Axiome des parties - Page 3
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Axiome des parties



  1. #61
    Superbenji

    Re : Axiome des parties


    ------

    Il n'y a pas de quoi s'incliner, j’étais dans le flou jusqu’à repenser aux messages récents en m'endormant cette nuit et au matin. Je commence a avoir une petite idée de où l'on va être emmenés plus tard, enfin je crois. ^^

    -----

  2. #62
    Liet Kynes

    Re : Axiome des parties

    Bonjour, je suis le fil avec grand intérêt et j'ai une question : dans cette écriture en extension : {{a, b}, {c}} ou a ou b ou c est ?
    Dernière modification par Liet Kynes ; 29/09/2020 à 19h37.
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  3. #63
    Médiat

    Re : Axiome des parties

    Non Absolument pas, 'où sortez-vous cela ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #64
    Liet Kynes

    Re : Axiome des parties

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Non Absolument pas, 'où sortez-vous cela ?
    C'est une mauvaise compréhension de ma part de "Pour tout ensemble A : l'ensemble vide est un sous-ensemble de A "
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  5. #65
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Axiome des parties

    Où est-ce que tu vas chercher toutes ces fausses idées ???

    Dans E={{a, b}, {c}}, a, b et c ne sont à priori pas des sous-ensembles de E, {a,b} et {c} non plus. Les éléments de E sont {a,b} et {c}, les sous ensembles de E sont (zéro élément), {{a,b}} et {{c}} (un élément) et {{a,b},{c}}=E (deux éléments).

    C'est quand même bizarre que tu n'arrives pas à comprendre une notation élémentaire, enseignée en sixième autrefois en France. Tu le fais exprès ? Tu es un troll ?

  6. #66
    Médiat

    Re : Axiome des parties

    Bonsoir,


    Je reprends les réponses de superbenji :


    Soit un ensemble quelconque (disons de cardinal infini (***), pour éviter des effets de bord dans l'explication).


    Pour les sous ensemble de à 0 élément (il n'y en a qu'un) cf. #11
    Pour les singletons :
    1) Pour tout , on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
    2) L'axiome d'extensionalité assure que
    3) , puisque tous les éléments de sont des éléments de par construction

    Pour les paires
    1) Pour tout , et on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
    2) , puisque tous les éléments de sont des éléments de par construction

    Pour les parties à 3 éléments
    1) Pour tout , , et , tous différents (*), on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
    2) on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
    3) L'axiome d'extensionalité assure que
    4) On applique l'axiome de la paire à et ce assure l'existence de
    5) On applique l'axiome de la réunion à ce qui assure l'existence de
    6) , puisque tous les éléments de sont des éléments de par construction

    Il est facile de développer ce dernier cas en une récurrence et ainsi démontrer que toutes les parties finies (au sens naïf) sont bien des sous ensembles de (et pour l'instant on ne peut pas encore affirmer qu'il y en a d'autres (**))

    Il est relativement facile de trouver d'autres exemples ...




    (*) Ce point n'est pas essentiel, mais obligerait à des circonlocutions
    (**) Oui il y en a
    (***) Pour un ensemble fini, on peut facilement montrer que les parties au sens naïf, sont les mêmes que les parties au sens formel
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. #67
    Liet Kynes

    Re : Axiome des parties

    Merci pour la réponse cela peu semblait trollesque et non je ne fais pas exprès mais comme je n'ai pas la manière de bien considérer les choses, il se crée une confusion.

    Je pense que je peux illustrer ma confusion ainsi:

    Nom : Sans nom 1.jpg
Affichages : 116
Taille : 29,3 Ko

    Je vais faire attention de limiter plus mes interventions.

    Cordialement
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  8. #68
    syborgg

    Re : Axiome des parties

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonsoir,


    Je reprends les réponses de superbenji :


    Soit un ensemble quelconque (disons de cardinal infini (***), pour éviter des effets de bord dans l'explication).


    Pour les sous ensemble de à 0 élément (il n'y en a qu'un) cf. #11
    Pour les singletons :
    1) Pour tout , on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
    2) L'axiome d'extensionalité assure que
    3) , puisque tous les éléments de sont des éléments de par construction

    Pour les paires
    1) Pour tout , et on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
    2) , puisque tous les éléments de sont des éléments de par construction

    Pour les parties à 3 éléments
    1) Pour tout , , et , tous différents (*), on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
    2) on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
    3) L'axiome d'extensionalité assure que
    4) On applique l'axiome de la paire à et ce assure l'existence de
    5) On applique l'axiome de la réunion à ce qui assure l'existence de
    6) , puisque tous les éléments de sont des éléments de par construction

    Il est facile de développer ce dernier cas en une récurrence et ainsi démontrer que toutes les parties finies (au sens naïf) sont bien des sous ensembles de (et pour l'instant on ne peut pas encore affirmer qu'il y en a d'autres (**))

    Il est relativement facile de trouver d'autres exemples ...




