Equation de courbe

[invite00a2025a]

Bonjour à tous, voila j'ai un énoncé qui dit :

Soit f la fonction définie sur R par
f(x)= (4x+2) / (2x²+2x+1) et C sa courbe représentative dans la plan muni du repère orthonormal (O,i,j) On se propose de démontrer que C admet le point I de coordonnées (-1/2, 0) comme centre de symétrie.

1) Déterminer une équation de C dans le repère (I,i,j)

Mais la c'est le trou noir, je ne sais pas comment calculer l'équation de la courbe, si vous pouviez me donner des pistes ou des méthodes ça serait sympa!

Merci d'avance
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[invitea250c65c]

Bnsr,

Alors en fait il faut faire un changement de repère: l'idée c'est de se placer dans le repere (I,i,j) et tu montres que la fonction est impaire dans ce repere, cad qu'elle admet l'origine, donc ici I, comme centre de symétrie.
Alors voila comment je fais:

Soit M un point quelconque de Cf.
Dans le repère (O,i,j), M(x;y).
Dans le repère (I,i,j), M(X;Y).
Il faut donc exprimer x et y en fonction de X et Y pour pouvoir trouver l''équation de la courbe dans le nouveau repère.
Tu as la relation vectorielle (il y a des fleches normalement au dessus) suivante:
IM=IO+OM (relation de Chasles)
Soit IM=-OI+OM
IM (vecteur) correspond aux coordonnées de M dans (I,i,j) (car I est l'origine du repre), et OM aux coordonnées de M dans (O,i,j).
Donc tu as IM=-OI+OM
Soit Xi+Yj=(1/2)i+xi+yj (i et j aussi en vecteurs, ce sont les vecteurs unitaires des reperes).
Soit x=X-1/2 et y=Y.
Tu as maintenant la correspondance entre les deux reperes.
Donc, dans (O,i,j), tu as y=(4x+2)/(2x²+2x+1) , donc pour avoir ca en fonction de X et Y, cad les coordonnées dans (I,i,j), tu remplaces y par Y et x par X-1/2. Tu trouves ta nouvelle fonction. J'ai fait le calcul et je trouve Y=(4X)/(2X²+(1/2)).
Que peux tu dire de la parité de cette fonction? Que peux tu en deduire pour le point I?

Voila, je ne sais pas si j'ai été tres clair, n'hésite pas à demander si tu n'as pas compris.

Bonne chance a+

[invite00a2025a]

D'accord merci mais le problème c'est que ma leçon en liaison avec cet exercie est l'exploitation des fonctions, les fonctions dérivées, si vous trouvez une solution a partir de cette référence et si vous pourriez m'aider ça serait très gentil de votre part! Merci de votre patience

[invitea250c65c]

Bonjour,

Si j'ai bien compris tu cherches le lien entre ta lecon (étude de fonctions) et l'exo.
Bah quand tu fais cet exo, j'immagine que ce n'est pas la seule question qui t'es posée. On te demande surement de déterminer l'ensemble de définition de ta fonction,sa dérivée, d'en déduire les variations de f sur Df, de trouver les limites aux bornes de l'ensemble de définition, de déterminer des eventuelles asymptotes ... et puis de démontrer que I est centre de symétrie. En fait c'est pour le tracé de ta courbe que ca t'aide, dans le repere (I,i,j) tu traces Cf sur [0;+inf[ puis tu completes par symétrie axiale de centre I sur ]-inf;0] par exemple.

C'est bien ca que tu voulais savoir?

Sinon je ne vois pas d'autres méthodes pour prouver que I est centre de symétrie de ta courbe, tu as celle la, tu peux montrer que Cf est la translatée d'une courbe de fonction de référence impaire (u(x)=1/x ... )par une transaltion de vecteur ai+bj, dc que le centre de symétrie est translaté aussi, mais ca n'a pas l'air d'etre le cas ici, ou bien tu montres que pour I(a;b) (f(a+h)+f(a-h))/2=b, mais comme ici on te demande de toute facon de trouver une équation de Cf dans (I,i,j), c'est comme ca qu'il faut faire je pense.

En esperant avoir repondu a ta question.

a+

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