axiome de fondation

[invite6754323456711]

Ces deux ensembles sont égaux, mais la propriété dont tu parles "avoir un ordinal" ne porte pas sur les ensembles, mais plutôt sur les "ensembles ordonnés". Ce que tu veux dire, c'est que l'ensemble ordonné (1,2,3,...) n'a pas le même ordinal que l'ensemble ordonné (1,2,3,...,1). Tu remarqueras que j'ai mis des parenthèses au lieu d'accolades pour montrer qu'il s'agit d'un ensemble ordonné et non simplement d'un ensemble.


Même remarque : {1,1,2,3,...}={1,2,3,...}.

Plus précisément, un ensemble ordonné est un couple (E,O), où E est un ensemble et O est un ordre sur E. O peut être être, par exemple, le sous ensemble de tel que si et seulement si .

Merci je comprend mieux.

La notion de doublon (Élément redondant) n'a donc pas de sens (ou n'a pas d'intérêt) dans la théorie des ensembles ? Elle donc est assujetti à une notion d'ordre. En informatique par exemple il existe des cas pour lesquels on cherche à éviter la redondance dans une liste.

En Java les collections sont des objets qui permettent de gérer des ensembles d'objets. Ces ensembles de données peuvent être définis avec plusieurs caractéristiques : la possibilité de gérer des doublons, de gérer un ordre de tri, etc. ...


Patrick
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[invite6754323456711]

L'ensemble a = {0,1,2,3,...,1} est en fait égal à a = {0,1,2,3,...}, si j'interprète les ... comme étant la liste des entiers (ordinaux finis), alors a = .
Donc a = b et ils (s)ont le même ordinal (et le même cardinal) à savoir .

J'ai extrait l'exemple toujours du même article http://www.reunion.iufm.fr/recherche...A9matiques.htm

paragraphe : Les ordinaux transfinis.

Dans lequel l'ordinal de {1,2,3,....,1} est

Patrick

[Médiat]

J'ai extrait l'exemple toujours du même article http://www.reunion.iufm.fr/recherche...A9matiques.htm

paragraphe : Les ordinaux transfinis.

Dans lequel l'ordinal de {1,2,3,....,1} est

Patrick

Tu fais une erreur, dans l'article, il n'y a pas les accolades, c'est à dire que la représentation est celle de l'ordre et non un ensemble !

[invite6754323456711]

Tu fais une erreur, dans l'article, il n'y a pas les accolades, c'est à dire que la représentation est celle de l'ordre et non un ensemble !

Si je comprend bien ω et ω + 1 contiennent le même nombre d’éléments (il existe une bijection entre les deux ensembles). ils ont donc le même cardinal. Cependant ils ne désignent pas le même type d’ordre ;car ω n’a pas de prédécesseur alors que ω + 1 en a un (qui est ω) ?

L’ordinal ω + 1 est donc l’ordinal de l’ensemble obtenu en ajoutant l’ensemble 1 à la suite de l’ensemble ω.

Nous avons donc : ω +1= 1,2,3,4……,n,…., ω, 1

Pouvons nous avoir aussi ω +1= 0,1,2,3,4……,n,…., ω,0,1 ?


Patrick

[invite6754323456711]

Plus précisément, un ensemble ordonné est un couple (E,O), où E est un ensemble et O est un ordre sur E. O peut être être, par exemple, le sous ensemble de tel que si et seulement si .

Concernant la vision ensembliste des entiers naturels la relation d'ordre n'est elle pas ?

Patrick

[Médiat]

Si je comprend bien ω et ω + 1 contiennent le même nombre d’éléments (il existe une bijection entre les deux ensembles).

contiennent le même nombre d’éléments : je n'aime pas cette façon de dire les choses (même s'il m'arrive de l'utiliser, mais en toute connaissance de cause) qui entraîne des confusions, ou des pseudo-paradoxes en cascade.

il existe une bijection entre les deux ensembles : oui, ce qui se traduit effectivement par : ils ont le même cardinal.