    (*) Ce point n'est pas essentiel, mais obligerait à des circonlocutions
    (**) Oui il y en a
    (***) Pour un ensemble fini, on peut facilement montrer que les parties au sens naïf, sont les mêmes que les parties au sens formel
    Sauf erreur de ma part, apres avoir demontre l'existence de l'ensemble , il est evident que c'est aussi l'ensemble sans devoir passer par l'axiome d'extentionalite. Et de toute facon si on voulait utiliser l'axiome d'extentionalite comme tu l'as fait, il faudrait d'abord savoir que existe, ce qu'on veut precisement demontrer...
    D'autre part, si x est infini, on connait au moins une partie de x qui n'est pas finie : x lui meme.
    Quels autres parties de x connait on a part les finies et x ?
    Dernière modification par syborgg ; 29/09/2020 à 21h29.

  9. #69
    Médiat

    Re : Axiome des parties

    Citation Envoyé par syborgg Voir le message
    Sauf erreur de ma part, apres avoir demontre l'existence de l'ensemble , il est evident que c'est aussi l'ensemble sans devoir passer par l'axiome d'extentionalite.
    Je me suis peut-être mal exprimé, mais l'axiome d'extensionalité est essentiel pour dire qu'un ensemble ne se définit que par ce qu'il contient et donc que peut aussi s'écrire qui, du coup existe bien


    Quels autres parties de x connait on a part les finies et x ?
    Plein
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  10. #70
    syborgg

    Re : Axiome des parties

    Oui certes plein, car comme je le disait plus haut ZF demontre que le cardinal de P(A) est strictement plus grand que celui de A (est il utile de presenter la demonstration ici ?), et que si A est infini, le cardinal des parties finies de A est egal au cardinal de A (ca aussi on pourrait l'expliquer assez facilement.. quoi que, encore faudrait il faire comprendre pourquoi le cardinal de AxA est le cardinal de A..).
    Mais a part savoir qu'il y en a forcement beaucoup d'autres parties, peut on en specifier quelques unes ?
    Dernière modification par syborgg ; 29/09/2020 à 21h44.

  11. #71
    Médiat

    Re : Axiome des parties

    Citation Envoyé par syborgg Voir le message
    Mais a part savoir qu'il y en a forcement beaucoup d'autres parties, peut on en specifier quelques unes ?
    oui; plein, c'est bien ce que je voulais dire
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #72
    syborgg

    Re : Axiome des parties

    Les parties cofinies certes, mais a part celles ci ?

  13. #73
    Médiat

    Re : Axiome des parties

    Citation Envoyé par syborgg Voir le message
    Les parties cofinies certes, mais a part celles ci ?
    Effectivement, c'est à celles-ci que je pensais (et pour démontrer qu'elles existent bien, il faut invoquer un axiome de compréhension (avec une formule pour y un sous ensemble fini de .

    A ma connaissance ce sont les seuls cas facilement définissables, mais on peut compliquer un peu, par exemple dans le cas particulier de on pourrait penser au ordinaux pairs (ni fini ni cofini).

    La question reste : existe-t-il d'autres façons de définir des parties (ce qui assure leur existence en tant qu'ensemble) ? Là on retombe sur la solution générale donnée dès le début par Superbenji

    En tout état de cause, il n'existe qu'une quantité dénombrable de formules permettant de définir des sous-ensembles d'un ensemble quelconque, et il faut bien comprendre c'est que seules ces parties sont obligatoirement des sous ensembles de l'ensemble de départ, c'est à dire que pour tout ensemble, on ne peut garantir qu'un ensemble dénombrable de parties, et à une subtilité près, le paradoxe de Skolem n'est plus un paradoxe
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #74
    syborgg

    Re : Axiome des parties

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Effectivement, c'est à celles-ci que je pensais (et pour démontrer qu'elles existent bien, il faut invoquer un axiome de compréhension (avec une formule pour y un sous ensemble fini de .

    A ma connaissance ce sont les seuls cas facilement définissables, mais on peut compliquer un peu, par exemple dans le cas particulier de on pourrait penser au ordinaux pairs (ni fini ni cofini).

