Axiome des parties

[Médiat]

Très cher karlp

Par ailleurs, votre remarque me conduit à constater qu'il y a peut-être, dans l'esprit humain, un rapport -qui reste à éclaircir- entre l'acceptation de l'ensemble vide et celle de l'infini.

Un rapport, je ne sais pas, les difficultés conceptuelles me semble de nature différentes, d'ailleurs, je crois qu'il faudrait ajouter le 1 dans cette liste de concepts ayant pris du temps.

Je vois bien un point commun à ces 3 cas : le passage du Multiple au Un, passage conceptuel que tout le monde franchit dans ses premiers âges lors de l'apprentissage du langage.

Dans le cas de l'infini, on ne maîtrise pas la globalité du multiple, je pense que c'est de là que vient la difficulté (passage du potentiel à l'actuel)

Dans le cas du 1 (déjà on a du mal à voir là un "multiple"), notre pouvoir d'abstraction (celui qui permet de passer de la connaissance de quelques dizaines ou centaines d'objets rouges, à la connaissance du rouge) est battu en brèche (quand je pose sur la table, 1 pomme et 1 poire, il est plus facile de dégager le concept de "fruit" que le concept de 1. Historiquement, le 1 n'a été accepté comme un nombre comme les autres qu'au XVI^ième siècle en Europe (merci les Belges).

Pour le 0 la notion de multiple devient vraiment difficile à percevoir, d'autant plus que, au restaurant, si on demande 0 entrée ou 0 dessert, on se voit servir la même chose. Je n'ai pas trouvé de date fiable sur la reconnaissance du 0 comme nombre comme les autres (la seule que j'ai trouvé est début du XX^ième siècle, ce que j'ai du mal à croire), en tout état de cause, c'est postérieur à Simon Stevin, sa "démonstration" que 1 est un nombre comme les autres, montre aussi que ce n'est pas le cas de 0.
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[karlp]

Très cher Médiat

Très cher karlp

Un rapport, je ne sais pas, les difficultés conceptuelles me semble de nature différentes, d'ailleurs, je crois qu'il faudrait ajouter le 1 dans cette liste de concepts ayant pris du temps.

Je vois bien un point commun à ces 3 cas : le passage du Multiple au Un, passage conceptuel que tout le monde franchit dans ses premiers âges lors de l'apprentissage du langage.

Dans le cas de l'infini, on ne maîtrise pas la globalité du multiple, je pense que c'est de là que vient la difficulté (passage du potentiel à l'actuel)

Dans le cas du 1 (déjà on a du mal à voir là un "multiple"), notre pouvoir d'abstraction (celui qui permet de passer de la connaissance de quelques dizaines ou centaines d'objets rouges, à la connaissance du rouge) est battu en brèche (quand je pose sur la table, 1 pomme et 1 poire, il est plus facile de dégager le concept de "fruit" que le concept de 1. Historiquement, le 1 n'a été accepté comme un nombre comme les autres qu'au XVI^ième siècle en Europe (merci les Belges).

Pour le 0 la notion de multiple devient vraiment difficile à percevoir, d'autant plus que, au restaurant, si on demande 0 entrée ou 0 dessert, on se voit servir la même chose. Je n'ai pas trouvé de date fiable sur la reconnaissance du 0 comme nombre comme les autres (la seule que j'ai trouvé est début du XX^ième siècle, ce que j'ai du mal à croire), en tout état de cause, c'est postérieur à Simon Stevin, sa "démonstration" que 1 est un nombre comme les autres, montre aussi que ce n'est pas le cas de 0.

J'ignorais absolument que le 1 avait posé une telle difficulté et n'avais pas imaginé que sa reconnaissance comme nombre semblable aux autres ait pu être si tardive ! Serait-ce lié au statut que les pythagoriciens donnaient à l'Un ?
J'avais lu que Cantor ne considérait pas le "o" comme un vrai nombre ; j'ignore si c'est exact mais je trouve cela assez étonnant (je crois avoir lu cela dans le livre de JP Belna). Je crois savoir que le moyen-âge chrétiens considérait le 0 comme "diabolique", mais que les commodités qu'il offrait ont vite fait oublier ses propriétés "inquiétantes" .
Je vais faire un petit tour du côté des travaux de M. Simon Stevin

[Médiat]

Serait-ce lié au statut que les pythagoriciens donnaient à l'Un ?

