Bonjour à tous,

J'aurais besoin de votre aide pour une question d'un exo de spé :

On travaille sur la transformation f du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle que z' = iz/2 + (1-3i)/2

On prend M0 le point d'affixe z0 = 1 + 4 (racine de 3) + 3i

Pour tout entier naturel n, le point Mn+1 est défini par Mn+1=f(Mn)

Dans les premières questions j'ai entre autre montré que :
-f est une similitude de rapport 1/2, d'angle PI/2 et de centre OMEGA d'affixe 1-i
-La distance OMEGA-Mn vaut 2^(3-n) (ou 8/2^n)
-M0M1 + M1M2 + ... + MnMn+1 = 4 (racine de 5) * (2-2^(1-n))
-La limite de la somme précédente en +inf est 8 (racine de 5)

Et voici la dernière question :

Pour tout entier naturel n non nul, on note Gn l'isobarycentre des points M0, M1, M2,..., Mn

Montrez que pour tout entier n strictement positif, la distance OMEGA-Gn est inférieure ou égale à 16/(n+1)

Je pense que cette question est indépendante des précédentes (elles l'étaient toutes entre elles) mais je vous ai quand même donné ce que j'ai trouvé avant au cas ou. Il y avait aussi d'autres questions mais qui ne servaient qu'à trouver les résultats précédents donc je ne vous les donne pas. Il me semble quand même qu'il y ait un lien avec la distance OMEGA-Mn (du moins j'étais parti sur cette piste de recherche...)

En espérant que vous pourrez m'aider,
Merci beaucoup