Axiome de fondation

[Amanuensis]

Bonjour,

Dans l'axiomatisation usuelle de la théorie des ensembles, l'axiome de fondation apparaît comme assez différent des autres, dans la mesure où il est le seul à restreindre explicitement ce qui accepté comme "ensemble".

Il y a des axiomes alternatifs (d'"anti-fondation"), allégeant la restriction. Dans la littérature sue le sujet, on parle le plus souvent de théories avec axiome alternatif.

Mais que se passe-t-il si on enlève purement et simplement l'axiome de fondation sans le "remplacer" par un axiome d'anti-fondation ?

La théorie devient-elle contradictoire ? (Je ne pense pas, il a été indiqué dans ce forum que l'axiome de fondation était indécidable dans ZF-AF.)

Ou simplement l'univers devient "trop grand", et on se trouve obligé de citer souvent une restriction genre "bien fondé" dans les théorèmes qui sont "intéressants" ?

Autre chose ?

Merci,
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[Médiat]

Bonjour,

Dans l'axiomatisation usuelle de la théorie des ensembles, l'axiome de fondation apparaît comme assez différent des autres, dans la mesure où il est le seul à restreindre explicitement ce qui accepté comme "ensemble".

L'axiome de séparation permet aussi de restreindre ce qui est accepté comme ensemble, mais peut-être le trouvez-vous moins explicite ?

Mais que se passe-t-il si on enlève purement et simplement l'axiome de fondation sans le "remplacer" par un axiome d'anti-fondation ?

La théorie devient-elle contradictoire ? (Je ne pense pas, il a été indiqué dans ce forum que l'axiome de fondation était indécidable dans ZF-AF.)

En aucun cas, retirer un axiome ne peut rendre contradictoire une théorie qui ne l'est pas.

Ou simplement l'univers devient "trop grand", et on se trouve obligé de citer souvent une restriction genre "bien fondé" dans les théorèmes qui sont "intéressants" ?

L'univers est "plus grand", ce qui permet d'ajouter d'autres axiomes qui seraient impossibles à ajouter sinon (dont le contraire est conséquence de l'axiome de fondation)

[invitec7c23c92]

Bonsoir,

Il y a des axiomes alternatifs (d'"anti-fondation"), allégeant la restriction.

Je ne dirais pas qu'ils allègent la restriction. Ils en ajoutent une autre, qui va dans un sens différent.

Mais que se passe-t-il si on enlève purement et simplement l'axiome de fondation sans le "remplacer" par un axiome d'anti-fondation ?

Là, pour le coup, on allège.
Il y a davantage de liberté, et davantage de propositions indécidables.

Tout modèle de "ZF avec Fondation" et tout modèle de "ZF sans fondation + Axiome alternatif" est aussi un modèle de "ZF sans fondation"

La théorie devient-elle contradictoire ?

Non. Au contraire, plus on enlève des axiomes, moins une théorie est contradictoire.

(Dans le cas particulier de ZF et Fondation, moins = autant)

Ou simplement l'univers devient "trop grand", et on se trouve obligé de citer souvent une restriction genre "bien fondé" dans les théorèmes qui sont "intéressants" ?

L'axiome de fondation a peu d'applications en dehors de la logique mathématique ; en maths générales il est peu probable qu'on n'ait jamais besoin d'ajouter une hypothèse de ce genre dans les théorèmes intéressants.

[Amanuensis]

Bonjour,
L'axiome de séparation permet aussi de restreindre ce qui est accepté comme ensemble, mais peut-être le trouvez-vous moins explicite ?

Je ne le voyais pas comme restrictif.

En comparant de plus près la forme des deux axiomes, il y a une similarité, effectivement.

J'interprétais l'axiome de fondation comme une "condition nécessaire" pour être un ensemble.

Si je fais pareil pour l'axiome de séparation, cela donne quelque chose du genre "s'il existe une formule P et une classe x tels que {y dans x tels que P(y)} ne soit pas un ensemble, alors x n'est pas ensemble".

Autrement dit, cela met une condition sur les éléments de l'ensemble des parties d'un ensemble, l'axiome de l'ensemble des parties ne suffisant pas à "cerner" ce qu'est exactement l'ensemble des parties d'un ensemble ? (Il me semble qu'il y a eu une discussion ancienne évoquant cela.)

Ce sont des réflexions "tout haut", juste pour vérifier que votre indication m'a amené aux "bonnes réflexions"?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Je ne dirais pas qu'ils allègent la restriction. Ils en ajoutent une autre, qui va dans un sens différent.

