Nombres de chemins différents possibles ?

[shokin]

Salut,

j'ai le problème suivant en Kombinatorik :

Soit un rectangle que je divise en traçant en n droites verticales et k droites horizontales.

J'ai donc n+1 segments verticaux et k+1 segments horizontaux qui les croisent.

La question : calculer le nombre de chemins différents possibles d'un coin à un coin opposé, cela en suivant les côtés tracés et sans jamais reculer (sans jamais se rapprocher du point de départ).

[En gros, imaginez un quadrillage de dimension 2 et borné en ces deux dimensions de part et d'autres.]

La réponse, dans mon livre est (n+1+k+1)!/[(n+1)!(k+1)!].

Mais je n'ai aucune idée de comment y parvenir, ni même de comment aborder le problème sans cette solution.

Merci de vos réponses ! (et vivement que je comprenne comment résoudre ce problème !)

Shokin
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[Jeanpaul]

Ton problème est équivalent à se dire qu'à chaque mouvement (il y en a n+1+k+1), tu tires dans un sac où il y a n+1 boules où il y a écrit "à droite" et k+1 boules où il y a écrit "en bas"
combien de combinaisons possibles ?

[danyvio]

J'ai donc n+1 segments verticaux et k+1 segments horizontaux qui les croisent.

La notion de segment est très précise en géométrie. Qu"appelles-tu segment ? S'agit-il de morceaux de droites, auquel cas le nombre indiqué est bizarre, ou de "petits" rectangles ?

[danyvio]

Ma réponse précédente était prématurée, je n'avais pas interprété l'énoncé dans le fond mais dans la forme. Toutefois, pour être très précis, il faut préciser que le trajet est effectué sur les côtés tracés augmentés des côtés initiaux du rectangle . Dans ce cas, la solution du livre et donc celle proposée par Jean Paul sont bonnes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Merci pour vos réponses qui me permettent gentiment de parvenir à comprendre.

Ton problème est équivalent à se dire qu'à chaque mouvement (il y en a n+1+k+1), tu tires dans un sac où il y a n+1 boules où il y a écrit "à droite" et k+1 boules où il y a écrit "en bas"
combien de combinaisons possibles ?

Ah ! j'ai compris ! faut que j'en prenne note ! :

Après avoir effectué mon trajet, j'aurai obligatoirement effectué exactement (n+1) trajets "à droite" et (k+1) trajets "en bas", ni plus ni moins. Dès le moment où j'ai fait "s" trajets "à droite", il ne m'en reste plus que n+1-s.

Et dire que je m'étais compliqué la tête d'une manière qui me paraît, maintenant alors, comme "essayer de faire marcher la machine avec la prise débranchée". J'ai maintenant la conscience tranquille pour continuer les problèmes.

Merci donc beaucoup ! (et au prochain problème ! )

Shokin