Factorisation

[invite40955be5]

Bonjour à tous, j'ai besoin de votre aide. Mon prof de math avait l'expression la au tableau x³-8 et il a reussi à transformer cette expression en (x-2).(x²+2x+4). Comment à t-il proceder svp?
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[invite9c9b9968]

Bonjour,

Quel est la factorisation de a³-b³ ?

[invitefc60305c]

De manière générale.
Soit ax^3 + bx² + cx + d.
Si k est une racine du polynome ci dessus, c'est-à-dire qu'il est solution de l'équation ax^3 + bx² + cx + d = 0.
On peut factoriser par (x-k).
Donc on a (x-k)(...). Mais à quoi correspond ... ?
Il faut qu'en développant (x-k)(...) tu trouves ton polynome du 3e degré. C'est donc que (...) est du 2nd degré.

Avec ton exemple.
Trouve une seule racine du polynome: x^3 - 8 = 0
Une solution évidente est 2.
Donc on peut factoriser par (x-2).
On a : (x-2)(ax²+bx+c).
On développe: ax3 + bx² + cx - 2ax² - 2bx - 2c.
On ordonne le tout : ax3 + (b-2a)x² + (c-2b)x - 2c
Dans x3 - 8, on a :
a = 1 car il y a 1*x3.
b = 0 car il y a 0*x².
c = 0 car il y a 0*x.
d = -8.
On identifie :
a = 1.
b - 2a = 0 donc b = 2.
c - 2b = 0 donc c = 4.
Ce qui nous donne : (x-2)(x²+2x+4).

C'est clair ou pas ?

[invite40955be5]

ok merci beaucoup c'est clair maintenant.

[A voir en vidéo sur Futura]