Problème équation trigonométrique

inviteb6131860 · 17/08/2006, 17h34

Voila, je suis en pleine période d'étude pour mon exam de repêchage en mathématiques, et j'ai pour travail de corriger le bilan qui m'a été donné en juin...

Mais la je bloque carrément sur une bête équation de trigo...

Voila la bête indomptable pour mes petits méninges:

2 sin² x + sin² (2x) = 2

D'avance merci de m'aider...

**invite4793db90** · 17/08/2006, 17h41

Salut et bienvenue,

développe le sin(2x) en utilisant les formules de duplication...

Cordialement.

inviteb6131860 · 17/08/2006, 17h44

je suis d'accord, sin (2x) = 2 sin x . cos x

mais êtes-vous certains que l'on puisse le faire avec des sin² ?

Edit: merci pour votre réponse si rapide

**invite4793db90** · 17/08/2006, 17h47

Envoyé par Benzai

je suis d'accord, sin (2x) = 2 sin x . cos x

mais êtes-vous certains que l'on puisse le faire avec des sin² ?

Souviens-toi que $\text{[math]}$ ...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteb6131860 · 17/08/2006, 17h57

donc j'aurais:

2 (sin x)² + (2 sin x . cos x)² = 1?

Mais en développant, je tombe sur :

-2 sin^4 x = 2

Ca ne veut plus rien dire... erreur de calcul?

PS: j'ai utilisé la relation cos² x + sin² x = 1 quand je suis tombé sur: 2 (sin x)² . (1 + cos² x)

inviteb6131860 · 17/08/2006, 18h18

je suis retombé sur mes pattes, maintenant je ne suis pas sur d'être juste...

2 sin² x + sin² (2x) = 2
2 (sin x)² + (2 sin x + cos x)² = 2
2 sin²x + 4 sin² x + cos² x = 2
2 sin ² + 4 sin² x + 1 - sin² x = 2
5 sin² x = 1
5 sin² x -1 = 0

POSER y = sin x

5y² - 1 = 0

Rho = 0 + 20 => 2 racines

y1 = rad(20)/10 et y2 = - rad(20)/10

et puis tableau de signe

**invite4793db90** · 17/08/2006, 18h19

2 (sin x)² + (2 sin x + cos x)² = 2

Pas d'accord avec ça.

inviteb6131860 · 17/08/2006, 18h22

je ne vois vraiment, mais alors vraiment pas...

si sin² x = (sin x)², alors pourquoi ce n'est pas bon? :'(

invite965db33f · 17/08/2006, 18h28

ce n'est pas bon parce que tu te trompes en recopiant :

$\text{[math]}$

et puis par un hasard quelconque à la deuxième ligne tu remplaces par :

$\text{[math]}$ ouais c'est pas un logarithme on passe pas de l'addition à la multiplication comme ça ^^ !

inviteb6131860 · 17/08/2006, 18h30

je n'y comprends plus rien, encore moins qu'avant, ca m'énerve...

j'essaye une autre méthode

merci quand même

invite965db33f · 17/08/2006, 18h47

Allez ne te désespère pas, ce ne sont que des erreurs de calculs, c'est chiant la trigo, je détaille rien tiens :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

En développant tu dois te rappeler d'une astuce qui t'as été apprise en classe, et tu pourras avancer !

invite8e9bfb01 · 17/08/2006, 19h56

Envoyé par Benzai

donc j'aurais:

2 (sin x)² + (2 sin x . cos x)² = 1?

Mais en développant, je tombe sur :

-2 sin^4 x = 2

Ca ne veut plus rien dire... erreur de calcul?

PS: j'ai utilisé la relation cos² x + sin² x = 1 quand je suis tombé sur: 2 (sin x)² . (1 + cos² x)

2 (sin x)² + (2 sin x . cos x)² = 2
2 sin²x + 4 sin²x . cos²x = 2
2 sin²x + 4 sin²x (1 - sin²x) = 2
2 sin²x + 4 sin²x - 4 sin⁴x = 2
- 4 sin⁴x + 6 sin²x - 2 = 0
- 2 sin⁴x + 3 sin²x - 1 = 0

Le reste de la solution se fait aisément...

invitea7fcfc37 · 17/08/2006, 20h05

Envoyé par hbenalia

2 (sin x)² + (2 sin x . cos x)² = 2
2 sin²x + 4 sin²x . cos²x = 2
2 sin²x + 4 sin²x (1 - sin²x) = 2
2 sin²x + 4 sin²x - 4 sin⁴x = 2
- 4 sin⁴x + 6 sin²x - 2 = 0
- 2 sin⁴x + 3 sin²x - 1 = 0

Le reste de la solution se fait aisément...

C'est ptet pas la peine d'en rajouter, en ligne de calcul et en phrase démoralisante, si il n'y arrive pas, ça n'aide personne..

invite965db33f · 17/08/2006, 20h31

Peut-être pas la peine de dramatiser non plus... rien de démoralisant...
par contre j'avais déjà maché une bonne partie du travail, si tout le monde rajoute sa petite pierre à chaque fois j'ai bien peur que la solution ne soit plus trouvée par Benzai.

invitea7fcfc37 · 17/08/2006, 22h02

Envoyé par Tbop

par contre j'avais déjà maché une bonne partie du travail, si tout le monde rajoute sa petite pierre à chaque fois j'ai bien peur que la solution ne soit plus trouvée par Benzai.

C'est ce que j'voulais faire remarquer...

invite6f25a1fe · 17/08/2006, 23h44

Envoyé par kNz

C'est ptet pas la peine d'en rajouter, en ligne de calcul [...], si il n'y arrive pas, ça n'aide personne..

