Classes et prédicats unaires.

**Anonyme007** · 22/09/2021, 18h16

Bonjour,
Quelle est la différence entre une classe et un prédicat unaire en Théorie des ensembles versus Logique ?
Je sais qu'une classe est un prédicat unaire, ( Voir ici, http://settheory.net/fr/fondements/unif ), mais pourquoi un prédicat unaire n'est pas forcément une classe ?
Merci d'avance.

**Médiat** · 22/09/2021, 19h20

Je ne vois pas le lien entre votre question et le lien (recherche sur unaire ou classe), Pourriez-vous expliciter vorte question et son contexte

**Anonyme007** · 22/09/2021, 20h31

Bonsoir Médiat,
Sur le lien que j'ai inséré dans mon poste précédent, on définit une classe comme suit,

Pour toute théorie, une classe est un prédicat unaire $\text{[math]}$ vu comme ensemble des objets $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est vrai, à savoir «la classe des $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ ».

On comprend donc, de ce passage, qu'une classe est un type particulier de prédicats unaires vérifiant certaines conditions, mais, un prédicat unaire n'est pas forcément une classe.
Comment alors définissons un prédicat unaire qui n'est pas une classe ?
Qu'est ce qui différencie les deux ?
Merci d'avance.

Edit,
Oups. Pardon. Je me suis planté. Le lien du premier poste n'est pas celui que je devais insérer. Voici le vrai lien, http://settheory.net/fr/fondements/classes

**Médiat** · 22/09/2021, 21h21

Je comprends mieux, mais qu'est-ce qui vous fait penser qu'un prédicat pourrait ne pas définir une classe ? Bien sûr ce pourrait-être un ensembl, mais en générale on considère que les ensembles sont des classes particulières

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 22/09/2021, 21h39

Envoyé par Médiat

... qu’est ce qui vous fait penser qu'un prédicat unaire pourrait ne pas définir une classe ?

Pour le moment, je ne sais pas, puisque je ne connais pas exactement ce qu'est la définition d'un prédicat unaire. J'ai simplement une idée vague de ce qu'est un prédicat unaire. Un prédicat unaire est un ''objet'' $\text{[math]}$ ( Je ne sais pas ce que c'est la nature de cet objet ) qui ne prend qu'un seul argument $\text{[math]}$ ( i.e : $\text{[math]}$ )
Quelle est la définition d'un prédicat unaire ?
Merci d'avance.

**Médiat** · 22/09/2021, 22h09

Un prédicat binaire sur $\text{[math]}$ peut être vu comme une partie de $\text{[math]}$ , de la même façon un prédicat unaire peut être vu comme une partie de $\text{[math]}$

**Anonyme007** · 22/09/2021, 22h13

Merci. Et un prédicat unaire $\text{[math]}$ prend ses valeurs $\text{[math]}$ telles que, $\text{[math]}$ dans quel ensemble ?

**Médiat** · 22/09/2021, 22h26

Ce que vous décrivez est une relation binaire (qui en plus est fonctionnelle), pour un prédicat unaire $\text{[math]}$ , pour tous $\text{[math]}$ soit on a $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ )

Par exemple on peut parler de la géométrie dans l'espace en utilisant 3 prédicats unaires : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dont le sens devrait être clair

**Anonyme007** · 22/09/2021, 22h38

Oui, c'est vrai, tu as raison. Merci.
Ici, par contre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%...%C3%A9matique) , on dit qu'un prédicat $\text{[math]}$ prend ses valeurs dans $\text{[math]}$ . Quant tu dis que, pour un prédicat unaire $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ , soit on a, $\text{[math]}$ , soit on a, $\text{[math]}$ , est ce qu'on peut écrire, pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , puisque d'après ce lien, $\text{[math]}$ est à valeur dans $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

**Médiat** · 22/09/2021, 23h11

Oui on peut, mais ce n'est pas obligatoire, je préfère voir cela comme $\text{[math]}$ (en identifiant $\text{[math]}$ et son graphe) plutôt que de dire que $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et d'avoir à préciser que ce graphe est fonctionnel sur sa première coordonnée

**Anonyme007** · 22/09/2021, 23h23

Merci.
Revenons maintenant à ta question de départ,

Envoyé par Médiat

Je comprends mieux, mais qu'est-ce qui vous fait penser qu'un prédicat pourrait ne pas définir une classe ? Bien sûr ce pourrait-être un ensembl, mais en générale on considère que les ensembles sont des classes particulières

Soit $\text{[math]}$ la collection des prédicats unaires.
Il existe, $\text{[math]}$ une sous collection de $\text{[math]}$ définie telle qu'il existe une flèche ( ensembliste j'imagine ) $\text{[math]}$ telle que, pour tout prédicat $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Alors, par définition, $\text{[math]}$ se nomme une classe, pour tout $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Est ce que c'est ça ?

