Les algorithmes permettent-ils de fabriquer automatiquement des théorèmes ?

[Médiat]

(voire seulement du 0 selon Amanuensis, à débattre)

Non, ce n'est pas à débattre c'est le résultat de grands mathématiciens comme Peano et Dedekind, entre autres (on oublie souvent Grassmann) 0 et les autres éléments du langage, et les axiomes !.

Si vous avez mieux à proposer toute la communauté mathématiques sera ravie, mais vous n'y arriverez pas comme cela

Autrement dit, avec le 0 et le 1, et avec l'addition, mais sans aucun axiome, on obtient bien la totalité des nombres, non ?...

NON NON et NON, la seule chose que vous démontrez c'est votre ignorance des mathématiques (ce n'est pas grave) et surtout votre totale surdité à la critique et à la correction(très grave)
-----

[Médiat]

Je développe un peu : avec 0, 1 et + (sans la moindre trace d'axiomes) les seules choses que vous pouvez faire c'est écrire des choses comme ; ; etc.

J'ai choisi un langage non égalitaire puisque vous ne voulez aucun axiome

[gg0]

Réponse au message # 30 (j'avais raté les suivants) :

Andretou, si tu ajoutes l'addition, tu ajoutes une infinité d'axiomes. Du genre 0+0 = 0; 0+1=1, 0+2 = 2; ...1+1 = 2, ...
Rajouter du baratin de présentation à deux axiomes (1 existe; 0 existe) ne fait pas une définition des nombres entiers, ni même un moyen de travailler avec. En fait, l'addition est une fonction de dans . Qui a des propriétés particulières (0 est élément neutre, associativité, ...) mais ne définit pas particulièrement les entiers.
Voilà pourquoi Peano a préféré utiliser uniquement l'addition par 1, qui est définie comme une fonction (n --> n'), la fonction successeur. Sans parler d'addition, qui est défini ultérieurement par une définition précise et est une fonction de dans ; et on trouve (oh surprise !) que n'=n+1.
Ta phrase "L'addition n'est donc pas un axiome" est assez bizarre, cette erreur de catégorie amène à se demander si tu comprends bien ce qu'est un axiome. 0 est il un axiome, pour toi ?

[Médiat]

Bonsoir,

En fait, l'addition est une fonction de dans .

Etant rigoureux (ou maniaque), si est un modèle de la théorie en question et si en est l'ensemble sous-jacent, alors l'addition est une fonction de dans

[gg0]

OK, mais j'étais moins rigoureux, car c'était pour Andretou ...

Cordialement

[Médiat]

OK, mais j'étais moins rigoureux, car c'était pour Andretou ...

C'est ce que j'avais supposé, mais lui montrer la "réalité" des choses, pourrait, peut-être, lui permettre de mesurer toute la distance entre les mathématiques et les illusions mystiques ( comme "le 0 et le 1 ne contiennent-ils pas à eux seuls toute l'arithmétique"), c'était aussi l'esprit de mon message #32

[Liet Kynes]

Bonsoir,



Etant rigoureux (ou maniaque), si est un modèle de la théorie en question et si en est l'ensemble sous-jacent, alors l'addition est une fonction de dans

Bonjour,

Je vais surement dire une c..ie et je m'en excuse à l'avance:

L'ensemble des fonctions existantes pour A dans A pour un modèle d'une théorie est déterminé par les axiomes de départ? Il peut y en avoir une infinité mais jamais toutes?

[Deedee81]

Salut,

Mais à ma connaissance l'addition n'est pas un concept axiomatique

Hé bien il est sacrément temps d'approfondir tes connaissances alors !!!!!

Tu as posté dans le forum de logique mathématique. Sais-tu ce qu'est une logique ? C'est :
1. un alphabet (le lexique, les mots employés à ce stade sans aucune signification, c'est juste des symboles)
2. des règles syntaxiques : pour écrire des formules bien formées, c'est la grammaire, là encore sans aucune signification ni sens
3. Enfin des axiomes : c'est là qu'on donne un sens à l'alphabet
Et rien d'autre.

Si tu as un symbole comme + (ou le lot "addition"), alors c'est juste un symbole sans aucune signification (c'est le 1.).

