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Etude d'une suite définie par une intégrale



  1. #1
    Tonton87

    Etude d'une suite définie par une intégrale


    ------

    Bonjour,
    Voici l'exercice en question :
    Le plan est muni d'un repère orthonormé (O; i,j)
    Partie A:
    on désigne delta la droite d'équation y=x+1 et par lambda la courbe d'équation y=ex

    2.a. Démontrer que, pour tout réel t, et>t+1. Interpréter graphiquement ce résultat.
    2.b. En déduire que, pour tout réel t, e-t+t>1 et que pour tout x de ]0;+infini[, 1/x+ ln x>1

    Nous venons juste de commencer le chapitre des intégrales c'est pourquoi je m'en remets à vous en espérant que vous arriviez à m'aider ... Merci d'avance
    (Il y a également une seconde partie que je détaillerai une fois celle-ci terminée)

    -----

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  3. #2
    Arkangelsk

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Bonjour,

    2.a. Démontrer que, pour tout réel t, et>t+1. Interpréter graphiquement ce résultat.
    As-tu réussi cette question ?

  4. #3
    Tonton87

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Non, je bloque à cette question justement ... as-tu une solution à me proposer ?

  5. #4
    zorro63

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Question a), définis la fonction f(t)=exp(t)-t-1 et étudie-là (dérivée, variation puis signe), tu verras, ça marche

    Question b), exp(-t)+t>1 est évident à partir de la première question (un petit changement de variable)
    1/x+ ln x>1 il faut faire un autre petit changement de variable astucieux...je te laisse chercher
    Pas besoin d'intégration !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Arkangelsk

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Question a), définis la fonction f(t)=exp(t)-t-1 et étudie-là (dérivée, variation puis signe), tu verras, ça marche
    Tu peux au choix, calculer la dérivée première et déterminer son signe, ou calculer les dérivées première et seconde de .

  8. #6
    Tonton87

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Pour la question a) tu as raison cela marche "interpréter graphiquement" aurait du me mettre sur la voie :/

    Par contre pour la b.
    Je pars donc de et>t+1
    et-t>1
    Comment puis-je passer de et-t>1 à e-t+t>1 ?

    Est- ce que je peux dire par exemple : Posons t = -t ?
    Dernière modification par Tonton87 ; 13/02/2009 à 16h22.

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  10. #7
    Arkangelsk

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Citation Envoyé par Tonton87 Voir le message
    Pour la question a) tu as raison cela marche "interpréter graphiquement" aurait du me mettre sur la voie :/

    Est- ce que je peux dire par exemple : Posons ?
    C'est l'idée ... Pose et cela va tout seul .

  11. #8
    Tonton87

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Pour la deuxième partie de la question b. Si je pose V = ln x

    J'obtiens :
    e-V+V >1
    e-ln x+ln x >1
    d'où e1/x + ln x >1

    Mais ce n'est pas exactement ce qu'il faut démontrer ...

  12. #9
    Tonton87

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Oups pardon, j'ai fais une petite erreur, je tombe bien sur le bon résultat !! Merci pour ton aide

  13. #10
    Tonton87

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Je vais donc continuer avec la partie B :
    Soit g la fonction définie sur ]0;+infini[ par : g(x) = (x+1)ln x

    1.a. étudier le sens de variation
    b. étudier les limites en O et + l'infini
    (Je suis arrivé ici)

    2. Pour tout n de N* (nombres naturels privés de 0), on pose Un = intégrale de n à n+1 de g(x) dx (je ne sais pas comment mettre des symboles mathématiques j'espère que vous comprendrais malgré cela)

    a.Donner une interprétation géométrique de Un. (question réussite)
    b.Montrer que, pour tout n de N*, g(n)<Un<g(n+1)
    c.En déduire le sens de variation de la suite Un
    Pour cette question j'ai dis que Un étant la primitive de g(x), g(x) est sa dérivée donc j'ai fais une étude de signe à partir de g(x). Est-ce comme ça qu'il faut procéder ?
    d.La suite Un est-elle convergente ?

    La question b. est celle qui me pose le plus problème ....

  14. #11
    Arkangelsk

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Pour écrire de belles formules, tu peux consulter ce lien : Latex.

    b.Montrer que, pour tout n de N*, g(n)<Un<g(n+1)
    Pense à majorer et à minorer l'intégrale sur l'intervalle .

  15. #12
    Tonton87

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Je ne voie pas exactement comment procéder pour minorer, par exemple, la suite Un. Peux-tu m'aiguiller davantage ?

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  17. #13
    Arkangelsk

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Oui.

    Si est un minimum de sur , alors


  18. #14
    Tonton87

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Dans mon cas il faut donc que je trouve le minimum de la fct g(x) = (x+1)*ln x
    Cela revient à faire la limite en O de cette fonction puisqu'elle est définie sur ]0;+inf[ ?
    Je trouve pour limite en 0 : - l'infini ...
    Est-ce juste ? Comment dois-je poursuivre ?