Cependant ils ne désignent pas le même type d’ordre ;car ω n’a pas de prédécesseur alors que ω + 1 en a un (qui est ω) ?

ω est le premier ordinal limite, il contient tous les ordinaux finis (ou cardinaux finis, puisque c'est la même chose), intuitivement c'est donc .
Je te confirme que ω n'a pas de prédécesseur (c'est un ordinal limite), alors que le prédécesseur de ω + 1 est bien ω

L’ordinal ω + 1 est donc l’ordinal de l’ensemble obtenu en ajoutant l’ensemble 1 à la suite de l’ensemble ω.

Non, il est obtenu en ajoutant ω à la suite de ω : ω + 1 = ω U {ω} (construction identique à la construction des ordinaux finis (4 = 3 U {3})

Nous avons donc : ω +1= 1,2,3,4……,n,…., ω, 1

Non :
ω +1= 1,2,3,4……,n,…., ω (même avec la notation de l'ordre, ce que tu écris serait ω+2)

Pouvons nous avoir aussi ω +1= 0,1,2,3,4……,n,…., ω,0,1 ?

Non, on a :
ω + 2= 1,2,3,4……,n,…., ω, ω+1 (notation de l'ordre)
ω + 3= 1,2,3,4……,n,…., ω, ω+1, ω+2 (notation de l'ordre) etc.

[invite6754323456711]

contiennent le même nombre d’éléments : je n'aime pas cette façon de dire les choses (même s'il m'arrive de l'utiliser, mais en toute connaissance de cause) qui entraîne des confusions, ou des pseudo-paradoxes en cascade.

Si on pose un élément est un ensemble (élément ---> ensemble) il est plus intuitif de parler des éléments d'un ensemble plutôt que des ensembles d'un ensemble qui peut aussi porter à confusion (fait aussi pensé aux parties d'un ensemble E : P(E)).

ω est le premier ordinal limite, il contient tous les ordinaux finis (ou cardinaux finis, puisque c'est la même chose), intuitivement c'est donc .
Je te confirme que ω n'a pas de prédécesseur (c'est un ordinal limite), alors que le prédécesseur de ω + 1 est bien ω

Peut on dire :

? si oui alors
?



Patrick

[invite6754323456711]

Si on pose un élément est un ensemble (élément ---> ensemble) il est plus intuitif de parler des éléments d'un ensemble plutôt que des ensembles d'un ensemble qui peut aussi porter à confusion (fait aussi pensé aux parties d'un ensemble E : P(E)).



Peut on dire :

? si oui alors
?



Patrick

Essai de formalisation de ma question :

L’ensemble des entiers naturels est une totalité achevée, ce qui permet de poser l’existence du premier ordinal immédiatement supérieur à tous les autres.

Que quelque soit n, entier naturel, il existe une infinité d’entiers naturels entre lui et ω.

Donc

Patrick

[invite6acfe16b]

Concernant la vision ensembliste des entiers naturels la relation d'ordre n'est elle pas ?

Oui, tu as défini que la relation d'appartenance est l'ordre de ton ensemble. C'est tout à fait juste pour les ordinaux.

[invite6acfe16b]

Donc

Comme te l'a dit Mediat, . Donc .
Par contre .

PS:Attention, quand j'écris , je parle uniquement des ensembles et pas de l'ordre associé.

[Médiat]

Si on pose un élément est un ensemble (élément ---> ensemble) il est plus intuitif de parler des éléments d'un ensemble plutôt que des ensembles d'un ensemble qui peut aussi porter à confusion (fait aussi pensé aux parties d'un ensemble E : P(E)).

Ce qui me gène dans l'expression "contiennent le même nombre d’éléments" ce n'est pas le mot "éléments", mais le mot "nombre"

L’ensemble des entiers naturels est une totalité achevée, ce qui permet de poser l’existence du premier ordinal immédiatement supérieur à tous les autres.

