limite d'une suite définie par récurrence?

[neokiller007]

Salut,

Dans mon cours j'ai ceci:

u₀ € R donné
u_n+1=f(u_n)
Si on établi que u converge vers une limite l et si f est continue alors l est une des solutions de l'équation f(x)=x

Comme j'ai pas de démonstration dans mon cours je suppose que c'est un théorème admis.
Mais est-il normal que je n'arrive pas à comprendre pourquoi, à sentir le truc? (ce qui n'aide pas pour retenir le théorème...).
Si oui, pourquoi.
Si non, expliquez moi.

Merci.
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[invite7a018f1a]

Salut,

Dans mon cours j'ai ceci:

u₀ € R donné
u_n+1=f(u_n)
Si on établi que u converge vers une limite l et si f est continue alors l est une des solutions de l'équation f(x)=x

Comme j'ai pas de démonstration dans mon cours je suppose que c'est un théorème admis.
Mais est-il normal que je n'arrive pas à comprendre pourquoi, à sentir le truc? (ce qui n'aide pas pour retenir le théorème...).
Si oui, pourquoi.
Si non, expliquez moi.

Merci.

Salut !
Oui, je comprend que de premier abord la démonstration ne soit pas évidente ; notre professeur de maths en terminale nous l'avait donné avec un exemple pour mieux l'assimiler.
En fait, c'est relativement simple : si u_n converge vers l, alors lim(u_n) = l ; or se plaçant pour n tendant vers l'infini, on peut affirmer que n+1 tend vers l'infini, soit lim (u_n) = lim((u_n+1). On en déduit l = f(l).
J'espère avoir été clair (c'est vrai que c'est pas forcément évident à voir)...

[neokiller007]

J'ai absolument rien compris.
Et pour cause "l = f(l)" est faux.
l est un nombre et f(l) est un nombre totalement différent.

[invite1237a629]

Salut,

Ce qu'il faut comprendre, c'est que quand n tend vers + infini, que ce soit Un+1 ou Un, les deux tendront vers la même limite. En supposant que celle-ci soit finie, on la note l.

Donc la limite de Un = limite de Un+1, ie limite Un+1 = l

Or, la limite de Un+1 est la limite de f(Un), càd la f(limite Un) = f(l)

d'où f(l)=l

Et tu cherches l tel que f(l)=l

[A voir en vidéo sur Futura]

[neokiller007]

J'ai du mal avec: "Or, la limite de Un+1 est la limite de f(Un), càd la f(limite Un) = f(l)"
Un+1=f(Un), on est d'accord.
Donc limite de Un+1=limite de f(Un)
Je vois pas ce qu'on peut tirer de cela...

[Gwyddon]

Bonjour,

As-tu le le message de MiMoiMolette ?

Manifestement il te faut un exemple, donc je vais t'en donner un.

D'abord es-tu convaincu que si une suite (un) tends vers un réel l, alors

?

Exemple :

Ici ta suite a une définition particulière : u(n+1) = f(u(n))

Mais le raisonnement est le même : si la suite converge, on a

(**)

Or cette fois-ci, tu as l'égalité u(n+1)=f(u(n)), donc tu peux réécrire (**) ainsi :

(***)

Jusque là, ça va ?

Bon maintenant tu sais par ailleurs que si une fonction f est continue, et qu'une suite w(n) tend vers un réel X, tu as



Je peux te le démontrer si ce point précis te bloque.

Exemple : . Cette suite converge vers 0.

Soit f(x)=exp(x), f est continue. Tu as bien




Donc ici, tu reprends le message de MiMoiMolette :



Mais par ailleurs tu as (***), et c'est cette égalité, qui te donne alors

f(l)=l

[neokiller007]

Bonjour,

As-tu le le message de MiMoiMolette ?

Oui, mon message portait sur celui-ci

Manifestement il te faut un exemple, donc je vais t'en donner un.

D'abord es-tu convaincu que si une suite (un) tends vers un réel l, alors

?

Exemple :

Oui ça j'ai compris je l'ai écrit dans le message.

Ici ta suite a une définition particulière : u(n+1) = f(u(n))

Mais le raisonnement est le même : si la suite converge, on a

(**)

Or cette fois-ci, tu as l'égalité u(n+1)=f(u(n)), donc tu peux réécrire (**) ainsi :

(***)

Jusque là, ça va ?

Oui ça j'ai compris je l'ai écrit dans le message.

Bon maintenant tu sais par ailleurs que si une fonction f est continue, et qu'une suite w(n) tend vers un réel X, tu as

Heu... non

Je peux te le démontrer si ce point précis te bloque.

Je veux bien.

Exemple : . Cette suite converge vers 0.

Soit f(x)=exp(x), f est continue. Tu as bien

Normalement on doit pas faire comme une composée?
C'est à dire

Et
Donc

Donc ici, tu reprends le message de MiMoiMolette :

Voila je bloque précisément sur ça.
Je pense qu'une démonstration devrait m'aider à comprendre.

Mais par ailleurs tu as (***), et c'est cette égalité, qui te donne alors

f(l)=l

Ca d'accord.

[Gwyddon]

OK. Alors je rappelle la définition de la continuité : dire que f est continue en X signifie que pour tout réel il existe un réel tel que si alors : "on peut s'approcher autant que l'on veut de f(X)"


Je rappelle la définition de la limite d'une suite : tend vers X si pour tout réel il existe un entier tel que pour tout on a



Donc ici, soit un réel .

Par hypothèse f est continue en X donc il existe un réel tel que si alors (1)

Or tend vers X : avec le réel il existe un certain entier N tel que si alors


Maisalors, pour , grâce à (1), on a

Donc en résumé, on a montré que pour tout réel , il existe un certain entier N tel que si alors .

Ceci veut très exactement dire que

[neokiller007]

Heu f est continue en a ça veut pas plutôt dire ?

[Gwyddon]

Heu f est continue en a ça veut pas plutôt dire ?

C'est très exactement ce que j'ai écrit...