + w (différent de w + 1).

L'ensemble a = {0,1,2,3,...,1} est en fait égal à a = {0,1,2,3,...}, si j'interprète les ... comme étant la liste des entiers (ordinaux finis), alors a = .
Donc a = b et ils (s)ont le même ordinal (et le même cardinal) à savoir .
Si tu veux savoir ce qu'est 1 + (en tant qu'ordinal, il n'y a pas d'addition sur les ensembles quelconques), alors il faut ajouter un élément avant les éléments de , par exemple {, 0, 1, 2 ... } avec comme ordre défini sur cet ensemble celui induit par l'écriture que j'ai adopté. Il est évident que 1 + (en tant qu'ordinal), la bijection croissante entre les deux est assez évidente à trouver.

Pour + 1, il faut ajouter un élément après les éléments de , par exemple + 1 = {0,1,2,3 ...}, il est toujours évident qu'il existe une bijection entre et + 1 (donc ils ont le même cardinal), mais aucune bijection croissante n'est possible (problème avec l'image du successeur de l'élément qui a pour image).