Ah ? Ma culture est limitée sur le sujet, les AFA que j'avais rencontré incluaient les "ensembles bien-fondés". Quel exemple y-a-t'il qui exclurait tout ou partie des ensembles bien-fondés, tout en incluant autre chose que des ensembles bien-fondés ?

L'axiome de fondation a peu d'applications en dehors de la logique mathématique ; en maths générales il est peu probable qu'on n'ait jamais besoin d'ajouter une hypothèse de ce genre dans les théorèmes intéressants.

OK

[Médiat]

J'interprétais l'axiome de fondation comme une "condition nécessaire" pour être un ensemble.

Oui, alors que l'axiome de séparation est plutôt une condition suffisante (que vous avez remplacée par une condition nécessaire de ne pas être un ensemble), ce qui est incontestablement une différence objective.

Autrement dit, cela met une condition sur les éléments de l'ensemble des parties d'un ensemble, l'axiome de l'ensemble des parties ne suffisant pas à "cerner" ce qu'est exactement l'ensemble des parties d'un ensemble ?

Je ne suis pas sur de comprendre ce que vous voulez dire.

[Amanuensis]

Oui, alors que l'axiome de séparation est plutôt une condition suffisante (que vous avez remplacée par une condition nécessaire de ne pas être un ensemble), ce qui est incontestablement une différence objective.

Il me semblait que j'avais montré l'axiome de séparation comme une condition suffisante pour ne pas être un ensemble ?

Faut que je réfléchisse plus à tête reposée (ce qui veut dire pour moi quelque part entre 5h et 11h du matin )...

[Médiat]

Il faudrait que je ne réponde que lorsque j'ai la tête reposée (donc entre 5h et 11h du matin moi aussi ).

Votre condition est évidemment suffisante, mon excuse c'est qu'elle est aussi nécessaire, il suffit de prendre t=t pour la formule P(t).

[Amanuensis]

Je ne suis pas sur de comprendre ce que vous voulez dire.

Formulé autrement, l'ensemble des parties d'un ensemble ne peut pas être l'idée naïve de "tous les sous-ensembles imaginables", sinon le schéma de remplacement ne servirait à rien.

L'aspect "restrictif" du schéma d'axiomes de remplacement porterait sur ce qu'on peut appeler "ensemble élément de l'ensemble des parties". On se restreint à ceux que l'on peut définir en appliquant les axiomes disponibles, dont le schéma de remplacement.

N'est-ce pas cette restriction qui permet d'avoir un modèle dénombrable de R sans faire apparaître de contradiction ?

[Médiat]

Formulé autrement, l'ensemble des parties d'un ensemble ne peut pas être l'idée naïve de "tous les sous-ensembles imaginables",

Oui !

sinon le schéma de remplacement ne servirait à rien.

Je ne vois pas le lien, cf. infra.

L'aspect "restrictif" du schéma d'axiomes de remplacement porterait sur ce qu'on peut appeler "ensemble élément de l'ensemble des parties". On se restreint à ceux que l'on peut définir en appliquant les axiomes disponibles, dont le schéma de remplacement.

Personnellement, je sens les choses dans l'autre sens (mais c'est une question de point de vue), pour moi l'aspect restrictif du schéma d'axiomes de remplacement porte sur la capacité d'une formule à définir un ensemble, puisque celui-ci doit forcément être un sous-ensemble d'un ensemble identifié.

N'est-ce pas cette restriction qui permet d'avoir un modèle dénombrable de R sans faire apparaître de contradiction ?

Je pense que ce point est plus subtile que cela. Même sans ce schéma, l'axiome de l'ensemble des parties ne peut pas garantir que l'ensemble des parties d'un ensemble contient bien l'idée naïve de "tous les sous-ensembles imaginables".

N'oubliez pas que si ZF ne garantit pas que l'ensemble des parties d'un ensemble contient bien l'idée naïve de "tous les sous-ensembles imaginables", elle ne l'interdit pas non plus, et pourtant, dans un tel modèle, la classe des ordinaux n'est pas un ensemble.

[Amanuensis]

Personnellement, je sens les choses dans l'autre sens (mais c'est une question de point de vue), pour moi l'aspect restrictif du schéma d'axiomes de remplacement porte sur la capacité d'une formule à définir un ensemble, puisque celui-ci doit forcément être un sous-ensemble d'un ensemble identifié.

On peut utiliser l'axiome de la paire pour construire des ensembles sans qu'ils soient a priori sous-ensembles, non ?

D'ailleurs, a-t-on besoin du schéma d'axiomes de remplacement si on n'a pas l'axiome de l'infini ?

[Médiat]

On peut utiliser l'axiome de la paire pour construire des ensembles sans qu'ils soient a priori sous-ensembles, non ?

