bonjour
"l'axiome dit que toute partie non vide majorée admet une borne sup" .
j'ai trouvé une remarque qui disait que l'ensemble des rationnels ne verifie pas cet axiome
En effet pour l'ensemble
A={x∈ Q/x²<=2}
0∈ A donc A est non vide
supA=√2 ∉Q
D'ou la remarque
ma question est pour quoi ne pas prendre le premier rationnel superieur à √2 ?
Parce que Q (muni de l'ordre usuel) n'est pas "bien ordonné".
Notons a le plus petit rationnel supérieur à √2
d(a, √2 ) = e > 0
Comme R est archimédien, il existe n tel que 1 < ne. On a alors e>1/n
Ce qui implique que
a-e < a - 1/n < a
En d'autres termes,
√2 < a- 1/n < a
Or a- 1/n est rationnel, ce qui est contradictoire avec la définition de a
merci Tryss
ce que j'ai bien saisie de votre demonstration c'est qu' il y'a une infinité de nombre rationnel superieure à √2 de sorte à ce qu'on ne peut pas trouver le plus petit de ces nombres, puisque il y'a toujours un qui est plus petit (et qui reste superieur à √2)
mais est ce que vous pouvez bein detailler cette notion de "bien ordonné"
En fait être bien ordonné implique que toute partie majorée admet une borne sup, mais la réciproque n'est pas vraie, tu peux donc oublier cette remarque.
