Axiome des parties

[Superbenji]

Il n'y a pas de quoi s'incliner, j’étais dans le flou jusqu’à repenser aux messages récents en m'endormant cette nuit et au matin. Je commence a avoir une petite idée de où l'on va être emmenés plus tard, enfin je crois. ^^
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[Liet Kynes]

Bonjour, je suis le fil avec grand intérêt et j'ai une question : dans cette écriture en extension : {{a, b}, {c}} ou a ou b ou c est ?

[Médiat]

Non Absolument pas, 'où sortez-vous cela ?

[Liet Kynes]

Non Absolument pas, 'où sortez-vous cela ?

C'est une mauvaise compréhension de ma part de "Pour tout ensemble A : l'ensemble vide est un sous-ensemble de A "

[gg0]

Où est-ce que tu vas chercher toutes ces fausses idées ???

Dans E={{a, b}, {c}}, a, b et c ne sont à priori pas des sous-ensembles de E, {a,b} et {c} non plus. Les éléments de E sont {a,b} et {c}, les sous ensembles de E sont (zéro élément), {{a,b}} et {{c}} (un élément) et {{a,b},{c}}=E (deux éléments).

C'est quand même bizarre que tu n'arrives pas à comprendre une notation élémentaire, enseignée en sixième autrefois en France. Tu le fais exprès ? Tu es un troll ?

[Médiat]

Bonsoir,


Je reprends les réponses de superbenji :


Soit un ensemble quelconque (disons de cardinal infini (***), pour éviter des effets de bord dans l'explication).


Pour les sous ensemble de à 0 élément (il n'y en a qu'un) cf. #11
Pour les singletons :
1) Pour tout , on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
2) L'axiome d'extensionalité assure que
3) , puisque tous les éléments de sont des éléments de par construction

Pour les paires
1) Pour tout , et on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
2) , puisque tous les éléments de sont des éléments de par construction

Pour les parties à 3 éléments
1) Pour tout , , et , tous différents (*), on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
2) on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
3) L'axiome d'extensionalité assure que
4) On applique l'axiome de la paire à et ce assure l'existence de
5) On applique l'axiome de la réunion à ce qui assure l'existence de
6) , puisque tous les éléments de sont des éléments de par construction

Il est facile de développer ce dernier cas en une récurrence et ainsi démontrer que toutes les parties finies (au sens naïf) sont bien des sous ensembles de (et pour l'instant on ne peut pas encore affirmer qu'il y en a d'autres (**))

Il est relativement facile de trouver d'autres exemples ...




(*) Ce point n'est pas essentiel, mais obligerait à des circonlocutions
(**) Oui il y en a
(***) Pour un ensemble fini, on peut facilement montrer que les parties au sens naïf, sont les mêmes que les parties au sens formel

[Liet Kynes]

Merci pour la réponse cela peu semblait trollesque et non je ne fais pas exprès mais comme je n'ai pas la manière de bien considérer les choses, il se crée une confusion.

Je pense que je peux illustrer ma confusion ainsi:



Je vais faire attention de limiter plus mes interventions.

Cordialement

[syborgg]

Bonsoir,


Je reprends les réponses de superbenji :


Soit un ensemble quelconque (disons de cardinal infini (***), pour éviter des effets de bord dans l'explication).


Pour les sous ensemble de à 0 élément (il n'y en a qu'un) cf. #11
Pour les singletons :
1) Pour tout , on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
2) L'axiome d'extensionalité assure que
3) , puisque tous les éléments de sont des éléments de par construction

Pour les paires
1) Pour tout , et on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
2) , puisque tous les éléments de sont des éléments de par construction

Pour les parties à 3 éléments
1) Pour tout , , et , tous différents (*), on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
2) on applique l'axiome de la paire à et ce qui assure l'existence de
3) L'axiome d'extensionalité assure que
4) On applique l'axiome de la paire à et ce assure l'existence de
5) On applique l'axiome de la réunion à ce qui assure l'existence de
6) , puisque tous les éléments de sont des éléments de par construction

Il est facile de développer ce dernier cas en une récurrence et ainsi démontrer que toutes les parties finies (au sens naïf) sont bien des sous ensembles de (et pour l'instant on ne peut pas encore affirmer qu'il y en a d'autres (**))

Il est relativement facile de trouver d'autres exemples ...




(*) Ce point n'est pas essentiel, mais obligerait à des circonlocutions
(**) Oui il y en a
(***) Pour un ensemble fini, on peut facilement montrer que les parties au sens naïf, sont les mêmes que les parties au sens formel

Sauf erreur de ma part, apres avoir demontre l'existence de l'ensemble , il est evident que c'est aussi l'ensemble sans devoir passer par l'axiome d'extentionalite. Et de toute facon si on voulait utiliser l'axiome d'extentionalite comme tu l'as fait, il faudrait d'abord savoir que existe, ce qu'on veut precisement demontrer...
D'autre part, si x est infini, on connait au moins une partie de x qui n'est pas finie : x lui meme.
Quels autres parties de x connait on a part les finies et x ?

[Médiat]

Sauf erreur de ma part, apres avoir demontre l'existence de l'ensemble , il est evident que c'est aussi l'ensemble sans devoir passer par l'axiome d'extentionalite.

Je me suis peut-être mal exprimé, mais l'axiome d'extensionalité est essentiel pour dire qu'un ensemble ne se définit que par ce qu'il contient et donc que peut aussi s'écrire qui, du coup existe bien

Quels autres parties de x connait on a part les finies et x ?

