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Fonction quadratique - polynôme 2ème degré



  1. #1
    Yersinia

    Fonction quadratique - polynôme 2ème degré


    ------

    Bonjour!

    Je sais qu'il est possible d'obtenir la formule d'un polynôme du second degré via soit les deux zéros ainsi qu'un point quelconque, soit avec le sommet et un point quelconque. Est-il possible d'obtenir la formule avec 4 points seulement, aucun d'eux n'étant un zéro ou le sommet? Si oui, comment?

    Merci d'avance!

    -----

  2. #2
    Duke Alchemist

    Re : Fonction quadratique - polynôme 2ème degré

    Bonsoir et bienvenue.

    Les coordonnées de chacun de tes points doivent vérifier l'équation ax²+bx+c=0 et comme il n'y a que 3 inconnues (a, b et c), tu n'auras besoin que de trois points (et pas quatre).

    Après, c'est résolution d'un système de trois équations à trois inconnues

    Duke.

  3. #3
    Yersinia

    Re : Fonction quadratique - polynôme 2ème degré

    Mais encore?

    Comment fais-je pour trouver a, b , et c?

  4. #4
    Duke Alchemist

    Re : Fonction quadratique - polynôme 2ème degré

    soit la parabole d'équation y=ax²+bx+c dont tu veux déterminer les paramètres (a, b et c).
    Soient les points A(xA,yA), B(xB,yB) et C(xC,yC) qui appartiennent à cette parabole.

    Les coordonnées de A, de B et de C vérifient l'équation de la courbe. On a donc le système composé des trois équations suivantes :

    yA=axA²+bxA+c
    yB=axB²+bxB+c
    yC=axC²+bxC+c

    Il ne reste plus qu'à résoudre en a, b et c.
    Prends un exemple pour t'en convaincre ... et vérifie avec la calculatrice si tu veux.

    Duke.

    PS : Dans mon message précédent, il fallait lire :
    "...vérifier l'équation y=ax²+bx+c"

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    homotopie

    Re : Fonction quadratique - polynôme 2ème degré

    Bonjour,
    ou encore
    Soient A: (xa,ya) B: (xb,yb) C: (xc,yc) trois points qui appartiennent à la parabole. xa, xb et xc sont donc distincts.
    P1(x)=(x-xb)(x-xc)
    P2(x)=(x-xa)(x-xc)
    P3(x)=(x-xa)(x-xb)
    p(x)=k1p1(x)+k2p2(x)+k3p3(x).
    Avantage : k1,k2,k3 se calcule très facilement
    k1=ya/((xa-xb)(xa-xc)) car p(xa)=ya p2(xa)=p3(xa)=0
    formule similaire pour k2 et k3.
    Le développement n'est pas trop long.
    Au niveau calcul elle vaut l'autre (ça dépend les points) mais surtout elle montre de manière simple que le polynôme existe toujours (k1,k2,k3 existent toujours).

  7. #6
    Electrofred

    Re : Fonction quadratique - polynôme 2ème degré

    Bonjour,

    Je trouve que c'est interessant comme sujet et j'ai créé un programme (sur TI82) qui me calcule l'équation d'une parabole qui passe par les point A(xA,yA), B(xB,yB) et C(xC,yC).
    Si vous voulez, je peux vous passer les résultats que j'ai trouvé (la formule a= ..., b= ... et c= ...), apres y'a plus qu'a rentrer ca dans la calculatrice, et hop c'est partit.
    Je trouve ce genre de choses tres interessantes, et d'ailleurs j'ai essayé avec l'équation d'une droite:
    La droite (D) d'équation y=ax+b passe par les points A(xA;yA) et B(xB;yB).
    Et la, j'ai posé le systeme:
    yA=a*xA+b
    yB=a*xB+b
    Et j'ai retrouvé la fameuse formule du coeff directeur a=(yB-yA)/(xB-xA). Depuis l'année derniere je me demandais d'ou elle sortait.
    Je suis en train d'essayer de le faire pour les équations du troisieme degré (y=ax+bx²+cx+d) mais, j'ai essayé de resoudre un systeme a 4 équations 4 inconnues (avec un programme de calcul formel sur l'ordi, parce que vu la longueur de l'opération, ...) et j'ai trouvé 4 formules (une pour chaque inconnue) mais qui sont beaucoup plus longues (5 lignes par formules en écriture normale), et donc c'est assez long.

    Mais bon, si cela vous interesse mais que vous n'avez pas envie de faire tous les calculs, ... il y a dans la Ti82 un menu Stat qui fait ca tres bien tout seul (je m'en suis apercu juste apres avoir fini mon programme , mais bion c'était interessant a faire).

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