    La question reste : existe-t-il d'autres façons de définir des parties (ce qui assure leur existence en tant qu'ensemble) ? Là on retombe sur la solution générale donnée dès le début par Superbenji

    En tout état de cause, il n'existe qu'une quantité dénombrable de formules permettant de définir des sous-ensembles d'un ensemble quelconque, et il faut bien comprendre c'est que seules ces parties sont obligatoirement des sous ensembles de l'ensemble de départ, c'est à dire que pour tout ensemble, on ne peut garantir qu'un ensemble dénombrable de parties, et à une subtilité près, le paradoxe de Skolem n'est plus un paradoxe
    Le paradoxe de Skolem ? j'ai un trou de memoire, kesako ?

  15. #75
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Axiome des parties

    Salut,

    Citation Envoyé par syborgg Voir le message
    Le paradoxe de Skolem ? j'ai un trou de memoire, kesako ?
    C'est assez bien décrit ici :
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Skolem
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  16. #76
    syborgg

    Re : Axiome des parties

    Ah oui, je ne savais pas qu'on donnait ce nom a cela.... dans le fond, cela revient donc a bien distinguer dans ZF les notions internes au modele, et les notions externes qui empruntent souvent le meme vocabulaire : c'est pour cela qu'il est fondamental de specifier, autant que possible, un vocabulaire different > "ensemble" pour un point du modele, "classe" pour une partie du modele definie par une formule du premier ordre avec ou sans parametres.

  17. #77
    syborgg

    Re : Axiome des parties

    Mediat : pour specifier un nombre non denombrable de parties de dans certains modeles de ZFC, le fait on (modulo quelques astuces) en definissant par induction transfinie sur (ou , etc... selon les modeles choisis) des parties de ?
    Dernière modification par syborgg ; 30/09/2020 à 09h33.

  18. #78
    Médiat

    Re : Axiome des parties

    Bonjour syborgg
    Citation Envoyé par syborgg Voir le message
    Mediat : pour specifier un nombre non denombrable de parties de dans certains modeles de ZFC, le fait on (modulo quelques astuces) en definissant par induction transfinie sur (ou , etc... selon les modeles choisis) des parties de ?
    Je ne suis pas certain d'avoir compris la question, si par "spécifier" il faut comprendre "formule définissant", ce n'est clairement pas possible, par contre on peut définir des "types"
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #79
    syborgg

    Re : Axiome des parties

    Autre maniere de reformuler ma question : comment definit on les parties constructibles ? mais peut etre que ces considerations sortent du cadre de reflexion inicial plus elementaire ....

  20. #80
    Superbenji

    Re : Axiome des parties

    Bonjour,
    Ce sont les ensembles qui appartiennent à l'univers constructible de Gödel. https://fr.wikipedia.org/wiki/Univers_constructible
    Pour comprendre, il faut commencer par voir l'univers de von Neumann, noté . C'est une construction étage par étage de tout les ensembles, indexée par les ordinaux.
    On commence à avec l'ensemble vide, et à chaque étage indexé par un ordinal successeur on prends l'ensemble des parties P(x) de l'étage précédent. Aux étages a est un ordinal limite, on fait l'union de tout les étages précédent.

    L'univers constructible de Gödel, noté , c'est exactement le même principe de construction, à la différence qu'au lieu de prendre l'ensemble des parties P(x) d'un étage prédécesseur, on prend l'ensemble des parties définissables D(x). Ici définissable veut dire les parties qui peuvent être définies par une formule du premier ordre, dont les quantificateurs et paramètres sont bornés aux étages précédents.

    Voilà en gros. A noter que dans , l'hypothèse généralisée du continue est vraie, et cela amène aussi d'autres considérations qui sont je pense un peu en lien avec le fil, tel que savoir si , qui est un indécidable de ZFC.
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises ou été trop incomplet.

  21. #81
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Axiome des parties

    Salut,

    Citation Envoyé par Superbenji Voir le message
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises ou été trop incomplet.
    En tout cas j'ai compris
    Et je ne connaissais pas.
    Merci,
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  22. #82
    Médiat

    Re : Axiome des parties

    Les ensembles constructibles (au sens de Gödel) sont exactement les ensembles pour lesquels on peut trouver une formule (du 1er ordre)

    [EDIT] J'avais pas vu la réponse de Superbenji
    Dernière modification par Médiat ; 30/09/2020 à 11h49.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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