Plein

[syborgg]

Oui certes plein, car comme je le disait plus haut ZF demontre que le cardinal de P(A) est strictement plus grand que celui de A (est il utile de presenter la demonstration ici ?), et que si A est infini, le cardinal des parties finies de A est egal au cardinal de A (ca aussi on pourrait l'expliquer assez facilement.. quoi que, encore faudrait il faire comprendre pourquoi le cardinal de AxA est le cardinal de A..).
Mais a part savoir qu'il y en a forcement beaucoup d'autres parties, peut on en specifier quelques unes ?

[Médiat]

Mais a part savoir qu'il y en a forcement beaucoup d'autres parties, peut on en specifier quelques unes ?

oui; plein, c'est bien ce que je voulais dire

[syborgg]

Les parties cofinies certes, mais a part celles ci ?

[Médiat]

Les parties cofinies certes, mais a part celles ci ?

Effectivement, c'est à celles-ci que je pensais (et pour démontrer qu'elles existent bien, il faut invoquer un axiome de compréhension (avec une formule pour y un sous ensemble fini de .

A ma connaissance ce sont les seuls cas facilement définissables, mais on peut compliquer un peu, par exemple dans le cas particulier de on pourrait penser au ordinaux pairs (ni fini ni cofini).

La question reste : existe-t-il d'autres façons de définir des parties (ce qui assure leur existence en tant qu'ensemble) ? Là on retombe sur la solution générale donnée dès le début par Superbenji

En tout état de cause, il n'existe qu'une quantité dénombrable de formules permettant de définir des sous-ensembles d'un ensemble quelconque, et il faut bien comprendre c'est que seules ces parties sont obligatoirement des sous ensembles de l'ensemble de départ, c'est à dire que pour tout ensemble, on ne peut garantir qu'un ensemble dénombrable de parties, et à une subtilité près, le paradoxe de Skolem n'est plus un paradoxe

[syborgg]

Effectivement, c'est à celles-ci que je pensais (et pour démontrer qu'elles existent bien, il faut invoquer un axiome de compréhension (avec une formule pour y un sous ensemble fini de .

A ma connaissance ce sont les seuls cas facilement définissables, mais on peut compliquer un peu, par exemple dans le cas particulier de on pourrait penser au ordinaux pairs (ni fini ni cofini).

La question reste : existe-t-il d'autres façons de définir des parties (ce qui assure leur existence en tant qu'ensemble) ? Là on retombe sur la solution générale donnée dès le début par Superbenji

En tout état de cause, il n'existe qu'une quantité dénombrable de formules permettant de définir des sous-ensembles d'un ensemble quelconque, et il faut bien comprendre c'est que seules ces parties sont obligatoirement des sous ensembles de l'ensemble de départ, c'est à dire que pour tout ensemble, on ne peut garantir qu'un ensemble dénombrable de parties, et à une subtilité près, le paradoxe de Skolem n'est plus un paradoxe

Le paradoxe de Skolem ? j'ai un trou de memoire, kesako ?

[Deedee81]

Salut,

Le paradoxe de Skolem ? j'ai un trou de memoire, kesako ?

C'est assez bien décrit ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Skolem

[syborgg]

Ah oui, je ne savais pas qu'on donnait ce nom a cela.... dans le fond, cela revient donc a bien distinguer dans ZF les notions internes au modele, et les notions externes qui empruntent souvent le meme vocabulaire : c'est pour cela qu'il est fondamental de specifier, autant que possible, un vocabulaire different > "ensemble" pour un point du modele, "classe" pour une partie du modele definie par une formule du premier ordre avec ou sans parametres.

[syborgg]

Mediat : pour specifier un nombre non denombrable de parties de dans certains modeles de ZFC, le fait on (modulo quelques astuces) en definissant par induction transfinie sur (ou , etc... selon les modeles choisis) des parties de ?

[Médiat]

Bonjour syborgg

Mediat : pour specifier un nombre non denombrable de parties de dans certains modeles de ZFC, le fait on (modulo quelques astuces) en definissant par induction transfinie sur (ou , etc... selon les modeles choisis) des parties de ?

Je ne suis pas certain d'avoir compris la question, si par "spécifier" il faut comprendre "formule définissant", ce n'est clairement pas possible, par contre on peut définir des "types"

[syborgg]

Autre maniere de reformuler ma question : comment definit on les parties constructibles ? mais peut etre que ces considerations sortent du cadre de reflexion inicial plus elementaire ....

[Superbenji]

Bonjour,
Ce sont les ensembles qui appartiennent à l'univers constructible de Gödel. https://fr.wikipedia.org/wiki/Univers_constructible
Pour comprendre, il faut commencer par voir l'univers de von Neumann, noté . C'est une construction étage par étage de tout les ensembles, indexée par les ordinaux.
On commence à avec l'ensemble vide, et à chaque étage indexé par un ordinal successeur on prends l'ensemble des parties P(x) de l'étage précédent. Aux étages où a est un ordinal limite, on fait l'union de tout les étages précédent.

L'univers constructible de Gödel, noté , c'est exactement le même principe de construction, à la différence qu'au lieu de prendre l'ensemble des parties P(x) d'un étage prédécesseur, on prend l'ensemble des parties définissables D(x). Ici définissable veut dire les parties qui peuvent être définies par une formule du premier ordre, dont les quantificateurs et paramètres sont bornés aux étages précédents.

Voilà en gros. A noter que dans , l'hypothèse généralisée du continue est vraie, et cela amène aussi d'autres considérations qui sont je pense un peu en lien avec le fil, tel que savoir si , qui est un indécidable de ZFC.
En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises ou été trop incomplet.

[Deedee81]

Salut,

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises ou été trop incomplet.

En tout cas j'ai compris
Et je ne connaissais pas.
Merci,

[Médiat]

Les ensembles constructibles (au sens de Gödel) sont exactement les ensembles pour lesquels on peut trouver une formule (du 1er ordre)

[EDIT] J'avais pas vu la réponse de Superbenji