Résolution de x^3+px+q=0

[invitea250c65c]

Bonjour,

Alors voila, comme c'est les vacances, j'en profite pr faire ... des maths !!!
En fait c'est un petit probleme qui me trotte dans la tete et puis j'ai cherché sur internet mais j'ai pas tt compris.
Dans un bouquin d'exercices corigés de maths (1ereS), il y avait un exercice qui consistait a résoudre:
x+px+q=0
On nous proposait une méthode en posant x=u+v et on obtenait un systeme ... mais je n'ai pas tout compris.
En fait je comprends l'idée, mais je ne vois pas cmt on trouve le systeme:

{u+v=-q
{uv=-p/3

Et je ne vois pas cmt a partir de ca on peut affirmer que x=u+v est solution de l'équation.

Existe-t-il d'autres moyens pour résoudre ce genre d'équations (je sais qu'on peut le faire avec les nbs complexes, mais je n'ai pas encore vu ca en cours)?


Merci d'avanc et bonnes fetes à tous.
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[Nox]

Bonjour,

même si je suis un peu fatigué je trouve l'énoncé bizarre : comment une équation peut-elle équivalente à un système ? Peut-être y a-t-il une condition sur u et v autere que u+v=x ? Et pour le coup des complexes je suis pas sûr que ce soit si évident que ça même en ayant fait le cours.. Même si tu recherches les formes solutions sous forme complexe, résoudre une équation du troisième degré n'est pas simple dans le cas général (pour cela il existe d'azutres méthodes genre cardan il me semble...)

Cordialement,

Nox

[invitea250c65c]

Bnjr,

En effet, j'ai oublié de preciser plusieurs choses.
J'ai fait qq recherches et j'ai trouvé ca sur internet:

Donnons la méthode de Cardan avec les notations usuelles sans distinguer les différences dues aux signes des coefficients comme le faisait Cardan.
On sait que l'on peut se ramener par translation à une équation de la forme :

x3+px+q=0

1°) On pose x=u+v et on impose la condition 3uv=-p car
x3+px+q = (u+v)3 + p(u+v) + q = 0 soit u3+v3+(u+v)(3uv+p)+p=0
d'où avec la condition, u3+v3+p=0

2°) On obtient donc le système : u3+v3=-p et u3v3 = -p3/27

3°) On pose U=u3 et V = v3 soit U+V=-q et UV=-p3/27
Donc U et V sont solutions de l'équation X²+qX-p3/27 = 0 (somme et produit de racines... x²-Sx+q=0....)
D'où, le carré du discriminant est D² = q²-4p3/27
et on a par exemple U= (-q + D )/2 et U= (-q - D)/2

Cardan termine la résolution ici en donnant comme unique solution x= 3√U + 3√V ...!!!!!

4°) Pour nous cela pose évidement problème.

Euler lui traite les racines cubiques et trouve les 2 autres solutions.
Si U=u3 alors les autres racines cubiques de U sont ju et j²u auxquelles correspondent -p/(3ju) et -p/(3j²u) ( puisque 3uv=-p).

Les solutions de l'équations sont donc : u+v, ju+j²v et j²u+jv


La méthode utilisée dans l'exercice corrigé ressemble a celle-ci, et je n'ai pas tout compris, dc si qqcn pouvait m'éclaircir ...
En fait je n'aurai besoin de trouver qu'une seule racine, enfin si j'en trouve plus tant mieux mais comme on est dans le cas d'un polynome de degré 3, si je trouve une racine , cela signifie que le polynome est factorisable par x-, j'obtiens un Q(x) ou Q(x) est un polynome de degré 2 et puis je trouve facilement les autres racines (si elles existent).


Merci d'avance.

[invitefc60305c]

La méthode de Cardan est largement hors programme en 1er S.
Oui il faut utiliser le "théorème de la racine" pour factoriser.
Pour cela il faut trouver une racine évidente (au pif )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bruno]

J'avait également pensé à utliser ce théorême mais je tombe sur de loooongs calculs

[invitea250c65c]

Bnsr et merci,

en fait j'ai trouvé ca dans un livre d'exercices corrigés (de 1ereS) ca a été donné en exercice a Louis le Grand apparemment.
Donc dans cet exercice, à un moment on était amené a resoudre une équation du type:
x+px+q=0 (1)
On nous guide le long de l'exercice, on nous dit:
"Soit =u+v
Démontrer que est solution de l'équation si et seulement si
(u+v+q)+(u+v)(3uv+p)=0
Démontrer que si le couple (u,v) est solution du systeme:
u+v=-q
uv=-(1/3)p
Alors =u+v est solution de l'équation (1)

Et puis apres il y a une application numérique avec l'équation x+24x+56=0."


Donc je voulais partir de cet exercice pour généraliser ce cas ...
J'ai réessayé mais en résolvant le systeme, mais ds certains cas, j'arrive a une équation de degré 2, et la je trouve un <0, et donc pas de solution, alors que l'équation en admet (je le vois en tracant la courbe sur la calculatrice).
En fait si le couple (u,v) est solution du systeme, alors u+v est solution de l'équation 1, mais l'inverse n'est pas vrai (si u+v est solution de l'équation, alors le couple (u,v) n'est pas forcement solution du systeme).

Donc je ne suis pas tres au point sur cette méthode, même si je comprends a peu pres le principe, et puis je voudrais approfondir un peu, le troisieme je trouve ca tres interessant.

Merci d'avance.

[invite4fe60f70]

Salut,

http://homeomath.imingo.net/equa31.htm

Et pour un exemple concret, il ne faut pas se prendre la tête:
http://homeomath.imingo.net/equa33.htm

Il s'agit d'une simple application de cours avec x^2-Sx+P=0 et là on est dans le programme de première.

Joyeux noël.