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[1ère S] Et on y revient...22/7 !



  1. #1
    hadjou

    [1ère S] Et on y revient...22/7 !


    ------

    Bonjour à tous!

    22/7 ... un classique pour les suites, vu partout !
    Mais trop complexe à trouver (pour ma part!).

    Il faut calculer la 2 006ième de 22/7.

    Alors je voudrais savoir si il y avait, déjà, besoin d'une suite pour la trouver? et si oui laquelle?

    Merci.

    -----

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  3. #2
    danyvio

    Re : [1ère S] Et on y revient...22/7 !

    Quand on divise un nombre entier par un nombre entier non exprimable par 2n * 5m (n et m étant entiers positifs ou nuls), on obtient un résultat avec une décimalisation périodique qui se répète indéfiniment. Essaie de diviser (sans calculette ) 22 par 7 Tu verras que les décimales se répètent, et ne peuvent que se répéter indéfiniment, puisque à partir d'un certain rang, tu as à nouveau le même reste à diviser par 7.
    Ensuite, à toi de te creuser le citron pour évaluer le chiffre à la x ième décimale.

  4. #3
    Gwyddon

    Re : [1ère S] Et on y revient...22/7 !

    C'est même plus général : un nombre est rationnel si et seulement si sont développement décimal est périodique à partir d'un certain rang
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. #4
    hadjou

    Re : [1ère S] Et on y revient...22/7 !

    Diviser 22/7 : je l'ai déjà fait même qu'elle est de période 6. Cela ne m'explique pas comment trouver le 2 006ième déciamle ?!

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    danyvio

    Re : [1ère S] Et on y revient...22/7 !

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    C'est même plus général : un nombre est rationnel si et seulement si sont développement décimal est périodique à partir d'un certain rang
    Tout à fait d'accord mais ça dépasse peut-être le cadre collège et lycée Je ne sais pas trop quel est, aujourd'hui, le niveau de l'arithmétique enseignée en terminale ou avant.. Question de génération...

  8. #6
    danyvio

    Re : [1ère S] Et on y revient...22/7 !

    Citation Envoyé par hadjou Voir le message
    Diviser 22/7 : je l'ai déjà fait même qu'elle est de période 6. Cela ne m'explique pas comment trouver le 2 006ième déciamle ?!
    Scrongneugneu ! As tu entendu parler des congruences ?

    22/7=3,142857142857....

    Les décimales de rang 1 + 6k ont pour valeur 1
    Les décimales de rang 2 + 6k ont pour valeur 4
    ......A compléter par le p'tit lycéen...

    Les décimales de rang 0 + 6k ont pour valeur 7

    A toi de jouer maintenant

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  10. #7
    Gwyddon

    Re : [1ère S] Et on y revient...22/7 !

    Effectivement tu as tous les atouts en main, on attend ton résultat maintenant.

    Effectivement bis, le résultat général dépasse largement le lycée
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  11. #8
    hadjou

    Re : [1ère S] Et on y revient...22/7 !

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    Scrongneugneu ! As tu entendu parler des congruences ?
    Ba non !!! Sinon j'y aurais pensé !
    Dernière modification par Gwyddon ; 19/11/2006 à 11h34. Motif: orthographe, nom de nom !

  12. #9
    hadjou

    Re : [1ère S] Et on y revient...22/7 !

    Bon j'ai fais ça ! (pas votre méthode, désolée)

    2006/6 = 334,33333333333333...

    donc il y a donc 334 blocs de 6 avant la 2 006ième décimale de 22/7

    On prend donc (1/3)*6 = 2

    Donc la 2 006ième décimale de 22/7 vaut 2.

    C'est juste?

  13. #10
    danyvio

    Re : [1ère S] Et on y revient...22/7 !

    Citation Envoyé par hadjou Voir le message
    Bon j'ai fais ça ! (pas votre méthode, désolée)

    2006/6 = 334,33333333333333...

    donc il y a donc 334 blocs de 6 avant la 2 006ième décimale de 22/7

    On prend donc (1/3)*6 = 2

    Donc la 2 006ième décimale de 22/7 vaut 2.

    C'est juste?
    Tu as utilisé les congruences sans le savoir, comme M. Jourdain faisait de la prose. C'est bien, mais il y a une petite erreur. Tu as confondu rang et valeur. Je t'aide :
    Il y a 334 blocs de 6 : OK ce qui représente 334 * 6 = 2004 décimales (ce que tu n'as pas calculé)

    Le bloc suivant représente les décimales 2005, 2006 etc. La décimale n° 2006 est donc égale à la décimale de rang 2 soit la valeur :

  14. #11
    hadjou

    Re : [1ère S] Et on y revient...22/7 !

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    La décimale n° 2006 est donc égale à la décimale de rang 2 soit la valeur :
    Soit la valeur 4.

  15. #12
    mach3
    Modérateur

    Re : [1ère S] Et on y revient...22/7 !

    Bon j'ai fais ça ! (pas votre méthode, désolée)

    2006/6 = 334,33333333333333...

    donc il y a donc 334 blocs de 6 avant la 2 006ième décimale de 22/7

    On prend donc (1/3)*6 = 2

    Donc la 2 006ième décimale de 22/7 vaut 2.

    C'est juste?
    euh... j'avoue ne pas trop comprendre ce que tu fais... l'idée au départ est intéressante, mais ensuite je ne vois pas le rapport avec (1/3)*6=2

    On va repartir de ton idée de diviser 2006 par 6 et de là partir dans la bonne direction.
    la séquence répétitive est : 142857
    si on la répéte 334 fois, on arrive à la 2004éme (=6*334) décimale qui est donc 7. il suffit d'aller 2 décimales plus loin pour trouver la réponse

    je vais maintenant faire le lien avec les congruences dont parle danyvio.

    on a : 22/7=3.142857142857142857...

    tu peux remarquer que la 6é décimale est 7, mais aussi la 12éme, la 18éme, la 24éme...
    Pour généraliser, toutes les décimales de rang multiple de 6 sont 7.
    donc pour n donné, la décimale de rang 6n est 7

    de même les 1ere, 7eme, 13eme, 19eme etc... décimale sont toutes 1 :
    pour n donné, la décimale de rang 6n+1 est 1

    on peut continuer:
    la décimale de rang 6n+2 est 4
    la décimale de rang 6n+3 est 2
    la décimale de rang 6n+4 est 8
    la décimale de rang 6n+5 est 5

    on a : 2006=334*6+2 donc la 2006é décimale est de rang 6n+2 avec n=334

    voila je pense que tu as assez d'éléments pour comprendre et trouver la réponse.

    d'ailleurs pour voir si tu as compris, je te propose de trouver la 335é décimale de 2/13

    m@ch3

    PS: doublé par danyvio
    Never feed the troll after midnight!

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  17. #13
    hadjou

    Re : [1ère S] Et on y revient...22/7 !

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message

    d'ailleurs pour voir si tu as compris, je te propose de trouver la 335é décimale de 2/13
    Oui j'ai compris ! Merci à tous
    Et la 335ième décimale de 2/13 vaut 4 !

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