Bonjour, bonsoir,
Je suis tombé sur cette vidéo : https://youtu.be/EIineP-ZGas
Il y a bcp de choses qui me paraissent compliquées (je sais faut pas s'endormir avec ces choses là dans l'esprit).
Déjà trouvez-vous le propos intéressant, pour ainsi dire.
Puis j'aurai sûrement des questions.
Bonjour,
L'article cité en référence dans la vidéo est ici: https://arxiv.org/pdf/math/0605779
(Petit complément : https://www.pourlascience.fr/sr/logi...tion-16350.php
"Pour l’heure, personne n’a su trouver de contradiction dans la théorie des nombres, ni dans la théorie des ensembles telle qu’elle a été axiomatisée au début du XXème siècle.")
Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.
Bonjour,
Vidéo très discutable sur la manière, le vocabulaire, présentation journalistique, etc. (je n'ai pas dépassé 2mn)Envoyé par Merlin95
Pour Brouwer, son fondateur, la logique intuitionniste est un choix philosophique, la croyance que seules les démonstrations constructives ont valeur démonstratives, très certainement, il existe encore des mathématiciens qui font ce choix pour des raisons philosophiques, mais, en tant que logicien, c'est juste un choix ... de logique, et il y en a des tonnes d'autres, on peut très bien faire des mathématiques intuitionnistes le matin, classiques l'après midi, et modales avant de se coucher.
Je donne un exemple simple : il existe un réel non rationnelet un réel non rationnel
La démonstration "classique" est très simple (au lycée on démontre que
Mais cette démonstration n'est pas valide dans la logique intuitionniste (j'utilise le tiers exclu) ; ce qui gênait Brouwer dans ce genre de démonstration, c'est qu'on ne sait pas laquelle des 2 possibilités est la bonne.
Un exemple "dérangeant", dans la "ligne lisse" qui est une façon intuitionniste de définir l'analyse, on peut démontrer que toutes les fonctions sont continues, y compris la fonction définie par :
A noter que Gödel a démontré une "traduction" entre classique et intuitionniste , transformer tout théorème (et sa démonstration) intuitionniste en classique est trivial, dans l'autre sens, c'est plus compliqué, c'est ce que Gödel a appelé la non-non traduction.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ok mon titre est trompeur, la vidéo parle aussi de l'axiome du choix, c'est à dire pour démontrer le théorème de Cantor-bernstein, il faut utiliser le théorème de Zermelo qui présuppose l'axiome du choix (dixit la vidéo). Il dit que l'axiome du choix n'est pas si évident d'une dans son idée même et deux dans son lien avec le problème.
Mais je pense qu'il se contredit parcequ'une la suite il fit que le théorème de Cantor-bernstein est valable dans ZF aussi. A mon avis, l'axiome du choix est utile pour avoir un ordre total sur les ensembles. Mais alors en fait non, ce n'est pas ce qu'il veut dire il semble vouloir dire que dans ZF le théorème de Cantor Bernstein est valable mais avec une autre démonstration, dans laquelle il dit qu'il faut postuler une sorte d'oracle permettant de savoir si un ensemble est fini ou infini.
Ensuite il saute à la logique intuitioniste et dit que le théorème de Cantor bernstein est faux en logique intuitioniste c'est à dire qu'il n'est pas possible de trouver un algorithme qui fasse une bijection de E dans F lorsqu'il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E.
Et là je me demande comment on fait en enlevant quelque chose, la preuve d'existence par l'absurde, on puisse démontrer autre chose. Au mieux on ne devrait pourvoir démontrer que moins mais pas le contraire, non ?
Après il dit qu'il existe des sous ensembles d'ensembles finis qui ne sont pas finis.
En gros ce qui me dérange intérieurement c'est qu'en enlevant la preuve d'existence par l'absurde , on a une autre mathématique. Mais je comprends comme une sorte de contrainte qu'on enlève et ça donne la possibilité à toute sorte d'autres choses, qui sont d'ailleurs assez éloigné et à priori sans rapport évident avec ce que l'on obtient alors.
Une phrase que j'aime bien il dit : en logique intuitioniste le cardinal ne mesure pas la taille des ensembles.
Peut-être pour des logiciens, intuitionisme ou pas c'est juste prendre différents petits-déjeuners mais pour un mathématicien, ce n'est peut-être pas pareil.
Le théorème des valeurs intermédiaires n'est par exemple plus démontrable en logique intuitioniste. Mais il existe un équivalent qui est plus proche de ce à partir de quoi des informaticiens pourraient travailler.
