Problème de 1ere S

[invite097f04f0]

Bonjour, je suis en 1ère S et j'ai un petit problème en maths. Le voici :

ABC est un triangle rectangle en A ; AB=3 et AC=4
M est un point de [BC] distinct de B et C
P et Q sont respectivement les projetés orthogonaux de M sur (AB) et (AC).On pose BM=x
Le but de l'exercice est de déplacer M pour que l'aire de APMQ soit maximale.

2)On note A(x) l'aire du rectangle APMQ.
a)Montrer que : A(x)=-12x²/25 + 12x/25

Voilà, je suis bloqué à cette question et j'essaie de retourner le problème dans tous les sens mais je ne trouve pas. J'ai essayé de calculer l'Aire totale et d'y soustraire les aires de BPM et de MQC mais je n'arrive pas au résultat demandé. J'ai tenté d'exprimer PM et MQ en fonction de x mais en vain. J'ai aussi essayer de prendre le résultat et de remonter jusqu'au problème mais je ne trouve aucun rapport !
J'aurais juste besoin d'une petite piste, d'un point de départ.
Merci de votre aide.
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[cherwam07]

T'as pensé aux fonctions trigo ??

Pour traiter des projections dans des triangles rectangles, ya pas mieux....

[Duke Alchemist]

Bonjour.

L'idée de calculer l'aire totale et de retrancher les aires des deux petits triangles est bonne, mais il te manque des longueurs comme CQ ou BP (par exemple) pour déterminer les aires des triangles CQM et BPM...
Et bien utilise le théorème de Thalès pour déterminer la longueur BP en fonction de BM, de BC et de AB que tu connais ou que tu peux facilement déterminer.
Même chose pour CQ en fonction AC, CB et CM...
Bon ça peut être long (et il ne faut pas se planter )

Méthode plus rapide :
Tu peux aussi calculer en appliquant le théorème de Thalès les longueurs des côtés PM et QM que tu n'as qu'à multiplier pour obtenir l'aire du rectangle demandé.

Bon courage.

Duke.

[Duke Alchemist]

Re-

Il doit y avoir une petite erreur d'énoncé :

Je trouve : A(x)=-12x²/25 + 12x/5

P.S. : La méthode rapide fonctionne bien ! (5 lignes avec très peu de calculs)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite097f04f0]

Bien vu, c'est pas 25 mais 5 je m'en suis apercu trop tard désolé.
Sinon merci beaucoup et c'est vrai que le théoreme de Thales marchait j'avais pas essayé (pas pensé non plus).
Mais j'ai aussi essayé avec la trigonométrie et j'ai trouvé le même résultat:

SinPBM = PM/BM = PM/x = AC/BC = 4/5
SinQCM = QM/CM = QM/(5-x) = AB/BC = 3/5

PM = 4x/5
QM = 3-(3x/5)

A(x) = PM * QM
= 4x/5 * 3-(3x/5)
= 12x/5 - 12x²/25

Merci beaucoup à tous !!!