Si tu dis qu'il faut écrire une formule comme nombre + nombre = nombre, alors c'est juste de la grammaire, ça ne donne aucune signification à cette écriture, juste qu'elle est bien formée. C'est comme les correcteurs orthographiques : si tu écrits "les souris chassent les chats" le correcteur orthographique (et grammatical) de Word (par exemple) va te dire "c'est correct". Mais le correcteur orthographique ne va donner aucune signification à cette phrase.

Enfin, tu dis :
2=1+1
Et là tu introduits un axiome en disant en substance "dans toute expression où on trouve 1+1 on peut le remplacer par 2". Et à partir de là tu peux vraiment commencer à faire des choses.
Autre axiome : "les chats chassent les souris" (mais pas l'inverse)

Donc en mathématique : TOUS LES CONCEPTS SONT AXIOMATIQUES.

Pour en revenir à ton "à ma connaissance", il est vraiment temps que tu complètes ces connaissances. Je te propose :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_math%C3%A9matique
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fondem...%C3%A9matiques
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano
https://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...rmelo-Fraenkel
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...%A9monstration
(et plusieurs liens sont importants)

C'est un peu trop court et général mais c'est un bon début. Mais tu devrais franchement lire tout ça, en détail, ligne par ligne, point par point, et t'assurant que tu as tout compris, avant même de poster un seul nouveau message.

C'est un conseil pour t'éviter de poster le 1803ième message erroné (je n'exagère même pas).

[Deedee81]

Salut,

On s'est croisé.

L'ensemble des fonctions existantes pour A dans A pour un modèle d'une théorie est déterminé par les axiomes de départ? Il peut y en avoir une infinité mais jamais toutes?

Non il y a une "couche" (sémantique) en plus. Si c'était totalement déterminé par les axiomes initiaux il n'y aurait qu'un seul modèle. Mais il y a une infinité de modèles possibles. Médiat me corrigera si j'ai dit une bêtise.
EDIT je me dis que je n'ai peut-être pas entièrement compris ta question. J'ai un ch'tit doute. Si c'est le cas, ma réponse pourra peut-être aider à la formuler autrement ou plus clairement.

[Deedee81]

Donc en mathématique : TOUS LES CONCEPTS SONT AXIOMATIQUES.

L'addition n'est donc pas un axiome (reste à définir son essence).

Précision : et donc, Andretou, si tu ajoutes des axiomes et que tu dis "ce n'est pas des axiomes parce que moi je ne les appelle pas ainsi". Alors. Ce n'est plus des maths et encore moins de la logique. C'est juste de la rhétorique (de mauvaise qualité).

[Deedee81]

Encore une info.

Désolé pour le flood, je ne saurais plus modifier.

C'est un conseil

Ce n'est pas un vain conseil, ni même un conseil difficile à suivre.

J'ai écrit un article d'épistémologie et dedans il y a une partie sur la logique (pas la formelle, mais sur les modes des raisonnement) : et bien j'ai lu en détail tous les articles wikipedia concernés avant même d'écrire une ligne
De même avec la théorie des groupes (je connaissais surtout les groupes de £Lie) : j'ai lu tous les articles concernés dans wikipedia et même dans l'Encyclopédia universalis.

Et ça va vite. M'a fallu moins d'une journée à chaque fois (ce qui ne risque pas de faire de moi un expert mais me permet de "savoir de quoi je parle").

Donc, ce n'est pas contraignant et c'est quand même plus intelligent que de poster des questions mal écrites, de faire des affirmations débiles ou d'avoir du mal à comprendre les réponses.
Et donc j'estime que si tu ne suis pas ce conseil (ce qu'on verra très vite) alors tu n'est pas intéressé par le sujet mais juste par l'envie de blablater n'importe comment (bon, je n'aime pas faire des procès d'intention mais comme on dit hein : chat échaudé....)

[Médiat]

Bonjour,

L'ensemble des fonctions existantes pour A dans A pour un modèle d'une théorie est déterminé par les axiomes de départ?

