Exercice de DM 1ère S (attention niveau averti, dur, dur)

[invitefbf1f680]

Alors voilà j'ai planché des heures sur ce problème et je n'arrive pas à le résoudre. C'est la première fois en fait que j'ai du mal à faire un exercice de maths, et je commence à paniquer d'autant plus que l'heure de le rendre s'approche dangereusement :



Un cône a pour hauteur H et pour rayon de base R (R et H donnés).
Pour quelle valeur de r le volume du cylindre est-il maximal?

1) Indication: montrer d'abord que le volume du cylindre peut s'écrire: pi r²H - pi r³ H/R

Alors le volume du cylindre : pi r²h donc h = H- pi r³ H/R mais comment montrer tout cela !

On m'a dit de partir du volume du cône =1/3 pi R³H mais cela n'a rien donné.

On m'a également conseillé de trouver une relation entre r et h en trouvant l'équation de la droite passant par le sommet du cône et l'extremité de la droite du rayon ce qui m'a donné h= -H/R . r (-H tous les R, et le point (r,h) € à cette droite et le centre du cerle est l'origine). Si h = -H/R r + H alors le volume du cylindre s'écrit alors H -pi r³ H/R ce qui correspond à une partie de ce qu'il faut trouver, mais ce n'est pas cela, donc c'est totalement faux .

Et oui, cela fait depuis 1 semaine que je cherche la solution, j'ai passé des heures et des heures.

2) La seconde partie est plus simple, j'arrive à me débrouiller il suffit de dériver pi r²H - pi r³ H/R pour étudier le signe de la fonction et voir le maximum, mais juste une chose la dérivé de u-v c'est bien u'-v' ?

3) Qu'est ce que cela veut dire R et H donnés ?

Merci sincèrement pour l'aide que vous m'apporterez.
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Simple suggestion (je n'ai pas fait l'exo moi-même, je regarde de plus près et j'en reparle): fais un dessin en coupe, le cône devient un triangle et le cylindre un rectangle, ça te donne h en fonction de r.
Pour le reste: oui, la dérivée de u-v est bien u'-v', comme celle de u+v est u'+v'.
Et R et H donnés, ça veut juste dire que ce sont des paramètres du problème. Dans un cas concret on te donnerait leurs valeurs numériques.

-- françois

EDIT: ça y est j'ai refait les calculs, tu t'es juste un peu planté , moi j'ai (R-r)/h = R/H, d'où le résultat. Le reste est facile.

[invite4793db90]

Salut,

1) Il suffit en effet d'appliquer le théorème de Thalès dans les triangles homothétiques formés par une arête du cône et son axe : . Le reste s'en déroule sans difficulté.

2) Oui.

3) L'expression « R et H donnés » siginifie que R et H sont des grandeurs fixées (constantes), bien qu'arbitraires.

Cordialement.

[invitefbf1f680]

Très bien, je vous remercie vraiment pour votre aide je pense qu'à présent j'ai tout ce qu'il me faut pour le réussir; merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefbf1f680]

Petite vérification avant de recopier j'ai toujours peur de faire une faute et si c'est le cas

f(r) = pi.r².H - pi.r³.H/R.
f'(r) = 2.pi.r.H - 3.pi.r².H/R. = (pi.r)(2.H-3.r.H/R)

= 0 --> -- > 2R-3r= 0 --> r =

Donc f(r) croissante de 0 à 2R/3 et donc le maximum de f(r) c'est r=2R/3

Est-ce bien cela ? Merci

[invitefbf1f680]

Personne ne peut confirmer mes résultats ?

[pephy]

si!
c'est bien çà

[invitefbf1f680]

ok merci
finalement il se fait tout seul cette exercice

merci encore