Oui, je pense que l'on peut dire cela pour les pythagoriciens, 1 est l'unité qui permet de compter les nombres au même titre que le mètre permet de compter les distances

J'avais lu que Cantor ne considérait pas le "o" comme un vrai nombre

Cela confirmerait la date "début du 20 ième siècle

Je crois savoir que le moyen-âge chrétiens considérait le 0 comme "diabolique", mais que les commodités qu'il offrait ont vite fait oublier ses propriétés "inquiétantes" .

Exact

Je vais faire un petit tour du côté des travaux de M. Simon Stevin

Vous pouvez trouver un résumé dans mon document sur les nombres

[jacknicklaus]

Vous pouvez trouver un résumé dans mon document sur les nombres

Bonjour Médiat. Où peut-on trouver ce document ?

[Médiat]

Bonjour,

Envoyez moi une adresse mail par mp et je vous l'envoie

[karlp]

Vous pouvez trouver un résumé dans mon document sur les nombres

J'avais une ancienne version de ce document et je vous remercie, très cher Médiat, pour la version "augmentée".

Vous ne m'en voudrez pas de reproduire, pour les autres lecteurs, l'argument par lequel Stevin démontre que 1 est un vrai nombre

1 est un nombre (avec l’argument suivant : "Si de 3 on ne soustrait aucun nombre, 3 reste inchangé; si de 3 on soustrait 1, 3 est changé; donc 1 ne peut pas ne pas être un nombre. "

Je suis encore une fois stupéfait : l'argument est d'une extrême simplicité… et d'une remarquable beauté !

[Deedee81]

Salut,

Je ne pige pas là.

Stevin démontre que 1 est un vrai nombre

donc 1 ne peut pas ne pas être un nombre.

Je suppose que la fin doit être "1 doit être un nombre" (bien que stricto sensus la logique est fautive).

[Médiat]

Je suis encore une fois stupéfait : l'argument est d'une extrême simplicité… et d'une remarquable beauté !

Effectivement, et vous remarquerez que ce même argument laisse à penser que 0 n'est pas un nombre ordinaire.



Deedee, la double négation est correcte, et elle n'est pas de moi, mais du Belge Simon Stévin

[Deedee81]

Deedee, la double négation est correcte, et elle n'est pas de moi, mais du Belge Simon Stévin

AHHHH j'avais pas vu la double négation !!!!!
Merci,

[Liet Kynes]

1) Montrer que l'ensemble vide est un ensemble : pas de problème, c'est un axiome

Perso j'ai décroché la dessus: le côté évident de l'ensemble vide.

[amineyasmine]

Bonjour
C’est pour méditation. Si qq c'est y intéresse.

La théorie des ensembles est ascendante, elle a pu construire des ensembles à partir de rien mais elle ne peut pas redescendre et décortiquer un ensemble. Pas question de connaitre les sous ensemble de tous les ensembles

Les sous-ensembles d’un ensemble sont des ensembles qui ont des sous-ensembles qui sont des ensembles …….jusqu’au au singleton de l’ensemble vide.
Les ensembles de la ZF sont identiques, s’est un même objet qui ne diffèrent de lui-même que par une notion de cardinal. Lui-même devient plus grand que lui-même en se disant que l’ensemble de mes sous-ensembles est un ensemble plus grand que moi-même.

La ZF est plus naïf que naïf, ce n’est par ce qu’il y a l’astuce de dire qu’il existe nécessairement un ensemble vide (le néant) et puis dire que (le néant) peut construire un singleton qui n’est pas néant que notre raisonnement n’est pas naïf, …. Il est plus que naïf que naïf, car il n’y a pas encore en face les vrais non naïf (si ça existe).

