Des nombres étranges!
Les nombres 1;11;111;1111; etc. sont des nombres que l'on appelle rep-units (répétitions de l'unité). Ils ne s'écrivent qu'avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de nombreuses propriétés qui passionnent des mathématiciens.
Cet exercice propose d'en découvrir quelques-unes.
Pour k, entier strictement positif, on note Nk le rep-unit qui s'écrit à l'aide de k chiffres 1.
Ainsi , N1=1; N2=11; N3=111 ...etc
1- Citer deux nombres premiers inférieurs à 10 n'apparaissant jamais dans la décomposition d'un rep-unit.
Justifier brièvement la réponse.
=> 2 et 5 pas de problème.
2- A quelle condition sur k le nombre 3 apparaît-il dans la décomposition du rep-unit ?
Justifier brièvement la réponse.
=>Si k est divisible par 3 pas de problème non plus.
3- Pour k superieur ou egal a 1, le rep-unit est défini par Nk=1+10+10²+.....+10^(n-1)
Justifier l'égalité: 9Nk= 10^k -1 pour tout entier k supérieur ou égal à 1.
=> J'ai réussi, pas de problème.
4- Le tableau ci-dessous donne les restes de la division par 7 de 10^k , pour k entier compris entre 1 et 8.
k 1 2 3 4 5 6 7 8
Reste de la division 3 2 6 4 5 1 3 2
de 10^k par 7
Soit k un entier strictement positif. Démontrer que:
" 10^kcongru 1 (mod7)" équivaut à "k est multiple de 6".
En déduire que 7 divise Nk si, et seulement si k est multiple de 6.
=> Alors la j'ai reussi a montrer un sens de l'equivalence.
J'ai montrer, si k multiple de 6 alors 10^kcongru 1 (mod7)
Pour montrer l'autre sens de l'equivalence, notre prof veut qu'on fasse par la contraposée, c'est la premiere fois qu'on fait ce gfenre de raisonnement, je sais aps trop comment m'y prendre, pourriez vous me lancer sur une piste ?
merci
-----