Parlons d'ordinaux plutôt que de IN : Il n'y a pas d'ordinal supérieur à tous les autres dans ω, par contre il y en a un dans ω + 1, c'est ω.

Pour le reste, je confirme ce qu'a écrit Sylvestre.

[invite6754323456711]

PS:Attention, quand j'écris , je parle uniquement des ensembles et pas de l'ordre associé.

Et si on parle d'ordinal que peut ont dire ? est l'ordinal limite de

Patrick

[invite6754323456711]

Ce qui me gène dans l'expression "contiennent le même nombre d’éléments" ce n'est pas le mot "éléments", mais le mot "nombre"

Parlons d'ordinaux plutôt que de IN : Il n'y a pas d'ordinal supérieur à tous les autres dans ω, par contre il y en a un dans ω + 1, c'est ω.

Pour le reste, je confirme ce qu'a écrit Sylvestre.

ω + 1 (ordinal) n'est il pas aussi supérieur à ω ?

Patrick

[Médiat]

Et si on parle d'ordinal que peut ont dire ? est l'ordinal limite de

ω est l'ordinal auquel IN est isomorphe lorsqu'il est muni de l'ordre naturel.

[Médiat]

ω + 1 (ordinal) n'est il pas aussi supérieur à ω ?

Si mais il n'est pas dans ω + 1, il est dans ω + 2

[invite6754323456711]

ω est l'ordinal auquel IN est isomorphe lorsqu'il est muni de l'ordre naturel.

L'ordre naturel fait référence à la relation d'appartenance ?

Patrick

[invite6754323456711]

Si toi et toi êtes les seules personnes dans une pièce, il y a combien de personnes dans la pièce?

Cordialement,

Peut-on dire alors que c'est sémantiquement égal mais syntaxiquement différent (notion de doublon) ?

Patrick

[invité576543]

Peut-on dire alors que c'est sémantiquement égal mais syntaxiquement différent (notion de doublon) ?

Si tu veux, mais c'est quelque chose de normal, non? Même quand on écrit 1=1 il y a syntaxiquement deux "1".

La notion d'égalité est toujours sémantique, non?

Cordialement,

[invite6754323456711]

Si tu veux, mais c'est quelque chose de normal, non? Même quand on écrit 1=1 il y a syntaxiquement deux "1".

La notion d'égalité est toujours sémantique, non?

Cordialement,

J'avais cru comprendre que :

L'approche axiomatique est syntaxique et non sémantique

Patrick

[invité576543]

J'avais cru comprendre que :

L'approche axiomatique est syntaxique et non sémantique

C'est un point intéressant que tu soulèves là. L'égalité est, il me semble, nécessairement une exception, justement.

Je vois trois niveaux:

1) L'identité absolue, telle que chaque instance est distincte de toute autre instance, et ce pour quoi que ce soit. Alors 1=1 est faux, les deux caractères étant deux instances distinctes (et c'est même bien plus compliqué que ça)

2) L'identité formelle de chaînes de symboles. Alors 1=1 est vrai, mais 2=1+1 est faux.

3) L'identité logique via des règles de réécriture. Deux chaînes de caractères sont "égales" si elles peuvent être "légalement" réécrites l'une en l'autre, le légal faisant référence à des règles conventionnelles pré-établies.

Une égalité "syntaxique" pure serait le cas 2. L'égalité au sens 3 peut être aussi bien vue comme "syntaxique" (seule la forme intervient) que "sémantique" (l'égalité n'a de sens que via des règles de réécriture, externes à la forme).

Manifestement les théories axiomatiques en maths définissent une égalité au sens 3. Elles définissent des "classes d'équivalence" de formes syntaxiques (e.g., entre 1, 1+1, 1+0+1, 0+2, ... pour rester dans l'arithmétique). Ce classement, s'il est basé sur la forme (c'est une relation entre chaînes de symboles), cette idée de voir dans ces chaînes des représentations distinctes d'une "même chose", n'est pas imposé par la forme, et à ce sens peut se rapprocher d'une sémantique.