Ps: C'est peut-être (je ne sais pas) un supplice pour certains d'écouter cette vidéo, mais je pense que pour comprendre ce dont je parle il faut bien l'écouter quand même.
PS 2: en logique intuitioniste on peut apparemment quand même démontrer que rac(2) provoque un "cataclisme s'il s'écrit comme p/q.
Dernière modification par Merlin95 ; 03/04/2021 à 14h17.
Je confirme que AC n'est pas nécessaire pour démontrer le théorème de Cantor-Bernstein-Schröder
Pour la complexité de AC je ne peux que reciter l'aphorisme de Bona :
en fait un bon ordre.A mon avis, l'axiome du choix est utile pour avoir un ordre total sur les ensembles.
Je ne comprends pas ce que vous voulez direEt là je me demande comment on fait en enlevant quelque chose, la preuve d'existence par l'absurde, on puisse démontrer autre chose. Au mieux on ne devrait pourvoir démontrer que moins mais pas le contraire, non ?
N'ayant pas vu toute la vidéo, je ne peux pas dire, mais j'imagine qu'il utilise la définition de Dedekind pour les ensembles finis, qui ne fonctionne bien qu'avec AC, la définition de Tarski est bien meilleure.Après il dit qu'il existe des sous ensembles d'ensembles finis qui ne sont pas finis.
Je ne vois pas ce qu'il y a de dérangeant, c'est même très naturel, d'autant plus qu'avec la non-non traduction, il y a quand même un lien.En gros ce qui me dérange intérieurement c'est qu'en enlevant la preuve d'existence par l'absurde , on a une autre mathématique.
en logique classique non plus, ou alors il faut définir ce qu'est la taille d'un ensemble et ce que veut dire mesurer.Une phrase que j'aime bien il dit : en logique intuitioniste le cardinal ne mesure pas la taille des ensembles.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je ne comprends pas bien.
En gros on a une boîte à outils on peut avec démonter des meubles ikea, maison du monde, alinéa etc... si j'enlève un outil pourquoi pourrais je amors démonter de nouveaux types de meubles comme ceux de chez Habitat.Je ne comprends pas ce que vous voulez dire
J'ai relu la vidéo alors. La définition quil prend est qu'on peut mettre l'ensemble fini en bijection avec n éléments des entiers naturels.N'ayant pas vu toute la vidéo, je ne peux pas dire, mais j'imagine qu'il utilise la définition de Dedekind pour les ensembles finis, qui ne fonctionne bien qu'avec AC, la définition de Tarski est bien meilleure.
Désolé je n'ai pas d'autres informations à donner que je ne comprends pas.Je ne vois pas ce qu'il y a de dérangeant, c'est même très naturel, d'autant plus qu'avec la non-non traduction, il y a quand même un lien.
Pas très important je pense qu'on perd certains critères intuitifs au sens qu'on donne à la taille en général mais ce n'est pas le point le plus intéressant de la vidéo.en logique classique non plus, ou alors il faut définir ce qu'est la taille d'un ensemble et ce que veut dire mesurer.
Un autre point est qu'avec la définition de "fini" utilisée on peut avoir des sous ensembles d'ensembles finis qui ne sont pas finis. Moi je ne dirais pas ça, mais je compte sur vous pour me corriger éventuellement sur ce point même si pour les autres points je ne suis peut-être pas assez compétent pour avoir une discussion vraiment intéressante mathématiquement ou logiquement. Mais j'aurais donc plutôt dit qu'on ne peut plus démontrer tout le temps qu'un sous ensemble d'un ensemble fini est fini. Ce qui est différent de dire qu'il n est pas fini. Mon "approche" n'est pas "bonne" ou la meilleure ?
Dernière modification par Merlin95 ; 03/04/2021 à 15h38.
Les 3 parties de l'aphorisme de Bona sont équivalentes
Justement, ce n'est pas le casEn gros on a une boîte à outils on peut avec démonter des meubles ikea, maison du monde, alinéa etc... si j'enlève un outil pourquoi pourrais je amors démonter de nouveaux types de meubles comme ceux de chez Habitat.
Sans doute la plus mauvaise définition car elle nécessite la définition des entiers naturels (voir la définition de Tarski)J'ai relu la vidéo alors. La définition quil prend est qu'on peut mettre l'ensemble fini en bijection avec n éléments des entiers naturels.