[Deedee81]

Salut,

La théorie des ensembles est ascendante, elle a pu construire des ensembles à partir de rien mais elle ne peut pas redescendre et décortiquer un ensemble. Pas question de connaitre les sous ensemble de tous les ensembles

Les sous-ensembles d’un ensemble sont des ensembles qui ont des sous-ensembles qui sont des ensembles …….jusqu’au au singleton de l’ensemble vide.
Les ensembles de la ZF sont identiques, s’est un même objet qui ne diffèrent de lui-même que par une notion de cardinal. Lui-même devient plus grand que lui-même en se disant que l’ensemble de mes sous-ensembles est un ensemble plus grand que moi-même.

La ZF est plus naïf que naïf, ce n’est par ce qu’il y a l’astuce de dire qu’il existe nécessairement un ensemble vide (le néant) et puis dire que (le néant) peut construire un singleton qui n’est pas néant que notre raisonnement n’est pas naïf, …. Il est plus que naïf que naïf, car il n’y a pas encore en face les vrais non naïf (si ça existe).

Il faudrait peut-être reformuler clairement car là c'est aussi clair que du brouillard au-dessus du Loch Ness.

[syborgg]

Mediat, j'essaye de voir ou tu veux en venir avec ta question iniciale : l'axiome de l'ensemble des parties dit simplement que la collection P(x) des ensembles (au sens de ZF) qui sont des sous ensembles de x est elle meme un ensemble (au sens de ZF). Est ce par la que tu veux amener la reflexion ?
Sinon, a part l'ensemble vide, on peut aussi demontrer facilement que les singletons de x , et plus generalement des parties finies de x, sont des elements de P(x) (je laisse le soin a nos amis de voir quels axiomes on utilise pour cela). Et x tout entier bien entendu.

[syborgg]

Je crois savoir que le moyen-âge chrétiens considérait le 0 comme "diabolique", mais que les commodités qu'il offrait ont vite fait oublier ses propriétés "inquiétantes" .

Tout comme en musique les intervalles autres que quarte et quinte !

[Superbenji]

Sinon, a part l'ensemble vide, on peut aussi demontrer facilement que les singletons de x , et plus generalement des parties finies de x, sont des elements de P(x) (je laisse le soin a nos amis de voir quels axiomes on utilise pour cela). Et x tout entier bien entendu.

Bonjour,
J'y avais pensé aussi, certainement que ce sont des sous-ensembles de x, mais je me suis dit que c'est trop évident. (et on peut surement faire plus complet que ça)
Vu les rapports avec les problèmes profonds comme évoqués au premier poste, il doit y avoir une subtilité quelque part.

[syborgg]

Ok je vois ou tu veux en venir... a part les parties finies de x et x lui meme, on ne voit pas bien a priori quels autres elements de P(x) on peut definir de facon "generique" en utilisant les axiomes de ZFC. Et pourtant ZFC demontre que le cardinal de P(x) est strictement superieur au cardinal de x, donc dans le cas ou x est infini, il doit nous manquer "beaucoup" d'elements de P(x) car dans ce cas le cardinal des parties finies de x est egal au cardinal de x.

[Médiat]

Sinon, a part l'ensemble vide, on peut aussi demontrer facilement que les singletons de x , et plus generalement des parties finies de x, sont des elements de P(x) (je laisse le soin a nos amis de voir quels axiomes on utilise pour cela). Et x tout entier bien entendu.

C'est exactement là que je voulais en venir dans un premier temps, et j'aimerais que quelqu'un qui ne maitrise pas la logique formelle se lance dans l'écriture des formules qui assurent, que les sous-ensembles à 1, 2 et 3 éléments sont bien tous présents (il y a des subtilités différentes dans les 3 cas.

[Médiat]

Ok je vois ou tu veux en venir... a part les parties finies de x et x lui meme, on ne voit pas bien a priori quels autres elements de P(x) on peut definir de facon "generique" en utilisant les axiomes de ZFC. Et pourtant ZFC demontre que le cardinal de P(x) est strictement superieur au cardinal de x, donc dans le cas ou x est infini, il doit nous manquer "beaucoup" d'elements de P(x) car dans ce cas le cardinal des parties finies de x est egal au cardinal de x.

Ca c'est l'étape suivante ...