  19. #15
    Arkangelsk

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    on pose Un = intégrale de n à n+1 de g(x) dx (je ne sais pas comment mettre des symboles mathématiques j'espère que vous comprendrais malgré cela)
    Il faut bien étudier la fonction sur , comme je te l'avais indiqué .

  20. #16
    Tonton87

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Citation Envoyé par Arkangelsk Voir le message
    Oui.

    Si est un minimum de sur , alors

    Si je comprends bien : le minimum de g(x) sur [n;n+1] est logiquement g(n) et le maximum est g(n+1) ?
    Donc je peux écrire : g(n) étant le minimum de g(x) sur [n;n+1], donc




    Idem pour le maximum, c'est bien ça ?

  21. #17
    Tonton87

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    c.En déduire le sens de variation de la suite Un. (avec )
    Pour cette question j'ai dis que Un étant la primitive de g(x), g(x) est par conséquent sa dérivée donc j'ai fais une étude de signe à partir de g(x). Est-ce comme ça qu'il faut procéder ? ou y-a-t'il une autre méthode en partant peut-être de la réponse à la question b (où l'on a démontré que pour tout n , ) ?

  22. #18
    zorro63

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Ben oui si tu prends g(n)<Un<g(n+1), tu as le droit d'écrire ça aussi au rang d'après (Un+1) donc que se passe t il ?

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  24. #19
    Tonton87

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    On obtient pour Un+1 :

    Donc je dirais qu'on peut en déduire que la suite (Un) est strictement croissante sur [n;n+1] ?

  25. #20
    Tonton87

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Si mon post #19 est correct, il ne me reste plus qu'à trouver si la suite (Un) est convergente ou non.
    Comme g(n+1) est majorant la suite, je calcul :


    Je trouve que :


    Donc la suite (Un) n'est pas convergente.

    Est-ce juste ? Pourquoi pose-t'il cette question si elle n'est pas convergente ? Ou bien me suis-je trompé ?

  26. #21
    Arkangelsk

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Citation Envoyé par Tonton87 Voir le message
    Donc je dirais qu'on peut en déduire que la suite (Un) est strictement croissante sur [n;n+1] ?
    Oui, mais je ne suis pas tout à fait sûr que tu aies bien compris.

    Tu as démontré que :


    Tu peux écrire cet encadrement au rang ,

    Finalement, , d'où .

  27. #22
    Arkangelsk

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Citation Envoyé par Tonton87 Voir le message
    Si mon post #19 est correct, il ne me reste plus qu'à trouver si la suite (Un) est convergente ou non.
    Comme g(n+1) est majorant la suite, je calcul :


    Je trouve que :


    Donc la suite (Un) n'est pas convergente.

    Est-ce juste ? Pourquoi pose-t'il cette question si elle n'est pas convergente ? Ou bien me suis-je trompé ?
    Que valent et ? Que vaut donc ? La suite est-elle convergente ?

  28. #23
    Tonton87

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Citation Envoyé par Arkangelsk Voir le message
    Oui, mais je ne suis pas tout à fait sûr que tu aies bien compris.

    Tu as démontré que :


    Tu peux écrire cet encadrement au rang ,

    Finalement, , d'où .
    Merci pour cet éclaircissement, c'est vrai que je ne le voyais pas comme ça.

    Concernant les limites en :

    Je trouve : (avec )





    Donc :
    (théorème des gendarmes)

    Donc (Un) ne converge pas. Est-ce correct ?

  29. #24
    Arkangelsk

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Citation Envoyé par Tonton87 Voir le message
    Concernant les limites en :

    Je trouve : (avec )





    Donc :
    (théorème des gendarmes)

    Donc (Un) ne converge pas. Est-ce correct ?
    Je trouve ça correct . diverge vers .

    EDIT lapin savant : Exact. Ne pas évoquer le théorème des gendarmes. Il te suffit de la minoration.
    Dernière modification par Arkangelsk ; 14/02/2009 à 10h34.

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  31. #25
    lapin savant

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Citation Envoyé par Tonton87 Voir le message
    Merci pour cet éclaircissement, c'est vrai que je ne le voyais pas comme ça.

    Concernant les limites en :

    Je trouve : (avec )





    Donc :
    (théorème des gendarmes)

    Donc (Un) ne converge pas. Est-ce correct ?
    Le résultat est correct mais tu n'as pas le droit d'invoquer le principe des gendarmes (tu as besoin d'une limite finie...).
    Tu peux conclure en disant que la suite, croissante, est minorée par qqchose qui tend vers l'infini.


    edit : je sais, ça peut paraitre pointilleux, mais....
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  32. #26
    Tonton87

    Re : Etude d'une suite définie par une intégrale

    Donc je vais plutôt dire que (Un) est minorée par g(n) avec :
    Et que par conséquent elle aussi tend vers l'infini et donc qu'elle ne converge pas.


    Les détails sont importants eux-aussi

    Je vous remercie grandement de m'avoir apporter votre aide à tous.
    MERCI beaucoup

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