Je suis entièrement d'accord. Mais c'est sûr que le calcul en général est difficile si on n'a pas de méthode : il faut donc chercher ce qui nous gène (par exemple ici le sin(2x) ) chercher les solutions qui nous permettent de lever cette gène (utiliser sin(2x)=2cos(x)sin(x) par exemple), et surtout, essayer de voir, de sentir, vers quoi on essaye d'aboutir (un produit de termes nul, une équation du second degré etc...bref, quelque chose que l'on sait résoudre). Essaye aussi de simplifier au plus tes calculs. Par exemple, hbenalia et Tbop sont arriver à 2sin²(x)+ 4 sin²(x ).cos²(x) = 2. Pourquoi ne pas simplifier par 2, surtout qu'on verra apparaitre ...(il y a moyen de fortement simplifier l'équation, beaucoup plus que ce qu'on a proposé jusque la, mais je te laisse chercher). Et puis enfin, n'oubli pas de vérifier tes résultats. En tout cas ne désepère pas, reprend cet exercice à tête reposée et tu devrais y arriver.

invite965db33f · 18/08/2006, 11h26

Scorp on est pas là pour donner la réponse, moi j'ai juste rectifié son erreur de calcul, la simplification par 2 ( que d'ailleurs hbenalia a fait ) doit venir de benzai et non de nous.

Oui plus simple surement, j'ai aucune compétence en calcul trigonometrique... par contre si benzai ne se décide pas à revenir nous donner sa solution je ne vais pas résister plus longtemps pour la trouver moi-même ( en toute intimité bien sur

)

invite6f25a1fe · 18/08/2006, 12h16

Je suis entièrment d'accord, ce n'est pas à nous de donner le résultat. D'ailleurs j'ai le résultat qui après vérification à l'air bon (mais bon, je suis pas un pro du calcul non plus, il me manque peut etre des solutions ?), mais je préfère comme toi le laisser réfléchir un peu. En fait, je faisais remarquer que ca serait bien que Benzai nous explique ce qui le gène dans cet exercice pour qu'on puisse vraiment l'aider sur ce point spécifique ou il bloque et non juste donner des lignes de calcul, surtout que le calcul est plutôt personnel, chacun à sa facon de faire. Donc j'ai essayé de lui montrer comment on aborde un calcul de manière général. Mais c'est sur que s'il ne revient pas sur le forum, ca ne va pas avancer cette affaire là.

inviteb6131860 · 18/08/2006, 14h25

Bonjour tout le monde,

j'ai laissé tombé hier, et j'ai repris aujourd'hui...

j'ai compris, je faisais une bête erreur de calcul, mais merci à hbenalia, sans qui je ne l'aurais peut-être jamais trouvée...

je poursuit donc son raisonnement:

- 2 sin^4 x + 3 sin² x - 1 = 0

La, je pose y= sin² x

-2 y² + 3 y -1 = 0

Rho = 9-8 = 1 -> 1 racine

y = -(-3+1)/4 = 1/2

D'où sin² x = 1/2

sin x = 1/rad(2)

D'où x = {45°;135°} + k.360°

Juste?

invitea7fcfc37 · 18/08/2006, 14h33

Salut,

Pourquoi une seule racine ?? C'est quand ton Rho vaut 0 que tu n'as qu'une solution, reprends ton calcul

A+

inviteb6131860 · 18/08/2006, 14h35

Tu as entièrement raison, je veux aller trop vite ...

de puis, quand je passe de sin²x = 1/2 à sin x, ce dernier peut valoir + ou - rad(1/2)

Edit: Solutions finals : {35°,90°,135°} + k.180°

invitea7fcfc37 · 18/08/2006, 15h46

Non prends ton temps.

Tu as finalement deux solutions à ton équation du second degré.

Ce qui t'amène à sin²x = y₁ ou sin²x = y₂

Pour le premier, tu as $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

Tu fais pareil avec le deuxième, poste le détail de tes calculs, ce sera plus simple.

A+

invite965db33f · 18/08/2006, 19h04

Moi des solutions j'en ai 4.

invite965db33f · 18/08/2006, 19h12

PS : 8 pardon mal compté

invitea7fcfc37 · 18/08/2006, 19h20

T'as dû vraiment mal compté pour confondre 4 et 8

Moi j'en ai 4

invite965db33f · 18/08/2006, 21h47

Ouais c'est à cause de ma façon d'écrire nan j'en ai bien 4 aussi -___- !

invite6f25a1fe · 19/08/2006, 01h22

De quelle manière vous comptez vos solutions ? : quand tu dis 4 solutions, c'est dans l'intervalle $\text{[math]}$ ?
En tout cas, moi j'obtiens deux solutions, la première étant à pi près et la seconde à pi/2 près. Dans l'intervalle $\text{[math]}$ , j'ai donc 6 solutions. Oula, je sens que j'ai fait une boulette moi aussi dans mes calculs

Pourtant j'ai vérifié mes résultats ??? je suis perdu

invite6f25a1fe · 19/08/2006, 01h39

Après calcul en utilisant votre méthode avec l'équation du second degré, j'obtient également 6 solutions.
Pour moi, il y a donc bien 6 solutions distinctes dans l'intervalle $\text{[math]}$ et non 4 ou 8.

invite965db33f · 19/08/2006, 11h20

Ah bon moi j'arrive à :

soit $\text{[math]}$ --> $\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$ --> $\text{[math]}$

invite965db33f · 19/08/2006, 11h26

ouais dans l'intervalle $\text{[math]}$ il y en a bien 6, moi je comptais dans $\text{[math]}$

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