[syborgg]

Pire : meme dans la cas de l'ensemble des entiers naturels, ou on peut definir facilement des parties infinies autres que l'ensemble lui meme, on ne voit bien comment en definir un nombre plus que denombrable...mais bon, je m'avance un peu, faisons les choses petit a petit

[Médiat]

faisons les choses petit a petit

Oui, c'est bien l'idée

[syborgg]

Bon vu le manque de dynamisme soudain de la conversation, je me permet (j'espere que tu ne m'en tiendras pas rigueur Mediat) de donner un indice pour #47 : un des axiomes de ZF repond pratiquement a la question...

[Médiat]

C'est parfaitement exact, mais j'ajoute qu'on l'utilise de 3 façons différentes pour les cas 1, 2 et 3 ce qui rend les choses un peu fun

[karlp]

Bonjour à tous.

Je reste "interdit" devant les axiomes de ZF et la question de savoir comment démontrer que chaque élément de x forme un sous-ensemble de x
Mais je cherche ...

[HS: @Syborgg: j'ai découvert cet interdit qui pesait sur la musique au moyen-âge - dans Kaamelott . J'ignorais jusqu'à lors que l'essentiel des morceaux de blues, de rockabilly et de country obéissaient à une règle médiévale : tonique, quarte, quinte]

[Superbenji]

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Je pense qu'il doit s’agir de l'axiome de la paire, et pour les sous-ensembles de 3 éléments ou plus, il faut ajouter l'axiome de la réunion, non ?

Cordialement

[Médiat]

Superbenji , pour les 2 réponses ; à un moment, il y a un autre axiome qui doit intervenir

[Médiat]

Très cher karlp

Je reste "interdit" devant les axiomes de ZF et la question de savoir comment démontrer que chaque élément de x forme un sous-ensemble de x

Ce n'est pas tout à fait exact

Si aucun volontaire ne se lance, je finirai (demain) par donner les réponses sur le modèle du message #11

[Superbenji]

Alors pour les trois utilisations différentes:

 Cliquez pour afficher

1) Pour les sous-ensembles à un élément: L'axiome de la paire nous dit que soit a et b des éléments, alors leur paire est un ensemble. il suffit de choisir a et b tel que a = b.
2) Les sous-ensembles à deux éléments: On utilise tel quel l'axiome de la paire, avec a et b différents.
3) Trois éléments ou plus: Soit trois éléments a, b, c différents. Avec l'axiome de la paire, on construit d'abord les ensembles {a, b}, puis {c}, et l'ensemble {{a, b}, {c}} des deux précédents. On applique ensuite l'axiome de la réunion à ce dernier pour obtenir l'ensemble {a, b, c}. On peut itérer ce procédé pour construire les sous-ensembles à 4, 5, 6, etc... éléments.

Je réfléchi pour l'axiome manquant...
Le problème, pour que les gens osent se lancer dans l'écriture des formules, c'est que quand on ne maitrise pas ou peu la logique formelle, on ne sais pas forcément non plus utiliser LaTeX pour les rédiger. (comme moi)

[Médiat]

Votre écriture me va bien (cf. #11), ce qui m'intéresse le plus c'est de comprendre que certaines évidences sont "vraies" uniquement parce que l'on sait les démontrer à partir des axiomes (votre oubli de l'axiome manquant en est une illustration )

Pour Superbenji :

 Cliquez pour afficher

L'axiome manquant est celui d'extensionalité, utilisé pour le cas 1, pour montrer que {a, a} = {a}

[Superbenji]

Effectivement j’étais en train de penser que ça devait être cet axiome là.

[karlp]

Bonjour très cher Médiat !

Très cher karlp

Ce n'est pas tout à fait exact

Si aucun volontaire ne se lance, je finirai (demain) par donner les réponses sur le modèle du message #11

J'ai triché
J'ai consulté les réponses de Superbenji ; je suis très heureux parce que je pensais bien à l'axiome de la paire pour les sous ensemble à deux éléments : je trouve fantastique la solution qui consiste à utiliser, pour les sous-ensembles 1, ce même axiome en choisissant a et b TQ a= b (je n'y aurais pas pensé).
Je dois encore travailler pour les sous-ensembles 3 (je vais essayer par moi-même avant de lire la proposition de Superbenji (devant qui je m'incline bien humblement )