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ais je juste à mon exo??



  1. #1
    samfitger

    ais je juste à mon exo??


    ------

    bonjour
    voici le sujet suivant que j'ai traité
    j'aurais aimé savoir si j'ai tout juste

    on considère un point M sur le diamètre [AB] d'un cercle.
    il détermine 2 cercles de diamètres respectifs :
    [AM] et [MB]
    on pose AB = 4 et AM = x
    x étant un réel de [0;4]
    1)montrer que l'aire de A(x) de la surface coloriée est défini par A(x)=py/2 (-x²+4x)
    surface coloriée étant égale : aire du cercle de diamètre AB - ( aire du cercle de diamètre AM + aire du cercle de diamètre MB)

    2)déterminer la position de M pour laquelle A(x) est maximale.
    3)existe t-il un position de M pour laquelle A(x) soit strictement supérieure à la somme des aires des 2 disques de diamètre respectif [AM] et [MB]?
    4)déterminer les positions de M pour lesquelles A(x) est inférieure à la moitié de la somme des aires des 2 disques de diamètre respectif [AM] et [MB].
    mes reponses
    1) A'(x)=pi(x/2)² ; A"(x)=pi.(4-x)²/4 ; A"'(x)=pi.2²=4pi
    A(x)=A"'(x)-A'(x)-A"(x)
    =4pi - pi.x²/4 - pi.(4-x)²/4
    =pi[ 4 - x²/4 - (16-8x+x²)/4]
    =pi[-x²/2+2x]
    =pi/2[-x²+4x]


    2)Il faut étudier la fonction A(x) sur [0;4]
    A'(x)=pi/2(-2x+4)=pi(-x+2)
    A'(x)>0 <=> -x+2>0 <=> x<2
    A'(x)<0 <=> x>2

    Donc pour 0<x<2, A'(x)>0 et A croissante
    Et pour 2<x<4, A'(x)<0 et A décroissante

    La fonction A admet donc un maximum quand x=2, c'est à dire quand M est le milieu de [AB]


    3)On cherche x tel que A(x) > A'(x)+A"(x)
    pi/2(-x²+4x) > pi( x²/4) + pi[(4-x²)/2]²
    pi/2(-x²+4x) > pi( x²/4) + pi[(16-8x+x²)/4]
    pi/2(-x²+4x) > pi/4[x²+(16-8x+x²)]
    je peux diviser par pi ss changer le sens de l'inégalité
    <=> 1/2(-x²+4x) > 1/4(2x²-8x+16 )
    je * par 2
    (-x²+4x) > 1/2(2x²-8x+16 )
    (-x²+4x)> (x² -4x +8)
    0> 2x² -8x + 8
    0> (x-2)²
    C'est impossible car un carré est tjs positif ou nul.


    4)On cherche x tel que A(x) < 1/2(A'(x)+A"(x))
    pi/2(-x²+4x)< 1/2[ pi(x²+16-8x+x²)/2]
    pi/2(-x²+4x) < pi/8(2x²-8x+16)
    je peux diviser par pi sans changer le sens de l'inégalité
    1/2(-x²+4x) < 1/8(2x²-8x+16)
    4/8(-x²+4x) < 1/8(2x²-8x+16)
    je supprime le dénominateur (je divise par 8 nn?)
    j'obtiens:*
    4(-x²+4x) < 2x²-8x+16
    -6x²+24x-16 < 0
    -3x²+12x-8 < 0

    delta=(-12)²-4*3*8=48 > 0 -> 2 racines
    x1=(12-V48)/6=2-2V3/3 et x2=2+2V3/3

    Le trinôme est du signe de a=3 sauf entre les racines où il est du signe de -a.
    Donc si x appartient à [0,2-2V3/3]u[ 2+2V3/3;4], on a A(x) < 1/2(A'(x)+A"(x))

    merci d'avance

    -----

  2. #2
    kNz

    Re : ais je juste à mon exo??

    Salut,

    Ok pour la 1 et la 2.

    Citation Envoyé par samfitger Voir le message
    pi/2(-x²+4x) > pi( x²/4) + pi[(4-x²)/2]²
    Un truc bizarre, même si après tu retombes sur tes pieds.

    4)On cherche x tel que A(x) < 1/2(A'(x)+A"(x))
    pi/2(-x²+4x)< 1/2[ pi(x²+16-8x+x²)/2]
    Pareil, là c'est un 4 normalement.
    et pourquoi après :

    pi/2(-x²+4x) < pi/8(2x²-8x+16)
    tu retombes encore sur tes pieds ?


    1/2(-x²+4x) < 1/8(2x²-8x+16)
    4/8(-x²+4x) < 1/8(2x²-8x+16)
    Tu te compliques un peu la vie mais bon, soit
    Pour le reste c'est bon.

    A+

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