Oui.

D'ailleurs, a-t-on besoin du schéma d'axiomes de remplacement si on n'a pas l'axiome de l'infini ?

Ne pas avoir l'axiome de l'infini n'entraîne pas que tous les ensembles soient finis . D'autre part, il me semble que pouvoir dire "les x qui vérifient forment un ensemble" (je ne peux jamais résister à vérifie ), or, même dans un modèle sans aucun ensemble infini, il ne faudrait pas pouvoir dire "les x qui vérifient x = x forment un ensemble".

[Amanuensis]

Ne pas avoir l'axiome de l'infini n'entraîne pas que tous les ensembles soient finis .

C'est juste "il y a un modèle où tous les ensembles sont finis", c'est cela ?

[Médiat]

C'est bien cela (Au moins un pour être plus précis).

[Amanuensis]

On peut utiliser l'axiome de la paire pour construire des ensembles sans qu'ils soient a priori sous-ensembles, non ?

Je voulais dire plutôt "les axiomes de la paire et de l'union".

Si on prend comme axiomes seulement :

0) Extension

1) Existence de l'ensemble vide

2) Paire

3) Union

Peut-on dire que V_ω en est un modèle ?

Et dans ce modèle, tous les ensembles sont bien-fondés ?

Et peut-on dire qu'il en existe aussi des modèles avec des ensembles non "bien-fondés" ?

[Amanuensis]

PS : Ce que je cherche, avec les questions dans ce fil et dans un autre parallèle, c'est une sorte "d'ordre logique" de présentation des axiomes et de leurs variantes, suite à une demande hors forum sur les axiomes de la théorie des ensembles.

La vulgarisation que je trouve (genre le Wiki) ne me satisfait pas trop, parce qu'elle déverse sur le lecteur tous les axiomes d'un seul coup, comme on vide une brouette.

[Médiat]

Je voulais dire plutôt "les axiomes de la paire et de l'union".

Si a et b sont deux ensembles, {a, b} est bien un ensemble construit sans être un sous-ensemble d'un ensemble connu, sans qu'il soit nécessaire d'en appeler à l'axiome de l'union.

Si on prend comme axiomes seulement :
0) Extension
1) Existence de l'ensemble vide
2) Paire
3) Union

Peut-on dire que V_ω en est un modèle ?

V_ω est un modèle de ZFC - axiome de l'infini, donc a fortiori d'un sous-système d'axiomes.

Et dans ce modèle, tous les ensembles sont bien-fondés ?

Oui.

Et peut-on dire qu'il en existe aussi des modèles avec des ensembles non "bien-fondés" ?

L'axiome de fondation étant indécidable dans ZFC, il l'est a fortiori dans un sous-système, donc oui.

[Amanuensis]

Un cran plus loin, peut-on dire que V_ω est un sous-modèle de n'importe quel modèle du petit système d'axiomes indiqué ?

[Amanuensis]

Si a et b sont deux ensembles, {a, b} est bien un ensemble construit sans être un sous-ensemble d'un ensemble connu, sans qu'il soit nécessaire d'en appeler à l'axiome de l'union.

Oui, mon assertion originale était littéralement correcte, mais cela ne correspondait pas à l'idée que j'avais en tête. L'axiome de la paire ne va pas très loin seul, il ne permet de construire que des ensembles de cardinal 2. Et y ajouter ou non l'axiome de séparation n'était pas une question très intéressante !

[Médiat]

Un cran plus loin, peut-on dire que V_ω est un sous-modèle de n'importe quel modèle du petit système d'axiomes indiqué ?

Je n'oserais pas appeler cela une démonstration, mais il me semble que la paire et l'union (+ ensemble vide) permettent de créer tous les ensembles héréditairement finis, donc oui, cela en serait même le modèle premier.

Il faudrait une vraie démonstration, mais je ne crois pas qu'elle soit très compliquée.

[Amanuensis]

L'axiome de la paire ne va pas très loin seul, il ne permet de construire que des ensembles de cardinal 2.

Correction : On m'a fait remarqué hors forum qu'il permet aussi de construire des singletons Et que ça manquerait sinon !

Pour construire les premiers ordinaux en partant de l'ensemble vide, sauf erreur de ma part :

L'axiome de la paire permet de construire 1, le singleton {Ø}.

L'axiome de la paire permet de construire 2, {Ø, {Ø}}.

L'axiome de la paire permet de construire le singleton {2}, puis la paire {2, {2}} et l'axiome de l'union permet de construire 3 à partir de cette paire.

Etc.

Comment faire beaucoup avec très peu d'outils...