logarithme: comment "prouver"??

[invite256b3bd3]

Bonjour !!

J'aurais aimé savoir comment doit t on rédiger pour "prouver l'existence d'un réel unique". On utilise le théorème des valeurs intermédiaires, mais dans ce cas je ne sais pas comment rédiger.
Soit h(x)=lnx/x
On me demande de prouver l'existence d'un réél unique a de l'intervalle ]1;e[, et d'un réél unique b sur ]e;+ [ tels que h(a)=h(b)=l avec l un réel sur ]0;1/e[.
Lorsqu'on fait le tableau de variation de cette fonction on voit bien qu'il y a 2 solutions a et b qui sont solutions de h(x)=l. Mais je ne sais pas comment rédiger une telle réponse sans donner la valeur des solutions, puisque je répondrait à une autre question. Il s'agit ici seulment de "prouver".

Merci de m'éclairer
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[invite256b3bd3]

le couple (a,b) cité plus haut est solution de x^y=y^x (E)

on considère la fonction s qui à tout réel a de l'intervalle ]1;e[ associe l'unique réel b de l'intervalle ]e;+ [ tels que h(a)=h(b)

Je comprends bien qu'il s'agit de nous guider vers les solutions de (E) mais cela me gène ourquoi nous parler d'un fonction s ??

surtout qu'après on me demande de trouver da limite de cette fonction s lorque que a tend vers e par valeurs inférieures et vers 1 par valeurs supérieures.
Si déjà je ne comprends pas ce qu'est la fonction s et à quoi elle sert, je ne vais pas aller bien loin????

[doryphore]

Relis dans ta leçon quelles doivent être les conditions pour appliquer le th des valeurs intermédiares.
Vérifie que dans ton problème elles sont vérifiées et indique-le, puis indique que tu applique le théorème (cite le si ça fait plaisir à ta prof) puis indique la conclusion...

[invite256b3bd3]

Ah merci ! c'est tout? je pensais qu'il fallait faire plus!
et comment m'expliquez vous le rôle de la fonction s tel que h(a)=h(b) ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

Le théorèmes des valeurs intermédiaires te donne uniquement pour chaque l appartenant à ]0,1/e[ l'existence d'exactement 2 nombres a et b, a appartenant à I1 et b appartenant à I2 tels h(a)=h(b)=l.

En passant si h(a)=h(b) tu trouves b ln(a) = a ln (b), ce qui peut être intéressant par la suite...
Ce que tu sais sur a et b te permet de définir une fonction s de I1 (ouvert) sur I2 (ouvert).
En faisant tendre s vers les bornes, cela te permet d'étendre son intervalle de définition par continuité...

[invite256b3bd3]

oulala!! je m'embrouille si je comprends bien on a la fonction s définie sur ]1;+infini[?? mais vous dites"cela te permet d'étendre son intervalle de définition par continuité..." la fonction s est donc continue parceque h est continue?

peut on utiliser bln(a) ou aln(b) pour déterminer les limites de la fonctions s? je suis un peu perdue, comment veulent ils qu'on trouve les limites en e et en 1 de la fonction s? s n'est pas rélement définie pourtant, à moins que quelque chose m'echappe?

[doryphore]

s est définie de ]1;e[ sur ]e;+ infini[ par la donnée d'une infinité de couple (a,b) tels que s(a)=b.
Une fois a choisi dans ]1;e[, on lui associe l'unique nombre b tel que h(a)=h(b).
Comme à chaque nombre a de ]1;e[ il existe une unique image b de ]e, + infini[, s est bien une application de ]1,e[ dans ]e,+ infini[. On dit improprement qu'elle est bien définie.

[invite256b3bd3]

très bien, je comprend mieux. s est une fonction composée alors? ou du moins fait partie d'une composée de fonctions? je confond peut être intervalle de définition et intervalle image,non?
mais alors pour trouver les liites de s en e et en 1 je regarde le comportement de la fonction h(x)=lnx/x? puisque s(a)=b tels que h(a)=h(b)
cet exercice me retourne le cerveau, il a l'air si simple d'aspect, mais il m'embrouille l'esprit!!!

[doryphore]

En fait, la fonction s est très particulière, définie comme elle a été définie, il est clair que s est une bijection de ]1;e[ dans ]e,+ infini[ et comme c'est une application bijective d'un intervalle de R dans un intervalle de R, s est strictement monotone sur ]1;e[, ce qui facilite le travail.

