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limite d'une suite définie par récurrence?



  1. #1
    neokiller007

    limite d'une suite définie par récurrence?


    ------

    Salut,

    Dans mon cours j'ai ceci:

    u0 € R donné
    un+1=f(un)
    Si on établi que u converge vers une limite l et si f est continue alors l est une des solutions de l'équation f(x)=x

    Comme j'ai pas de démonstration dans mon cours je suppose que c'est un théorème admis.
    Mais est-il normal que je n'arrive pas à comprendre pourquoi, à sentir le truc? (ce qui n'aide pas pour retenir le théorème...).
    Si oui, pourquoi.
    Si non, expliquez moi.

    Merci.

    -----

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  4. #2
    Tnak, philo-chimo-sophe

    Re : limite d'une suite définie par récurrence?

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Salut,

    Dans mon cours j'ai ceci:

    u0 € R donné
    un+1=f(un)
    Si on établi que u converge vers une limite l et si f est continue alors l est une des solutions de l'équation f(x)=x

    Comme j'ai pas de démonstration dans mon cours je suppose que c'est un théorème admis.
    Mais est-il normal que je n'arrive pas à comprendre pourquoi, à sentir le truc? (ce qui n'aide pas pour retenir le théorème...).
    Si oui, pourquoi.
    Si non, expliquez moi.

    Merci.
    Salut !
    Oui, je comprend que de premier abord la démonstration ne soit pas évidente ; notre professeur de maths en terminale nous l'avait donné avec un exemple pour mieux l'assimiler.
    En fait, c'est relativement simple : si un converge vers l, alors lim(un) = l ; or se plaçant pour n tendant vers l'infini, on peut affirmer que n+1 tend vers l'infini, soit lim (un) = lim((un+1). On en déduit l = f(l).
    J'espère avoir été clair (c'est vrai que c'est pas forcément évident à voir)...
    "Rappelez vous toujours que... mince, j'ai un blanc"

  5. #3
    neokiller007

    Re : limite d'une suite définie par récurrence?

    J'ai absolument rien compris.
    Et pour cause "l = f(l)" est faux.
    l est un nombre et f(l) est un nombre totalement différent.

  6. #4
    MiMoiMolette

    Re : limite d'une suite définie par récurrence?

    Salut,

    Ce qu'il faut comprendre, c'est que quand n tend vers + infini, que ce soit Un+1 ou Un, les deux tendront vers la même limite. En supposant que celle-ci soit finie, on la note l.

    Donc la limite de Un = limite de Un+1, ie limite Un+1 = l

    Or, la limite de Un+1 est la limite de f(Un), càd la f(limite Un) = f(l)

    d'où f(l)=l

    Et tu cherches l tel que f(l)=l
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

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  8. #5
    neokiller007

    Re : limite d'une suite définie par récurrence?

    J'ai du mal avec: "Or, la limite de Un+1 est la limite de f(Un), càd la f(limite Un) = f(l)"
    Un+1=f(Un), on est d'accord.
    Donc limite de Un+1=limite de f(Un)
    Je vois pas ce qu'on peut tirer de cela...

  9. #6
    Gwyddon

    Re : limite d'une suite définie par récurrence?

    Bonjour,

    As-tu le le message de MiMoiMolette ?

    Manifestement il te faut un exemple, donc je vais t'en donner un.

    D'abord es-tu convaincu que si une suite (un) tends vers un réel l, alors

    ?

    Exemple :

    Ici ta suite a une définition particulière : u(n+1) = f(u(n))

    Mais le raisonnement est le même : si la suite converge, on a

    (**)

    Or cette fois-ci, tu as l'égalité u(n+1)=f(u(n)), donc tu peux réécrire (**) ainsi :

    (***)

    Jusque là, ça va ?

    Bon maintenant tu sais par ailleurs que si une fonction f est continue, et qu'une suite w(n) tend vers un réel X, tu as



    Je peux te le démontrer si ce point précis te bloque.

    Exemple : . Cette suite converge vers 0.

    Soit f(x)=exp(x), f est continue. Tu as bien




    Donc ici, tu reprends le message de MiMoiMolette :



    Mais par ailleurs tu as (***), et c'est cette égalité, qui te donne alors

    f(l)=l
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  11. #7
    neokiller007

    Re : limite d'une suite définie par récurrence?

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Bonjour,

    As-tu le le message de MiMoiMolette ?
    Oui, mon message portait sur celui-ci

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Manifestement il te faut un exemple, donc je vais t'en donner un.

    D'abord es-tu convaincu que si une suite (un) tends vers un réel l, alors

    ?

    Exemple :

    Oui ça j'ai compris je l'ai écrit dans le message.

    Ici ta suite a une définition particulière : u(n+1) = f(u(n))

    Mais le raisonnement est le même : si la suite converge, on a

    (**)

    Or cette fois-ci, tu as l'égalité u(n+1)=f(u(n)), donc tu peux réécrire (**) ainsi :

    (***)

    Jusque là, ça va ?
    Oui ça j'ai compris je l'ai écrit dans le message.

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Bon maintenant tu sais par ailleurs que si une fonction f est continue, et qu'une suite w(n) tend vers un réel X, tu as

    Heu... non

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Je peux te le démontrer si ce point précis te bloque.
    Je veux bien.

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Exemple : . Cette suite converge vers 0.

    Soit f(x)=exp(x), f est continue. Tu as bien

    Normalement on doit pas faire comme une composée?
    C'est à dire

    Et
    Donc

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Donc ici, tu reprends le message de MiMoiMolette :

    Voila je bloque précisément sur ça.
    Je pense qu'une démonstration devrait m'aider à comprendre.

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Mais par ailleurs tu as (***), et c'est cette égalité, qui te donne alors

    f(l)=l
    Ca d'accord.

  12. #8
    Gwyddon

    Re : limite d'une suite définie par récurrence?

    OK. Alors je rappelle la définition de la continuité : dire que f est continue en X signifie que pour tout réel il existe un réel tel que si alors : "on peut s'approcher autant que l'on veut de f(X)"


    Je rappelle la définition de la limite d'une suite : tend vers X si pour tout réel il existe un entier tel que pour tout on a



    Donc ici, soit un réel .

    Par hypothèse f est continue en X donc il existe un réel tel que si alors (1)

    Or tend vers X : avec le réel il existe un certain entier N tel que si alors


    Maisalors, pour , grâce à (1), on a

    Donc en résumé, on a montré que pour tout réel , il existe un certain entier N tel que si alors .

    Ceci veut très exactement dire que
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  13. #9
    neokiller007

    Re : limite d'une suite définie par récurrence?

    Heu f est continue en a ça veut pas plutôt dire ?

  14. #10
    Gwyddon

    Re : limite d'une suite définie par récurrence?

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Heu f est continue en a ça veut pas plutôt dire ?
    C'est très exactement ce que j'ai écrit...
    Dernière modification par Gwyddon ; 27/02/2008 à 11h22.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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