[Term S] DM de Maths : Nombre de Mersenne

[invited0cbf1a1]

Bonjour,

En fait, j'ai juste une question que je n'arrive pas à résoudre.

Montrer que pour tout entier strictement positif n,
Si 2ⁿ-1 est premier alors n l'est aussi.

J'ai essayé de factoriser le nombre de mersenne en décomposant n en n=a*b pour montrer que si n est composé alors M l'est aussi. Alors j'aurais bien la solution mais le problème c'est que je n'y arrive pas.

Si vous pouviez m'aider ou juste me donner une piste

Pour l'instant je ne l'est montrer que si b=2. On a alors une basique différence de deux carrés. Mais sinon c'est

Arnot69
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[invite2fd735b7]

A mon avis la solution est assez simple :
Soit un naturel a :

2^a-1 divise 2ⁿ-1 si a divise n
Ainsi, si n est premier, 2ⁿ-1 l'est aussi

[invited0cbf1a1]

Lorsque tu dis

Ainsi, si n est premier, 2n-1 l'est aussi

C'est faux, car avec n=11 cela ne marche pas.

Pour conclure il faudrait plus montrer que si 2^a-1 divise 2ⁿ-1 alors a divise n, non?

Peux etre en modifiant un peu ta méthode. Mais je ne comprends pas comment tu procèdes, peux tu un peu détailler?

[invite2fd735b7]

Oups excuse moi je me suis trompé, en fait moi j'avais montré que les nombres de Mersenne ne sont pas tous premiers pour des n premiers... Je me suis mélangé les pinceaux...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited0cbf1a1]

Alors j'ai trouvé une réponse là :

http://primes.utm.edu/notes/proofs/Theorem2.html

Le problème c'est que leur méthode de factorisation est un peu obscure.