Barycentre DM

[invite36b4b9ef]

Bonjour , je suis en Première S , et depuis une semaine je planche sur mon DM que je n'arrive pas du tout à commencer =s

Je vous donne une partie de l'énoncé :

1) Démontrer que si M est un point du segment [AB], alors il existe deux réels positifs ou nuls a et b tels que M soit le barycentre de (A,a)et (B,b) .
2) Démontrer que si M est le barycentre de (A,a)et(B,b) avec a>(ou égal)0 et b>(ou égal)0 alors M est un point de [AB].
3)On M=bar[(A,a)(B,b)]. Peut - on affirmer que M n'appartient pas à [AB] si a<0 et b<0 ?
4) Conjecturer une condition sur a et b qui permet d'affirmer que M n'appartient pas à [AB] .


Je sais que si a et b >0 alors M € [AB] et que si a et b<0 M n'appartient pas à [AB] , mais je ne sais pas DU TOUT comment le démontrer !
J'attends une réponse au plus vite svp !
Merci
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[invitea3eb043e]

Attention : le barycentre des points [(A,a), (B,b)] est le même que celui des points [(A,-a), (B,-b)]
Ce qui est important,ce n'est pas le signe de a ou de b, mais le fait qu'ils ont ou pas le même signe.

[invite36b4b9ef]

Merci

Je pense avoir compris pour la question a) mais je ne sais pas très bien comment l'expliquer .
J'ai écrit :
Si M € [AB] alors ( vecteurs) aGA+bGB=0
donc AG=(b/a+b)AB
Pour que M € [AB], il faut que AG et AB ait le même sens , et que le vecteur AG<(b/a+b)AB ( donc b<a+b) . Pour cela , a et b doivent donc être deux réels positifs ou nuls .

J'aimerais savoir si cela est bien expliqué ? :s

[invitea3eb043e]

Il faut être très prudent quand on manipule des inégalités car les dénominateurs peuvent être négatifs et ça change le sens des inégalités.
Une astuce fulgurante pourrait être de dire : je puis multiplier a et b par ce que je veux sans que ça change le point G. Donc je puis imposer que a+b = 1.
Alors tout devient merveilleusement simple :
AG = b* AB
et on voit que b doit être compris entre 0 et 1, ce qui entraîne la même condition pour a car a+b=1

[A voir en vidéo sur Futura]