Limite de suite définie par une intégrale.

[invitedb2255b0]

Bien le bonjour à vous.
Je rentre en L1 maths et pour réaliser mes projet je doit majorer en L1/L2. Ainsi pour bien commencer mon année, j'ai acheter des bouquin qui prépare l'entrée en prepa. Je suis en ce moment sur le chapitre Intégrale, et voici une question sur laquelle je bloque:

A l'aide de majoration et d'encadrement, déterminez la limite quand n tend vers l'infini de:


La solution donnée par le bouquin est la suivante:
On a et sur

Cela nous permet donc de dire que:

Et donc que
Comme
et que
Les flics nous assurent que la limite chercher est bien 0.


Soit, je comprend parfaitement le raisonnement j'aurais même très bien pu le trouver tout seul, mais quelque chose me choque:
sur
Vous voyez pas comme une incohérence ?

Peut-être que le bouquin s'est tromper, si c'est le cas, pouvez vous m'aider à obtenir le resultat en passant par une autre méthode s'il vous plait ?
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[invite93e0873f]

sur

Cela ne tient évidemment pas la route. Si tu ne retiens que pour (arrêter l'intervalle à pi n'est clairement pas une implication de l'inégalité), tout le reste tient, puisque que tu obtiens que l'intégrale est encadrée inférieurement et supérieurement respectivement par 0 et , la limite de n allant vers l'infini faisant donc tendre l'intégrale vers 0.

[invitedb2255b0]

Oui, c'était pourtant évident ... merci à toi.
J'aurais également du y penser moi même, et çà m'énerve. Tous les exercices que je fais ne requiert que les connaissance de terminal (même si ils sont parfois, bien loin d'être du niveau terminal) et je comprend toujours les raisonnement donner dans les solutions mais j'ai du mal à y penser spontanément. J'arriverais sans doute à m'en rappeler une fois le raisonnement vu une fois, mais çà m'énerve à chaque fois de me dire "Bah oui c'est tellement évident ...."

[invitedb2255b0]

J'en profite pour poser une seconde question:

Avec la même consigne:


Ai-je le droit de dire (pour simplifier la question) que lorsque n tend vers l'infini, tend vers ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Salut,

mais quelque chose me choque:
sur
Vous voyez pas comme une incohérence ?

Si l'on change le sens de l'inégalité le raisonnement tient la route.

Avec la même consigne:

C'est normal que le truc sous la racine soit négatif ?

[invitec317278e]

vu que sqrt(1-x²) n'est pas définie pour x>1, je comprends pas la question

[invitedb2255b0]

Oops, erreur dans l'enoncer, je voulais dire

[invitedb2255b0]

J'en profite pour poser une seconde question:

Avec la même consigne:


Ai-je le droit de dire (pour simplifier la question) que lorsque n tend vers l'infini, tend vers ?

Ouf, j'vais y arriver, désoler pour le triple post.

[invitec317278e]

et les bornes?

[invitedb2255b0]

HAAAAAAAAAAAAAAAAAAa mais c'est pas possible ....

Bon alors, c'est pas mais

Ca à plus de sens déjà non ?

Pour flychezpaquoi plus haut, non justement si on inverse l'inégalité le raisonnement ne tiens plus la route à cause du sens de l'inégalité justement. Mais en remplacant par x+n>n ca marche parfaitement

[Flyingsquirrel]

Pour flychezpaquoi plus haut,

C'est Flyingsquirrel pas « flychezpaquoi ».

non justement si on inverse l'inégalité le raisonnement ne tiens plus la route à cause du sens de l'inégalité justement.

Oui, c'est vrai.

[invitec317278e]

on a :


etc...

[invitedb2255b0]

Pardonne moi, Flyingquirrel =)


En voici encore une (pas à titre d'aide, juste pour votre plaisir ):

[invitedb2255b0]

Oui thorin, j'ai fait comme çà, mais je voulais juste savoir si c'étais possible de partir du fait qu'en tendant vers l'infini, l'intégrale tendais vers et donc 0

[invitec317278e]

explicite tes pointillés ! tu dissimules la difficulté, là...