[invite256b3bd3]

effectivement si elle est strictement monotone on pe plus facilement appliquer le theoreme des valeurs intermédiares...bien que je ne pense pas pouvoir l'utiliser pour trouver les limites de s car s(a)=b tend toujours vers une constante, quel que soit la valeur de a, non?

[doryphore]

Tu n'as plus à utiliser le th des valeurs intermédiares, c'est lui qui t'a permis de définir la fonction s.
Soit , et l=h(a), il existe un unique nombre dépendant de a tel que h(b)=l=h(a).
On note b=s(a).
Comme on fait ça pour tous les nombres a dans ]1;e[, on a créé une fonction s définie sur ]1;e[ et en plus c'est une bijection, (je ne sais pas si c'est à ton programme)
et on a déjà x ln (s(x))=s(x) ln x pôur tout x dans ]1;e[ et donc en passant à l'exponentielle,
s(x)^x=x^s(x).
Si on essaie de prolonger par continuité s en 1 et en e, c'est pour voir si on ne pourrait pas trouver deux couples de nouveaux éléments tesl que x^y=y^x.

[invite256b3bd3]

Ah d'accord !! bah dites donc, j'ai eu du mal à cerner cette fonction s !! merci bien maintenant je comprend mieux comment je dois trouver ces limites. J'utilise s(x)^x ou x^s(x).. je vais le travailler ce soir !!
Et je connais le terme bijection, je n'avais pas très bien compris ce que c'était auparavant,mais vous m'avez bien expliqué merci !!

Je vais essayer de comprendre désormais comment trouver la limite de s en e et en 1. Bonne soirée, à demain !

[invite2642195b]

petit up

que le monde est petit hahahaha...

[invite256b3bd3]

Bonsoir,
j'ai donc refléchis au problème des limites pour cette fameuse fonction s. Mais auparavant j'ai essayer de trouver un couple de solution de (E)x^y=y^x
a appartient à ]1;e[ et on doit chercher des couples d'entiers, donc dans cet intervalle il n'y a que 2 comme réel entier. Donc dans (E) cela donne 2^b=b²

et cela ne peut être que 4 l'image de 2 dans l'intervalle ]e;+infini[ car c'est solution de (E)

[invite256b3bd3]

si je continu mon résonnement h(x)=lnx/x et h(a)=h(b)
donc avec ce couple (2;4) on a 4ln2=2ln4=2,77.. ce réel appartiene bien à ]0;1/e[ comme le voulais la définition de la fonction s

cependant je suis passée un peu trop vite sur l'exercice qui me demande de trouver les limites de s:
- quand a tend vers 1 par valeurs supérieures
- quand a tend vers e par valeurs inférieures

Et ceci par lecture graphique

J'ai donc entré la fonction h(x)=lnx/x sur ma calculette.
Quand a tend vers 1, h tend vers moins l'infini
Quand a tend vers e, h tend vers 0
Mais je pense qu'on doit atendre autre chose, parce qu'aprés on nous demande de déterminer les variations de la fonction s , mais on connait déjà les variations de h...alors je ne vois pas l'intéret de la questin?? A moins biensûr que je n'utilise pas correctement h??
qu'en pensez vous?

[doryphore]

Je pense que tu dois montrer que h(2)=h(4) plutôt que de trouver une valeur approché de 4 ln(2)

[invite256b3bd3]

très bien je vais essayer de démontrer ça!

[invite256b3bd3]

avec h(x)=lnx/x et h(a)=h(b) si on prend a=2

on a : h(2)=h(b)
ln(2)/2=ln(b)/b
bln(2)=2ln(b)
... je vais encore réfléchir, je pense que ne m'y prend pas bien!

[invite256b3bd3]

j'ai fait les variatons de la fonction s et voici ce que j'obtiens avec un petit dessin (cf fichier joint)

On voit bien que le seul couple solution de (E) x^y=y^x est (2;4). Mais à part avec ce dessin, je ne trouve pas par le calcul cette solution. De plus je ne trouve aucun autre couple d'entier solution de (E) !?

Est ce normal, alors qu'on me demande de déterminer les couples d'entiers solutions de (E)?

[doryphore]

Et bien, 2 ln(4)= 2 ln(2²)= 2* 2 ln(2)=4 ln 2 sonc en passant à l'exponentielle,

4²=2^4