Je suis étonné que ce soit avec la définition donnée, alors que c'est un classique avec la définition de Dedekind. Ce que vous dites n'est pas faux à un détail près : avec la définition de Dedekind on sait démontrer qu'il "existe" de tels ensembles ; pourquoi ne pas choisir la définition de Tarski ? Faire des vues ?Un autre point est qu'avec la définition de "fini" utilisée on peut avoir des sous ensembles d'ensembles finis qui ne sont pas finis. Mais j'aurais donc plutôt dit qu'on ne peut plus démontrer tout le temps qu'un sous ensemble d'un ensemble fini est fini. Ce qui est différent de dire qu'il n est pas fini. Mon "approche" n'est pas "bonne" ou la meilleure ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
dans la vidéo il semble plutôt dire qu'on sait démontrer qu'il existe de tel ensemble. Mais il ne prend pas la définition de Tarsky * (en tout cas explicitement). Ce pourquoi je demandais de l'aide dans le message précédent, c'est de savoir si avec la définition prise dans la vidéo (qui moi me va mais bon), on peut démontrer qu'il existe des sous ensembles d'un ensemble fini qui ne sont pas finis. Ce qui me paraît bizarre. Ou c'est plutôt qu'on ne peut pas démontrer tout le temps qu'ils sont finis (toujours avec la même définition de fini).
* après j'avoue que je comprends pas si deux définitions différentes peuvent désigner les mêmes ensembles ou pas.
il a l'air sincère je dirai je vois pas en quoi, je me concentre juste sur ce que je peux comprendre.Faire des vues ?
Dernière modification par Merlin95 ; 03/04/2021 à 16h20.
C'est aussi ce que j'ai écrit
Je m'en doute puisque ceci n'arrive pas avec la définition de TarskiMais il ne prend pas la définition de Tarsky
OuiCe pourquoi je demandais de l'aide dans le message précédent, c'est de savoir si avec la définition prise dans la vidéo (qui moi me va mais bon), on peut démontrer qu'il existe des sous ensembles d'un ensemble fini qui ne sont pas finis.
Deux définitions peuvent ne pas être équivalentes (ici, elles le sont avec AC)après j'avoue que je comprends pas si deux définitions différentes peuvent désigner les mêmes ensembles ou pas.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
On ne se comprend pas très bien j'ai l'impression, vous avez dit qu'avec la définition de Tarsky on sait démontrer (avec ou sans axiome du choix ?) que de tels ensembles existent moi je comprends sous entendu pas avec la définition prise dans la vidéo (mais avec ou sans axiome du choix ?).
Or vous semblez dire là qu'avec les deux définitions on peut démontrer qu'on peut démontrer que de tels ensembles existent.
A défaut d'échanges plus élaborés de ma part, pour bien me fixer les idées j'y vais un peu mécaniquement sans trop réfléchir mais pour comprendre quand même : quand est-il possible au final de démontrer que de tels ensembles existent ?
1. Avec la définition de la vidéo avec axiome du choix
2. Avec la définition de la vidéo sans axiome du choix
3. Avec la définition de Tarsky avec l'axiome du choix
4. Avec la définition de Tarsky sans l'axiome du choix.
?
Avec la définition de Tarski (qui fonctionne très bien sans AC), on ne peut pas.
Avec la définition de Dedekind avec AC, on ne peut pas.
Avec la définition de Dedekind sans AC, on peut
Avec la définition qui utilise les segments initiaux de IN, je n'ai jamais vu que c'était possible, et je serais surpris que ce le soit (sans AC, car avec AC c'est sûr qu'on ne peut pas)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ok merci ça me fixe bien les idées.
Je vais essayer de bien relire et essayer sur cet exemple de "formaliser" (afin d'éviter le blabla) pour expliquer mieux ce que je n'ai pas compris.
J'ajoute juste, en rappelant que je n'ai vu que les 2 premières minutes de cette vidéo, que le principe de choisir (parmi au moins 3) une définition dont tout le monde sait qu'elle nécessite AC (*), pour ensuite expliquer que sans AC on a des trucs bizarre, ne me paraît pas d'un grand intérêt.
(*) Par contre avec AC, elle est très simple à utiliser et très intuitive.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui mais ho c'est bien entendu, c'est juste que mon blocage se situe avant d'arriver à çà.
Je m'adressais à l'auteur de la vidéo, pas à vous, bien sûr.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui ok. Pas de souci.
