Problème équation trigonométrique

[invite0255a0c1]

Bonjour à tous,
J'éprouve quelques difficultés à résoudre l'équation trigonométrique suivante:


Je tente tout d'abord de factoriser:



Et là, je bloque... je ne vois rien qui puisse se simplifier

Voilà, je demande votre aide

Merci.
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[invite1228b4d5]

tu utilise les formules de trigo qui transforme un cosinus en un sinus ou l'inverse. à la fin tu trouvera une equation avec soit que des cosinus soit que des sinus. Ce qui est plus facilement resolvable.
Le tout c'est de jouer avec les formules de trigo !!
d'ailleur j'ai l'impression que tu t'est trompé !!!
regarde les formules de trigo. et re essaye http://perso.orange.fr/gilles.costan...s/formtrig.pdf

[inviteba9bce0d]

Avec les formules d'addition et de duplication tu devrait avoir tous ce qu'il faut normalement

[invite9c9b9968]

Ça me paraît très bourrin comme équation...

Il faut utiliser les formules sur le sinus, le cosinus et la tangente, faire bien attention à chaque fois sur les conditions de simplification, etc etc ...

A la fin d'un des cas on tombe sur un polynôme du troisième degré à résoudre...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0255a0c1]

Ça me paraît très bourrin comme équation...

J'y peux rien ^^ c'est l'un des exercices de l'examen d'admission à l'ULB (Belgique) de l'année passée.

Sinon, merci pour votre aide, je vais voir ce que je peux faire

[invite0255a0c1]

d'ailleur j'ai l'impression que tu t'est trompé !!!

Ha bon? Où ça?
S'il s'agit de la première factorisation, j'ai utiliser les formules de Simpsons:

[invitee3b6517d]

Bonsoir,

2 solutions triviales qui sont : 0 et Pi/2.

Après il faut travailler, c'est pas si dur.

Bonne soirée

[invite35452583]

Bonsoir,

2 solutions triviales qui sont : 0 et Pi/2.

Après il faut travailler, c'est pas si dur.

Bonne soirée

Manquent peut-être les "modulos" (surtout que ce ne sont pas les mêmes pour les deux familles de solutions)

Indices :
le "1" se "marie" mal avec les sinus mais très bien avec les cosinus=>grouper -1 et -cos(2x)
Ceci permet une même factorisation de chaque côté de l'équation, l'autre facteur de chaque côté passe aussi aux formules de Simpson, ceci permet une nouvelle factorisation.
On regroupe tout dans un même membre on obtient un produit de trois facteurs dont deux simples et une somme (par chance dont on connaît les racines sans avoir besoin de factoriser, ça soulage)
On obtient trois familles de solutions mais dont une est complètement incluse dans une autre.

[invite0255a0c1]

le "1" se "marie" mal avec les sinus mais très bien avec les cosinus=>grouper -1 et -cos(2x)
Ceci permet une même factorisation de chaque côté de l'équation, l'autre facteur de chaque côté passe aussi aux formules de Simpson, ceci permet une nouvelle factorisation.
On regroupe tout dans un même membre on obtient un produit de trois facteurs dont deux simples et une somme (par chance dont on connaît les racines sans avoir besoin de factoriser, ça soulage)
On obtient trois familles de solutions mais dont une est complètement incluse dans une autre.

Merci beaucoup de ton aide, je crois être parvenu à la solution.

Donc, j'ai fait comme précédemment, mais j'ai regroupé -1 et -cos(2x), ce qui donne -2cos²(x)



J'applique la formule de duplication à sin(2x) de sorte à pouvoir factoriser par cos(x)




Je peux à nouveau factoriser avec la formule de Simpson


Donc, j'arrive bien à un produit de 3 facteurs dont une somme!! (ben quoi... je suis content c'est tout)
Donc, 3 familles de solutions:
1:

2:


3:


l'un des deux solutions est impossible et il nous reste:
ce qui équivaut à la première solution



Voilà, j'espère que c'est juste

Sinon, je vous remercie pour votre précieuse aide

[invite0255a0c1]

Oups, je viens de remarquer une petite erreur, à la 2ème solution
2:

C'est

[invite35452583]

D'abord bravo.
Ensuite il reste un petit problème même si, ici, ça ne change pas l'ensemble des solutions (mais avec un autre problème cela pourrait en être autrement)

3:


l'un des deux solutions est impossible et il nous reste:
ce qui équivaut à la première solution

On obtient plutôt :

D'où non pas + 2
mais
et +4
D'où 2 (et non pas )
L'ensemble de ces solutions est strictement compris dans l'ensemble des solutions du "type" 1).
L'ensemble de solutions est bien celui donné au dernier post.

[invite0255a0c1]

D'où non pas + 2
mais
et +4
D'où 2 (et non pas )

Ha exact, j'ai voulu allez vite et j'ai ajouté le après avoir simplifié. :?

Merci pour la remarque

[invite9c9b9968]

On pouvait aussi le faire par la tangente pour le troisième cas