Au niveau au dessus, voir dans cette classe d'équivalence le nombre naturel deux n'est plus syntaxique.

Cordialement,

[invite6754323456711]

C'est un point intéressant que tu soulèves là. L'égalité est, il me semble, nécessairement une exception, justement.

Je vois trois niveaux:

1) L'identité absolue, telle que chaque instance est distincte de toute autre instance, et ce pour quoi que ce soit. Alors 1=1 est faux, les deux caractères étant deux instances distinctes (et c'est même bien plus compliqué que ça)

2) L'identité formelle de chaînes de symboles. Alors 1=1 est vrai, mais 2=1+1 est faux.

3) L'identité logique via des règles de réécriture. Deux chaînes de caractères sont "égales" si elles peuvent être "légalement" réécrites l'une en l'autre, le légal faisant référence à des règles conventionnelles pré-établies.

Une égalité "syntaxique" pure serait le cas 2. L'égalité au sens 3 peut être aussi bien vue comme "syntaxique" (seule la forme intervient) que "sémantique" (l'égalité n'a de sens que via des règles de réécriture, externes à la forme).

Manifestement les théories axiomatiques en maths définissent une égalité au sens 3. Elles définissent des "classes d'équivalence" de formes syntaxiques (e.g., entre 1, 1+1, 1+0+1, 0+2, ... pour rester dans l'arithmétique). Ce classement, s'il est basé sur la forme (c'est une relation entre chaînes de symboles), cette idée de voir dans ces chaînes des représentations distinctes d'une "même chose", n'est pas imposé par la forme, et à ce sens peut se rapprocher d'une sémantique.

Au niveau au dessus, voir dans cette classe d'équivalence le nombre naturel deux n'est plus syntaxique.

Cordialement,

En langage programmation objet type java on distingue vérifier l’identité des instances de vérifier la valeur des instances.

"bonjour" == "bonjour" est faux car ce sont deux instances différentes.
("bonjour".equals("bonjour" )) est vrai car il y a identité formelle de caractère.

== permet de vérifier si les deux pointeurs pointent sur le même objet, pas si les deux objets ont les mêmes valeurs. Pour comparer la valeur de deux objets il faut utiliser la méthode equals().
Maintenant la version par défaut de la méthode equals transforme la comparaison de valeurs par la comparaison d’identité. La classe String redéfinie cette méthode pour pouvoir comparer deux chaînes par valeurs.


Patrick

[invite7863222222222]

"bonjour" == "bonjour" est faux car ce sont deux instances différentes.

Pas toujours, ca dépend de détail lors de l'exécution du code, et du fait que pour des considérations d'optimisation, il est possible ou non que deux chaines literrales ayant les mêmes de caractère puissent être représentés par un même objet en mémoire.

Mais disons qu'en JAVA, on ne peut considérer en toute généralité que "bonjour" == "bonjour" soit vraie.

[invité576543]

On est bien loin des questions conceptuelles sur les mathématiques.

Les langages de programmation ont chacun leurs propres conventions, ce sont des choix "techniques", rarement conceptuellement profonds. Enfin, c'est ce que j'en pense.

Cordialement,

[invite6754323456711]

On est bien loin des questions conceptuelles sur les mathématiques.
Cordialement,

C'était juste une petite parenthèse pour montrer les similitudes. C'est peut être malheureux de reprendre les mêmes termes (classe, collection, ...) pour avoir des sémantiques différentes.

Les langages de programmation ont chacun leurs propres conventions, ce sont des choix "techniques", rarement conceptuellement profonds. Enfin, c'est ce que j'en pense.

Alphabets, Langages, Grammaires, Analyse lexicale, syntaxique, sémantique ....
voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_langages

Patrick