Suite 1er S

[invite28040579]

Salut,
Ben je me suis bloqué sur un exo, j'ai déjà essayer maintes moyens mais en vain, alors voilà l'énoncé:

Considérons la suite (U_n) n appartient à N* tel que:
U_n =
Démontrez que por tout n appartient à N* : U_n<3

Je pense qu'il faut démontrer par récurrence ça.
Ben, Je veux que vous me donnez qq idices pr arriver à résoudre..
Merci en avance.
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[kNz]

Ben, Je veux que vous me donnez qq idices pr arriver à résoudre..

Nous on veut que tu nous dises ce que tu as essayé de faire.

[invite28040579]

Bon, j'ai essayé par récurrence:
1er étape U₁=(1+(1/1))=2<3
Donc P(1) est vrai
2eme étape: il faut montrer que: quelque soit n appartient à N*: U_n<3 ==> U_n+1<3
On n'a quelque soit n appartient à N*: U_n+1= U_n*(1+(1/(n+1)^3))= (U_n(((n+1)^3)+1))/(n+1)^3
et on a si quelque soit n appartient à N*: U_n+1<3 <==> (U_n(((n+1)^3)+1))/(n+1)^3<3 <==> U_n< (3*(n+1)^3)/(((n+1)^3)+1)
Et puis qu'on a quelque soit n appartient à N*: ((n+1)^3)/(((n+1)^3)+1) <1
donc quelque soit n appartient à N*: U_n<3
Et ça est vrai suivons la supposition de la récurrence
donc P(n+1) est vrai
et alors d'apres le principe de récurrence on a: quelque soit n appartient à N*: U_n<3

ce raisonnement est vrai logiquement, mais au réalité j'ai rien démontrer car on quelque soit n appartient à N*: U_n< U_n+1
et puisque j'ai supposé que U_n+1<3 c'est automatiquement que U_n<3

Ben voilà un parmi les moyens que j'ai trouvé mais qui sont fausses.

Alors??

N.B: dsl pr l'écriture, je sais pas comment faire pour écrire des signes mathématiques et les fractions... dsl

[invite62415c82]

Bonsoir,

Pour faire une récurrence il faut suivre plusieurs étapes:

1.Vérification de la propriété au premier rang
2. La supposer vraie A UN RANG n DE IN.
3. Démontrer que U(n+1) <3 en utilisant ton hypothèse.
4. Conclure que la propriété est vraie pour tt n de IN.

Simplement, lorsque tu défini Un, je ne vois pas la relation avec n, ? Tu ne peux pas faire l'exo. sans qu'il n'y ait de RELATION justement entre Un et n.


Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite28040579]

Oui je sais les étape de la démonstration par récurrence, et pr la relation j'ai déjà posé ben là voilà encore:

U_n =
ou simplement U_n=

Ben voilà, alors??

[Gloubiscrapule]

Salut,

J'ai un peu réfléchi, par récurence je pense pas qu'on arrive à quelques chose, on peut pas montrer que Un+1<3 en sachant que Un+1 = Un*(1+1/(n+1)) et en supposant Un<3 car le facteur 1+1/(n+1) est positif et supérieur à 1.

Moi j'opterai plutot pour la limite à l'infini de la suite, car on sait que Un est croissante et que le premier terme est inférieur à 3 (U1=2), donc si on trouve que la limite en l'infini vaut 3 on pourra dire que Un est inférieur à 3 quelque soit n. Seulement je bloque pour trouver la limite en l'infini. Faudrait développer tous ces produits, en trouvant une formule générale puis aprés faire la limite, mais elle serait bien compliqué avec des combinaisons p parmi n etc, qu'on ne voit pas encore en 1ère S...

[invite28040579]

Merci de me répondre. Bon, j'ai essayé avant avec limite de Un mais j'ai pas fait grand chose comme t'a dit je ss encore au 1er S, mais vous pensez pas qu'il y'a une autre méthode??

[Gloubiscrapule]

Bon finalement j'ai laissé tomber la limite, trop compliqué...
Et je reviens sur la récurence, si on suppose que Un < 3 jusqu'à un rang n suffisament grand, on peut considérer que 1+1/(n+1)^3 = [(n+1)^3 +1]/((n+1)^3) et est à peu prés égal à 1 si n est grand donc Un+1 à peu prés égal à Un, donc Un+1 < 3, et donc voila la récurence pour tout n.
M'enfin je peux pas en dire plus désolé, c'est peut être pas trés rigoureux...

[invite28040579]

Merci pr vos efforts, ça va m'aider sans doute. Merci encore

[invitec053041c]

J'avais pensé pendant 2s donner un coup de ln là dessus, et majorer
mais pas de primitive évidente
Dommage!

[invite28040579]

j'ai rien compris, on n'a pas encore fait ça

[invitec053041c]

N'y fais pas gaffe, c'était un petit emportement personnel