Oui, ce sont les axiomes (de départ n'a aucun sens ici à part faire pléonasme) qui déterminent si une fonction (ou une relation) est acceptable ou non

Il peut y en avoir une infinité mais jamais toutes?

Il n'y en a pas une infinité dans les modèles finis. Pour que toutes les fonctions soient acceptables il faudrait qu'aucune contrainte ne pèse dessus, qu'il n'y ait aucun axiome.

Deedee va un peu vite en disant que s'il n'y avait qu'une seule fonction dans un ensemble, il n'y aurait qu'un seul modèle, d'abord il faudrait qu'il n'y ait pas d'autres éléments de langage, et surtout l'unicité est lié à l'ensemble sous-jacent, mais on peut sans doute (avec Löwenheim-Skolem, c'est même certain) construire d'autres modèles à partir d'autres ensembles.

Prenons un exemple simple Le langage est (0, s) où 0 est un symbole de constantes, et s une fonction appelé successeur, et 3 axiomes (ceux de Peano)


Si je prends comme ensemble de base IN = {0, 1, 2, ...}, à votre avis il y a combien de façon de définir la fonction successeur ?

[Deedee81]

Merci de ces explications et précisions. Je me rend compte que : non seulement j'avais en effet mal compris la question mais que je me suis moi même mal exprimé.

[Amanuensis]

Il n'y en a pas une infinité dans les modèles finis.

Prenons un exemple simple Le langage est (0, s) où 0 est un symbole de constantes, et s une fonction appelé successeur, et 3 axiomes (ceux de Peano)


Si je prends comme ensemble de base IN = {0, 1, 2, ...}, à votre avis il y a combien de façon de définir la fonction successeur ?

Mon premier réflexe aurait été de dire une infinité, parce que s(0) pourrait être n'importe lequel des autres nombres. Ce n'est pas un modèle fini, cela ne contredit pas le premier paragraphe.

En fait je ne sais pas ce que signifie exactement "prendre comme ensemble de base IN " ; doit-on respecter la relation d'ordre implicite de par la notation ? Peut-on prendre un sous-ensemble ? Genre {0} et s non défini pour 0, qui me semble respecter tous les axiomes.

[Médiat]

Je vois que vous avez déjoué les pièges (à but didactique)

doit-on respecter la relation d'ordre implicite de par la notation ?

Non, J'ai bien parlé de l'ensemble IN (donc sans aucune structure)

Mon premier réflexe aurait été de dire une infinité, parce que s(0) pourrait être n'importe lequel des autres nombres.

oui () et je pourrais proposer encore moins intuitif

En fait je ne sais pas ce que signifie exactement "prendre comme ensemble de base IN " ; Peut-on prendre un sous-ensemble ? Genre {0} et s non défini pour 0, qui me semble respecter tous les axiomes.

s est une application de IN dans IN, donc tous les éléments de IN doivent avoir une image.

[Amanuensis]

Désolé. J'aurais dû laisser la parole à ceux qui ont plus de choses à apprendre sur le sujet que moi.

[Médiat]

Pas de problème, si la réponse est comprise par ceux-là.

[Deedee81]

Perso je trouve la logique formelle (pure et dure) assez abordable mais la théorie des modèles plus difficiles et plus délicate à manier. Mais je me fais peut-être une mauvaise idée en tant que non spécialiste.

[Médiat]

Perso je trouve la logique formelle (pure et dure) assez abordable, mais la théorie des modèles plus difficiles et plus délicate à manier.

En logique formelle, le forcing me paraît plus compliqué que le (si beau) théorème de Löwenheim-Skolem (modèles), mais la stabilité de Shelah (théorie des modèles) plus compliquée que le (si beau) théorème de compacité (logique pure et dure).

En fait comme dans tous les domaines, quand on a travaillé quelques années sur un sujet il nous paraît plus simple et plus intuitif que ceux que l'on a survolé.

[Deedee81]

En logique formelle, le forcing me paraît plus compliqué que le (si beau) théorème de Löwenheim-Skolem (modèles), mais la stabilité de Shelah (théorie des modèles) plus compliquée que le (si beau) théorème de compacité (logique pure et dure).

Ah oui, tu vas loin là (pour moi en tout cas).