[invitedb2255b0]

explicite tes pointillés ! tu dissimules la difficulté, là...

Et bien enfin peut-importe justement vu que

[invitec317278e]

tu peux pas passer à la limite avec un des n,et laisser l'autre comme ça

contre exemple flagrant :
on prend la fonction définie par
(autrement dit, la fonction est constante, à n donné, de valeur n²)

si on suit ta magnifique intuition, on a alors tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
or, on a qui ne tend certainement pas vers 0.

[invite93e0873f]

Mais si l'intégrande, qui pour l'intérêt de la discussion est fonction de n, se révèle bornée par rapport à n (i.e soient deux suites {A_n} et {B_n} bornées respectivement inférieurement et supérieurement telles que ), alors une intégrale de la forme avec converge-t-elle?



À la limite de n allant vers l'infini, les différences des deux côtés tendent vers 0, donc selon les gendarmes l'intégrale qui nous intéresse tend vers 0 aussi. Dans le cas présent, on peut facilement fixer des bornes inférieures et supérieures (bien que fixer la borne supérieure à résout le problème, comme Thorin l'a montré) et obtenir le résultat. J'imagine que c'était implicite dans la question de Mikihisa que l'intégrande n'évoluant pas avec n de façon à contrebalancer totalement les effets de g(n), mais bon les précisions de Thorin sont quand mêmes essentielles, car cela montre qu'il faut imposer des conditions comme je l'ai fait (peut-être en existe-t-il des plus larges) pour que la convergence vers 0 de l'intégrale ne dépende que de la convergence de g(n) vers a.

[invitedb2255b0]

tu peux pas passer à la limite avec un des n,et laisser l'autre comme ça

contre exemple flagrant :
on prend la fonction définie par
(autrement dit, la fonction est constante, à n donné, de valeur n²)

si on suit ta magnifique intuition, on a alors tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
or, on a qui ne tend certainement pas vers 0.

Ca parrait incroyable mais pourtant vrai. Alalala les mathématique me surprennent de jour en jour.

Pour Universus, je comprend bien ton intervention, mais la difficulté ne vas pas jusqu'à là. L'application f prend en compte comme un nombre quelconque et non comme une variable .

J'ai encore une question (dans le même exercice qui me pose problème. J'ai beau me tournicoté dans tous les sens j'my retrouve pas:


Soit : dérivable et de dérivée continue.
Montrer à l'aide d'une intégration par partie que:


Le bonne blague étant que l'auteur du bouquin n'as pas pris la peine de corriger cette question (surement un oublie ).

Soit.
J'intègre par partie.
On pose



On a donc:

Et donc:


Voilà, et là je suis pas plus avancer, alors je pourrais refaire des intégration par partie à l'infini, ca ne servirais à rien.

En partant dans l'autre sens j'aurais pu faire une suite d'intégration par partie qui donnerais un truc comme çà (si je ne me trompe pas):
où est la primitive de f.
Quant à expliciter cette sommes, ne m'en parler même pas j'en suis strictement incapable.

[invitedb2255b0]

J'ai oublier dans ma sommes, il faut rajouter (en dehors de la sommes) ou selon que n soit pair ou impair.

[Flyingsquirrel]

Et donc:

C'est le moment de se servir de l'hypothèse « est continue » : on intègre sur un intervalle fermé borné et une fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée, on peut donc majorer pour pris dans par un réel . Essaie de voir à quoi cela peut bien te servir...

[invitec317278e]

sinon, on doit pouvoir se servir de cauchy schwarz.

[invitedb2255b0]

En supposant que f'(x) est positive sur [0;1], on aurait donc:

On peut alors passer à l'intégrale en supposant la dérivé croissante.


Avec

Donc d'apres nos amis les flics:

Comme


On obtient bien que:

i.e.


C'est parfait, merci beaucoup !!
Encore une fois je m'en veux de ne pas y avoir penser tout seul !!

Bougre que je suis nul !!!!!

[invitec317278e]

cependant, le fait qu'une fonction continue sur un segment admette un sup n'est pas un fait complètement évident, et pas forcément connu en TS.