**Médiat** · 23/09/2021, 07h53

Bonjour,

Je ne vois pas l'intérêt d'une définition qui utilise des objets "qui n'existent pas" :
1) $\text{[math]}$ (même si cela n'est pas grave)
2) $\text{[math]}$ , c'est en gros l'ensemble des parties de $\text{[math]}$ (il vit où ce $\text{[math]}$ ), mais pas au sens enembliste
3) $\text{[math]}$ est une fonction etre deux trucs qui ne sont pas des ensembles
etc.

Mais je ne vois toujours pas pourquoi un prédicat unaire pourrait ne pas définir une classe (il n'y a pas de contraintes sur la définition d'une classe)

**Anonyme007** · 23/09/2021, 10h13

Bonjour,

Envoyé par Médiat

Mais je ne vois toujours pas pourquoi un prédicat unaire pourrait ne pas définir une classe (il n'y a pas de contraintes sur la définition d'une classe)

Soit $\text{[math]}$ la collection des prédicats unaires.
Il existe deux flèches ( ensemblistes j'imagine ) $\text{[math]}$ telles que, pour tout prédicat $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ .
Alors, par définition,
- $\text{[math]}$ se nomme une classe, pour tout $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .
- $\text{[math]}$ est un prédicat qui n'est pas une classe, pour tout $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Ce qui fait distinguer une classe d'une non-classe dans une collection de prédicats unaires est la valeurs de vérité dans $\text{[math]}$ associée à ce prédicat unaire.
- Aux classes, est associée la valeur de vérité : True, qui est $\text{[math]}$ .
- Aux non-classes, est associée la valeur de vérité : False, qui est $\text{[math]}$ .

Est ce que c'est ça ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 23/09/2021, 10h37

On peut imaginer les choses de cette manière aussi, comme suit,
Soit $\text{[math]}$ la collection des prédicats unaires.
$\text{[math]}$ s'identifie à l'ensemble des parties de $\text{[math]}$ qui est $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est l'univers du discours ( Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%...%C3%A9matique) ce qu'est la notion d'univers du discours ).
, Soit la flèche, $\text{[math]}$ qui à un prédicat $\text{[math]}$ est associée une valeur de vérité $\text{[math]}$ .
Alors,
- La collection des classes est définie par la fibre, $\text{[math]}$ .
- La collection des prédicats unaires qui ne sont pas des classes est définie par la fibre, $\text{[math]}$ .

**Médiat** · 23/09/2021, 11h33

Soit $\text{[math]}$ un prédicat unaire, que pensez-vous du prédicat $\text{[math]}$ vérifiant $\text{[math]}$ ?

**Anonyme007** · 23/09/2021, 12h03

Je ne suis pas encore familier avec ces notions pour entrer dans ces détails un peu complexes, mais, voici mon avis,
Si $\text{[math]}$ est un prédicat unaire, alors, $\text{[math]}$ est aussi un prédicat unaire.

**Deedee81** · 23/09/2021, 12h05

Salut,

Moi aussi j'ai une question (peut-être très bête, soyez indulgent) : c'est quoi une "non-classe" ????

EDIT on s'est croisé mais le me semble que la réponse ci-dessus implique un défaut dans les explications qui précédaient ! Mais j'ai peur de m'avancer
A non oubliez ça, c'est idiot, ce n'est probablement pas suffisant pour dire ça

**Anonyme007** · 23/09/2021, 12h10

Salut,
Une non-classe est un raccourci que j'ai inventé comme terminologie pour désigner un prédicat unaire qui n'est pas une classe.

**Deedee81** · 23/09/2021, 12h12

Envoyé par Anonyme007

Salut,
Une non-classe est un raccourci que j'ai inventé comme terminologie pour désigner un prédicat unaire qui n'est pas une classe.

