term s aires et périmetres...

[invite28f48488]

bonjour
je suis face a un exercice assez complexe
Parmi les rectangles d'aires données, determiner celui dont le périmètre est minimal.

il n'y a aucune figure avec il faut le démontrer ..mais comment??
faut il partir des relations de l'aire d'un rectangle et de sn périmètre ?? aidez moi..juste pour trouver la démarche svp...
merci d'avance
a bientot
-----

[Jeanpaul]

faut il partir des relations de l'aire d'un rectangle et de sn périmètre ??

Ben forcément : appelle x une dimension et A/x l'autre.
Que vaut le périmètre ? Comment varie-t-il avec x ?

[invite28f48488]

je ne comprend pas très bien ce qu'il faut faire...
si je prend x le petit coté du rectangle et x/a le grand coté

l'aire sera égale a A=x * (a/x)
=ax/x...
mais ca ne me conduit nulle part..de plus l'aire n'est pas donnée ici..
quelqu'un pourrait-il m'expliquer??
je sais je suis long ...dsl

[zoup1]

Il faut maintenant que tu exprimes le périmètre en fonction de x...
Ainsi tu auras l'expression du périmètre de tous les rectangles d'aire A. Il te suffira après de choisir la valeur de x qui minimise le périmètre...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite28f48488]

le périmetre sera donc égal a

p=2(x+(a/x))

mais on a deux inconu..il y a x et a...

comment faire ?? il faut calculer une dérivée après ??
je suis paumé aidez moi..

[erik]

mais on a deux inconu..il y a x et a...

Non a c'est la surface de ton rectangle, ce n'est pas une inconnue, c'est une donnée du problème.
On te dit :

Parmi les rectangles d'aires données

Donc tu considère que tu connais l'aire de ton rectangle, et on appelle cette aire : a.

Donc maintenant ce a étant fixé (peu importe sa valeur)
Pour quel x, le périmètre =2(x+a/x) est il minimum ?

Comment trouve t'on le minimum d'une fonction de x ?

[invite28f48488]

ben pour trouver le minimum on calcule sa dérivé..

[invite28f48488]

est ce que la dérivée de 2*(a/x) est bien égale a -a/x^2 ou pas ??

dans ce cas p'=2-(a/x^2)...

jcrois pas que ce soit ca..

[invite28f48488]

bon j'ai trouvé ca:

p=2x+(2*(a/x))
p= (2x^2-2a)/ x

donc p'=(2x^2+2a)/x^2 en utilisant la formule de u/v

c'est ca ??

[zoup1]

est ce que la dérivée de 2*(a/x) est bien égale a -a/x^2 ou pas ??

dans ce cas p'=2-(a/x^2)...

jcrois pas que ce soit ca..

c'est la dérivée de a/x qui fait (-a/x^2)

[invite28f48488]

bon j'ai trouvé ca:

p=2x+(2*(a/x))
p= (2x^2-2a)/ x

donc p'=(2x^2+2a)/x^2 en utilisant la formule de u/v

c'est ca ?

[erik]

Oh la on s'égare,
Bon tu as trouvé : il va falloir dériver p(x).

On a

La dérivée de (f+g) c'est (f'+g')
La dérivée de constante*f c'est constante*f'

la dérivée de

Remet tout dans l'ordre et tu devrais obtenir la dérivée de p

[invite19431173]

Pour moi il y a une erreur de signe !

[zoup1]

bon j'ai trouvé ca:

p=2x+(2*(a/x)) oui
p= (2x^2-2a)/ x non !!! pourquoi ce changement de signe

donc p'=(2x^2+2a)/x^2 à partir de l'expression précédente qui est fausse le calcul est correct, mais évidemment ce n'est pas ce que l'on cherche en utilisant la formule de u/v

c'est ca ??

De toute façon tu cherches les complications dans ta façon de dériver ! Pourquoi chercher à mettre 1/x en facteur. Il suffit de dériver chaque terme de la somme.

[invite28f48488]

ok ok!!
j'ai tout repris depuis le début!!
on va y arriver!

donc en utilisant f'+g' j'obtient

p'(x)= 2+(-2/x^2)
p'(x)=2x^2/x^2-(2a/x^2)
p'(x)=2x^2-2a/x^2

cette fois est ce que c'est ca ??
si c'est ca après je trouve que p'(x) s'annule en -a et a...

[erik]

Bon ça se précise:

on a bien p'(x)= 2+(-2a/x^2) (j'ai rajouté le a que tu as oublié sur ta première ligne)

On cherche x tel que p'(x)=0 et

Pour quel x a t on

(je ne sais pas pourquoi tu t'acharnes à tout mettre au même dénominateur, ça ne facilite pas vraiment le travail, et ça rajoute des calculs, donc des risques d'erreur)

[invite28f48488]

on calcule p'(x)=0 pour trouver le perimetre minimal ??

pourquoi on ne fais pas le tableau de variation et ensuite le calcul de la plus petite valeur ??
j'ai trouver que si p'(x)=0 alors
x= racine de 2a/2 ou x=- racine de 2a/2...

[erik]

Ben en gros c'est ce qu'on fait.

Ta dérivée s'annule pour (racine de (2a/2) c'est racine de a), elle est négative pour et positive pour (ne pas oublier que x représente la longueur d'un coté de ton rectangle, donc x>0 et on peu oublier tout ce qui se passe pour les x<0)

Donc p(x) admet un minimum pour (là c'est du cours : la fonction est décroissante passe par le minimum puis est croissante), le calcul de p'(x)=0 nous a permis de trouver la valeur de x pour laquelle p(x) est minimum.

Tu peux conclure sur la forme précise de ton rectangle (si il a un coté de taille de quel taille est l'autre coté ?)

[invite28f48488]

l'autre coté sera de taille x/a donc racine de a /a...

et il ne faut pas calculer p(racine de a) piour dire le périmetre minimal ??
en tout cas merci pour toute l'aiude que tu m'a fournie!!

[invite28f48488]

pardon je me suis trompé
si un des coté vaut racine de a
le second vaut a/racine de a

[erik]

Oui l'autre coté sera de taille Donc ton rectangle est un carré de coté

Et tu peux facilement calculer son périmètre (soit en disant que c'est un carré et donc le périmètre = 4*le coté, soit en calculant comme tu le dis dans les deux cas tu dois trouver la même chose)

[invite28f48488]

est ce que trouver un carré a la fin répond quand meme bien a l'énoncé ?? il ne faut pas obligatoirement trouver un rectangle ??
merci beaucoup pour ton aide
ca y est tu peut souffler c'est fini!

[invite19431173]

Il me sembe que la réponse est effectivement le carré. Qui est un rectangle, particulier !

[invite28f48488]

j'ai trouvé pminimal=4racine de a

[erik]

C'est nickel, c'est le périmètre d'un carré (qui est un rectangle particulier) de coté racine(a)

Bravo