Etude d'une suite définie par une intégrale

[inviteab0873a3]

Bonjour,
Voici l'exercice en question :
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O; i,j)
Partie A:
on désigne delta la droite d'équation y=x+1 et par lambda la courbe d'équation y=e^x

2.a. Démontrer que, pour tout réel t, e^t>t+1. Interpréter graphiquement ce résultat.
2.b. En déduire que, pour tout réel t, e^-t+t>1 et que pour tout x de ]0;+infini[, 1/x+ ln x>1

Nous venons juste de commencer le chapitre des intégrales c'est pourquoi je m'en remets à vous en espérant que vous arriviez à m'aider ... Merci d'avance
(Il y a également une seconde partie que je détaillerai une fois celle-ci terminée)
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[Arkangelsk]

Bonjour,

2.a. Démontrer que, pour tout réel t, et>t+1. Interpréter graphiquement ce résultat.

As-tu réussi cette question ?

[inviteab0873a3]

Non, je bloque à cette question justement ... as-tu une solution à me proposer ?

[invite6985b48f]

Question a), définis la fonction f(t)=exp(t)-t-1 et étudie-là (dérivée, variation puis signe), tu verras, ça marche

Question b), exp(-t)+t>1 est évident à partir de la première question (un petit changement de variable)
1/x+ ln x>1 il faut faire un autre petit changement de variable astucieux...je te laisse chercher
Pas besoin d'intégration !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkangelsk]

Question a), définis la fonction f(t)=exp(t)-t-1 et étudie-là (dérivée, variation puis signe), tu verras, ça marche

Tu peux au choix, calculer la dérivée première et déterminer son signe, ou calculer les dérivées première et seconde de .

[inviteab0873a3]

Pour la question a) tu as raison cela marche "interpréter graphiquement" aurait du me mettre sur la voie :/

Par contre pour la b.
Je pars donc de e^t>t+1
e^t-t>1
Comment puis-je passer de e^t-t>1 à e^-t+t>1 ?

Est- ce que je peux dire par exemple : Posons t = -t ?

[Arkangelsk]

Pour la question a) tu as raison cela marche "interpréter graphiquement" aurait du me mettre sur la voie :/

Est- ce que je peux dire par exemple : Posons ?

C'est l'idée ... Pose et cela va tout seul .

[inviteab0873a3]

Pour la deuxième partie de la question b. Si je pose V = ln x

J'obtiens :
e^-V+V >1
e^{-ln x}+ln x >1
d'où e^1/x + ln x >1

Mais ce n'est pas exactement ce qu'il faut démontrer ...

[inviteab0873a3]

Oups pardon, j'ai fais une petite erreur, je tombe bien sur le bon résultat !! Merci pour ton aide

[inviteab0873a3]

Je vais donc continuer avec la partie B :
Soit g la fonction définie sur ]0;+infini[ par : g(x) = (x+1)ln x

1.a. étudier le sens de variation
b. étudier les limites en O et + l'infini
(Je suis arrivé ici)

2. Pour tout n de N* (nombres naturels privés de 0), on pose Un = intégrale de n à n+1 de g(x) dx (je ne sais pas comment mettre des symboles mathématiques j'espère que vous comprendrais malgré cela)

a.Donner une interprétation géométrique de Un. (question réussite)
b.Montrer que, pour tout n de N*, g(n)<Un<g(n+1)
c.En déduire le sens de variation de la suite Un
Pour cette question j'ai dis que Un étant la primitive de g(x), g(x) est sa dérivée donc j'ai fais une étude de signe à partir de g(x). Est-ce comme ça qu'il faut procéder ?
d.La suite Un est-elle convergente ?

La question b. est celle qui me pose le plus problème ....

[Arkangelsk]

Pour écrire de belles formules, tu peux consulter ce lien : Latex.

b.Montrer que, pour tout n de N*, g(n)<Un<g(n+1)

Pense à majorer et à minorer l'intégrale sur l'intervalle .

[inviteab0873a3]

Je ne voie pas exactement comment procéder pour minorer, par exemple, la suite Un. Peux-tu m'aiguiller davantage ?

[Arkangelsk]

Oui.

Si est un minimum de sur , alors

[inviteab0873a3]

Dans mon cas il faut donc que je trouve le minimum de la fct g(x) = (x+1)*ln x
Cela revient à faire la limite en O de cette fonction puisqu'elle est définie sur ]0;+inf[ ?
Je trouve pour limite en 0 : - l'infini ...
Est-ce juste ? Comment dois-je poursuivre ?

