x-1+ln(x)>0 pour x> ?

[invite0fadfa80]

Salut,
j'ai une dérivée de fonction = (x-1+ln(x))/x²
j'aimerais savoir pr quelles valeurs le numerateur est positif.
x-1+ln(x)>0
x+ln(x)>1
x>e^(1-x)
mais voilà pas très avancé tout ça.
Peut on mexpliquer.
Merci
-----

[Calvert]

Salut!

Une approche pour montrer que ton numérateur (appelons-le g(x) pour plus de simplicité)



est de se demander:

Comment se comporte g(x) (est-il croissant, décroissant sur l'intervalle considéré?)
Connaissant une valeur simple à calculer de g(x) et son comportement, que peut-on conclure?

[manimal]

Salut YABON
x-1+ln(x)>0
<=> ln(exp(x))+ln(x)>1
<=> ln(x(exp(x))>1
<=> x(exp(x))>????
Tu n as plus qu à trouver le reste
Cordialement

[hubhub]

moi j'utiliserai le fait que ln(x) soit négatif entre 0 et 1 ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0fadfa80]

Salut YABON
x-1+ln(x)>0
<=> ln(exp(x))+ln(x)>1
<=> ln(x(exp(x))>1
<=> x(exp(x))>????
Tu n as plus qu à trouver le reste
Cordialement

le reste : x(exp(x))>e mais sa m'avance pas trop, il faudrait trouver une valeur précise de x.

moi j'utiliserai le fait que ln(x) soit négatif entre 0 et 1 ....

Oui, mais ça je vois pas comment cela me permettrait de trouver le signe du numerateur entier.

Comment se comporte g(x) (est-il croissant, décroissant sur l'intervalle considéré?)
Connaissant une valeur simple à calculer de g(x) et son comportement, que peut-on conclure?

Pour ça il faudrait deriver ma dérivée, je l'ai fait et on trouve une dérivée assez complexe donc ça m'étonnerait.

Je me demande si on peut résoudre cette inéquation en fait. Merci

[inviteb53c3bd2]

Je me demande si on peut résoudre cette inéquation en fait. Merci

Tu veux résoudre x-1+ln(x)>0....je crois bien que c'est solvable ça.
Tu étudies le signe de x-1+ln(x) suivant que x soit dans ]0,1] puis dans ]1,+linfini[

[hubhub]

yabon, c`est facile, reflechis !

[Calvert]

Pour ça il faudrait deriver ma dérivée, je l'ai fait et on trouve une dérivée assez complexe donc ça m'étonnerait.

Non, il te suffit de dériver x - 1 + ln(x) (et ça, ce n'est pas difficile). Tu t'apercevras facilement que cette dérivée est toujours positive pour x > 0 (qui est en fait le domaine de définition de ton numérateur, à cause du ln).

Ensuite, tu peux facilement trouver un point x₀ où x - 1 + ln(x) s'annule.

Comme x - 1 + ln(x) est strictement croissante sur son domaine de définition, tu peux conclure que ton numérateur est négatif pour x < x₀ et positif pour x > x₀.

[invite0fadfa80]

Ouai le mieux c'est de dériver la dérivée pr montrer que mon numerateur est tjs croissant et montrer qu'il s'annule pour x=1 donc que pr x<1 ma fonction décroit et pr x>1 elle croit.
Merci pour tout

[hubhub]

mais non!!!!!!

puisque ln(x) est toujours négative entre 0 et 1, ton numérateur est toujours négatif entre 0 et 1.
Et puisque ln(x) est toujours positive pour x>1, ton numérateur est toujours positif!
Arretez de vouloir calculer des dérivées!!!

[invite0fadfa80]

mais non!!!!!!

puisque ln(x) est toujours négative entre 0 et 1, ton numérateur est toujours négatif entre 0 et 1.
Et puisque ln(x) est toujours positive pour x>1, ton numérateur est toujours positif!
Arretez de vouloir calculer des dérivées!!!

Si je comprends bien ce que tu veux me dire, pour toi :
x-1+ln(x)<0 entre 0 et 1 car ln(x)<0 entre 0 et 1.
et x-1+ln(x)>0 pour x>1 car alors ln(x) positif.
Si c'est bien ce que tu veux dire, alors j'ai le regret de t'annoncer que c'est faux : t'en fais quoi de ton x-1 ? Apres c'est fort possible que je t'ai mal compris.

[manimal]

Salut YABON
pour x>1 x-1>0 tu n as pas encore compris que ta solution est pour x>1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Je te l ai indiqué aupâravant
Cordialement

[invite0fadfa80]

Salut YABON
pour x>1 x-1>0 tu n as pas encore compris que ta solution est pour x>1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Je te l ai indiqué aupâravant
Cordialement

on cherche une solution ds ]0; + infini[ pas dans ]1; +infini[. Je vois pas ce que tu veux dire

[hubhub]

ouaaaaaah!
reprenons les bases:
x-1 pour x appartenant à [0;1] est ? ... négatif.
x-1 pour x>1 est ? ... positif.
lnx pour x appartenant à [0;1] est négatif
lnx pour x>1 est positif
ok?