Une intégrale, une réciproque et une limite

[invitefa2e1768]

Bonjour,
Je travaille actuellement sur 3 problèmes qui me tracassent. Quelqu'un aurait-il une idée de comment je pourrais au commencer à résoudre les problèmes suivants ?

1. calculer intégrale(1/(1+t^3)) sur 0 à plus l'infini
2. Réciproque de racine(cos(x)/(1+sin(x)))
3. lim (2^x -4)/(ln(x-1)) en x -> 2
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[invite57a1e779]

Bonjour,

1. calculer intégrale(1/(1+t^3)) sur 0 à plus l'infini

Décomposer la fraction en éléments simples, ou le théorème des résidus sur un contour bien choisi.

2. Réciproque de racine(cos(x)/(1+sin(x)))

Passer par la tangente de l'arc moitié.

3. lim (2^x -4)/(ln(x-1)) en x -> 2

Utiliser un développement limité, ou la règle de L'Hôpital, ou revenir à la définition du nombre dérivé.

[invitefa2e1768]

merci de répondre aussi vite. Alors j'ai eu la même idée pour l'intégrale. J'ai décomposé en 1/3(x+1) + (2-x)/3(x^2-x+1)
Mais je sais qu'il existe aussi une forme avec les exponentielles étant donné que j'ai des racines complexes.
Pour la limites je vais voir ça, mais Je vois pas trop clair dans ton idée.
Pour la réciproque aussi c'est très clair je vais me documenter et poster d'ici là.

[invitefa2e1768]

après quelques minutes je trouve la réciproque :
Je ne détaille pas les calculs car un peu longs.
Je trouve f^(-1) = 2 arctan ((1-x^2)/(1+x^2)) ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa2e1768]

J'ai toujours du mal avec la limite. Je trouve 4 pour la limite alors que je m'attends à un 4ln(2). Ai je loupé quelquechose ?
Lim (2^x - 4)/(ln(x-1)) en 2 = lim (x*2^(x-1))*(x-1) = 4 !!!!
Ai je fait une erreur dans la détermination de la limite ? Aidez moi svp, je veux comprendre