[Arkangelsk]

on pose Un = intégrale de n à n+1 de g(x) dx (je ne sais pas comment mettre des symboles mathématiques j'espère que vous comprendrais malgré cela)

Il faut bien étudier la fonction sur , comme je te l'avais indiqué .

[inviteab0873a3]

Oui.

Si est un minimum de sur , alors

Si je comprends bien : le minimum de g(x) sur [n;n+1] est logiquement g(n) et le maximum est g(n+1) ?
Donc je peux écrire : g(n) étant le minimum de g(x) sur [n;n+1], donc




Idem pour le maximum, c'est bien ça ?

[inviteab0873a3]

c.En déduire le sens de variation de la suite Un. (avec )
Pour cette question j'ai dis que Un étant la primitive de g(x), g(x) est par conséquent sa dérivée donc j'ai fais une étude de signe à partir de g(x). Est-ce comme ça qu'il faut procéder ? ou y-a-t'il une autre méthode en partant peut-être de la réponse à la question b (où l'on a démontré que pour tout n , ) ?

[invite6985b48f]

Ben oui si tu prends g(n)<Un<g(n+1), tu as le droit d'écrire ça aussi au rang d'après (Un+1) donc que se passe t il ?

[inviteab0873a3]

On obtient pour Un+1 :

Donc je dirais qu'on peut en déduire que la suite (Un) est strictement croissante sur [n;n+1] ?

[inviteab0873a3]

Si mon post #19 est correct, il ne me reste plus qu'à trouver si la suite (Un) est convergente ou non.
Comme g(n+1) est majorant la suite, je calcul :


Je trouve que :


Donc la suite (Un) n'est pas convergente.

Est-ce juste ? Pourquoi pose-t'il cette question si elle n'est pas convergente ? Ou bien me suis-je trompé ?

[Arkangelsk]

Donc je dirais qu'on peut en déduire que la suite (Un) est strictement croissante sur [n;n+1] ?

Oui, mais je ne suis pas tout à fait sûr que tu aies bien compris.

Tu as démontré que :


Tu peux écrire cet encadrement au rang ,

Finalement, , d'où .

[Arkangelsk]

Si mon post #19 est correct, il ne me reste plus qu'à trouver si la suite (Un) est convergente ou non.
Comme g(n+1) est majorant la suite, je calcul :


Je trouve que :


Donc la suite (Un) n'est pas convergente.

Est-ce juste ? Pourquoi pose-t'il cette question si elle n'est pas convergente ? Ou bien me suis-je trompé ?

Que valent et ? Que vaut donc ? La suite est-elle convergente ?

[inviteab0873a3]

Oui, mais je ne suis pas tout à fait sûr que tu aies bien compris.

Tu as démontré que :


Tu peux écrire cet encadrement au rang ,

Finalement, , d'où .

Merci pour cet éclaircissement, c'est vrai que je ne le voyais pas comme ça.

Concernant les limites en :

Je trouve : (avec )





Donc :
(théorème des gendarmes)

Donc (Un) ne converge pas. Est-ce correct ?

[Arkangelsk]

Concernant les limites en :

Je trouve : (avec )





Donc :
(théorème des gendarmes)

Donc (Un) ne converge pas. Est-ce correct ?

Je trouve ça correct . diverge vers .

EDIT lapin savant : Exact. Ne pas évoquer le théorème des gendarmes. Il te suffit de la minoration.

[inviteec9de84d]

Merci pour cet éclaircissement, c'est vrai que je ne le voyais pas comme ça.

Concernant les limites en :

Je trouve : (avec )





Donc :
(théorème des gendarmes)

Donc (Un) ne converge pas. Est-ce correct ?

Le résultat est correct mais tu n'as pas le droit d'invoquer le principe des gendarmes (tu as besoin d'une limite finie...).
Tu peux conclure en disant que la suite, croissante, est minorée par qqchose qui tend vers l'infini.


edit : je sais, ça peut paraitre pointilleux, mais....

[inviteab0873a3]

Donc je vais plutôt dire que (Un) est minorée par g(n) avec :
Et que par conséquent elle aussi tend vers l'infini et donc qu'elle ne converge pas.


Les détails sont importants eux-aussi

Je vous remercie grandement de m'avoir apporter votre aide à tous.
MERCI beaucoup