D'accord, tout bêtement. Merci,

(je re-laisse la main, mais je continue à suivre, je trouve ça intéressant)

**Médiat** · 23/09/2021, 12h43

Envoyé par Anonyme007

Si $\text{[math]}$ est un prédicat unaire, alors, $\text{[math]}$ est aussi un prédicat unaire.

et vous avez $\text{[math]}$ qui du coup serait à la fois une classe et une "non classe" ...

**Anonyme007** · 23/09/2021, 13h06

Envoyé par Médiat

et vous avez $\text{[math]}$ qui du coup serait à la fois une classe et une "non classe" ...

Il me semble que non.
Je m'explique,

$\text{[math]}$ a pour valeur de vérité $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ a pour valeur de vérité $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .

**Deedee81** · 23/09/2021, 13h18

Pour la validité du raisonnement je laisse médiat regarder (ça me chiffonne mais je ne vois pas d'erreur).

Mais : le complément d'une classe n'est pas une classe ?

**Anonyme007** · 23/09/2021, 13h22

Non, le complément d'une classe peut être une classe.
C'est le complément de la collection des classes qui ne peut pas être une collection de classes, mais une collection de prédicats unaires qui ne sont pas des classes.

**Deedee81** · 23/09/2021, 13h27

Envoyé par Anonyme007

Non, le complément d'une classe peut être une classe.
C'est le complément de la collection des classes qui ne peut pas être une collection de classes, mais une collection de prédicats unaires qui ne sont pas des classes.

Ah oui d'accord, la collection plus haut m'avait échappé, merci

**Médiat** · 23/09/2021, 14h15

J'aurais, au contraire, écrit :

$\text{[math]}$ a pour valeur de vérité $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ a pour valeur de vérité $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .

**Anonyme007** · 23/09/2021, 14h36

Envoyé par Médiat

J'aurais, au contraire, écrit :

$\text{[math]}$ a pour valeur de vérité $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ a pour valeur de vérité $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
La classe des $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est vrai s'identifie à la classe des $\text{[math]}$ , où, $\text{[math]}$ est fausse.

Oui, tu as raison.

Alors, je ne sais pas comment remédier à ce problème.

**Anonyme007** · 23/09/2021, 14h48

Envoyé par Anonyme007

On peut imaginer les choses de cette manière aussi, comme suit,
Soit $\text{[math]}$ la collection des prédicats unaires.
$\text{[math]}$ s'identifie à l'ensemble des parties de $\text{[math]}$ qui est $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ est l'univers du discours ( Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%...%C3%A9matique) ce qu'est la notion d'univers du discours ).
, Soit la flèche, $\text{[math]}$ qui à un prédicat $\text{[math]}$ est associée une valeur de vérité $\text{[math]}$ .
Alors,
- La collection des classes est définie par la fibre, $\text{[math]}$ .
- La collection des prédicats unaires qui ne sont pas des classes est définie par la fibre, $\text{[math]}$ .

J'ai compris où se trouve le hic Médiat.
Tu confonds $\text{[math]}$ qui est une collection de prédicats qui sont des classes, et $\text{[math]}$ qui est le sous-domaine de l'univers de discours où le prédicat unaire $\text{[math]}$ est vrai.
Ce n'est pas la meme chose.

**Deedee81** · 23/09/2021, 14h57

Je ne vous suis plus !!!! Pas simple.

Bon, la nuit porte conseil. A demain

**Anonyme007** · 23/09/2021, 15h01

C'est la définition suivante que j'avais donné au début qui est mal formulée.

Envoyé par Anonyme007

Bonjour,
Soit $\text{[math]}$ la collection des prédicats unaires.
Il existe deux flèches ( ensemblistes j'imagine ) $\text{[math]}$ telles que, pour tout prédicat $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ .
Alors, par définition,
- $\text{[math]}$ se nomme une classe, pour tout $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .
- $\text{[math]}$ est un prédicat qui n'est pas une classe, pour tout $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Ce qui fait distinguer une classe d'une non-classe dans une collection de prédicats unaires est la valeurs de vérité dans $\text{[math]}$ associée à ce prédicat unaire.
- Aux classes, est associée la valeur de vérité : True, qui est $\text{[math]}$ .
- Aux non-classes, est associée la valeur de vérité : False, qui est $\text{[math]}$ .

Tu as raison Médiat.

Edit, Croisement avec le message de Deedee81.

Classes et prédicats unaires.

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