En fait comme dans tous les domaines, quand on a travaillé quelques années sur un sujet il nous paraît plus simple et plus intuitif que ceux que l'on a survolé.

Ou l'inverse, comme tout le monde (enfin, c'est un voeux pieu) je me méfie de Dunning et Kruger mais comme tout le monde (là c'est sûr) je me fais avoir de temps à autre.
EDIT je viens d'aller voir les énoncés. Joli !

[Médiat]

Sinon, quelle aurait été ta réponse à ma question #42 avant de lire celle de Amanuensis ?

[stefjm]

Sinon, quelle aurait été ta réponse à ma question #42 avant de lire celle de Amanuensis ?

42?.........

[Deedee81]

Sinon, quelle aurait été ta réponse à ma question #42 avant de lire celle de Amanuensis ?

Premier réflexe : 1, puis "ah mais non, l'ordre des éléments de l'ensemble n'est pas posé a priori donc une infinité" (et pour le coup non dénombrable). Mais dans les messages qui précédaient (le 42) j'avais mal compris de quelle fonction on parlait, j'étais complètement à coté de la plaque

42?.........

Moi j'aurais répondu "Stéphanie de Monaco" ?

[Médiat]

Premier réflexe : 1, puis "ah mais non, l'ordre des éléments de l'ensemble n'est pas posé a priori donc une infinité" (et pour le coup non dénombrable). Mais dans les messages qui précédaient (le 42) j'avais mal compris de quelle fonction on parlait, j'étais complètement à coté de la plaque

Et je précise que rien n'impose que le 0 du langage doive s'interpréter comme le 0 de IN

Moi j'aurais répondu "Stéphanie de Monaco" ?

Et moi H2G2

[Deedee81]

Et je précise que rien n'impose que le 0 du langage doive s'interpréter comme le 0 de IN

Ah oui, bien vu

Et moi H2G2

[Amanuensis]

Et je précise que rien n'impose que le 0 du langage doive s'interpréter comme le 0 de IN

Ben... Peut-être le "principe" informel (mais qui aide bien) de non réutilisation d'un même "caractère" (1) pour désigner des machins différents ?

(1) au sens large

[Liet Kynes]

Premier réflexe : 1, puis "ah mais non, l'ordre des éléments de l'ensemble n'est pas posé a priori donc une infinité" (et pour le coup non dénombrable).

La propriété donnée à zéro de ne pas être successeur le situe obligatoirement en première position par rapport aux autres éléments quelque soit l'ordre qui les concerne: du coup une infinité de possibilités mais 0 n'est jamais successeur ?

[Médiat]

Ben... Peut-être le "principe" informel (mais qui aide bien) de non réutilisation d'un même "caractère" (1) pour désigner des machins différents ?

Normalement, il n'y a pas de confusion entre éléments du langage et élément du modèle interprétant un symbole du langage.

Quand on veut faire les choses avec moins de risque, on utilise une convention, comme (dans l'exemple précédent) on parle du langage et on dit que dans le modèle, on interprète par et par , ou encore, comme je l'avais fait dans mon document sur l'arithmétique que vous avez parcouru, on parle du langage , que dans le modèle , on interprète par et (qui restent à définir), mais à part quelques circonstances particulières, toutes ces notations sont trop lourdes et compliquent les choses plus qu'elles ne les simplifient et elles sont vite abandonnées.

[gg0]

Effectivement,

ne pas préciser que le 0 de N n'est pas celui du langage est une façon d'introduire de la confusion. Pourquoi ne pas écrire N={1,2,3,4,...} qui ne change rien au problème ?

Cordialement.

[Médiat]

La propriété donnée à zéro de ne pas être successeur le situe obligatoirement en première position par rapport aux autres éléments quelque soit l'ordre qui les concerne: du coup une infinité de possibilités mais 0 n'est jamais successeur ?

Vous parlez du modèle IN ou de la théorie ? Je comprends que vous parlez de IN, mais c'est le 0 du langage qui n'est jamais successeur (donc son interprétation), si on interprète le 0 du langage par le 2 (qui n'est pas un élément du langage) de IN, le 0 de IN sera forcément successeur de quelque chose