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Problème équation trigonométrique



  1. #1
    Benzai

    Problème équation trigonométrique

    Voila, je suis en pleine période d'étude pour mon exam de repêchage en mathématiques, et j'ai pour travail de corriger le bilan qui m'a été donné en juin...

    Mais la je bloque carrément sur une bête équation de trigo...

    Voila la bête indomptable pour mes petits méninges:

    2 sin² x + sin² (2x) = 2

    D'avance merci de m'aider...

    -----


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  3. #2
    martini_bird

    Re : Problème équation trigonométrique

    Salut et bienvenue,

    développe le sin(2x) en utilisant les formules de duplication...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    Benzai

    Re : Problème équation trigonométrique

    je suis d'accord, sin (2x) = 2 sin x . cos x

    mais êtes-vous certains que l'on puisse le faire avec des sin² ?

    Edit: merci pour votre réponse si rapide

  5. #4
    martini_bird

    Re : Problème équation trigonométrique

    Citation Envoyé par Benzai Voir le message
    je suis d'accord, sin (2x) = 2 sin x . cos x

    mais êtes-vous certains que l'on puisse le faire avec des sin² ?
    Souviens-toi que ...
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  6. #5
    Benzai

    Re : Problème équation trigonométrique

    donc j'aurais:

    2 (sin x)² + (2 sin x . cos x)² = 1?

    Mais en développant, je tombe sur :

    -2 sin^4 x = 2

    Ca ne veut plus rien dire... erreur de calcul?

    PS: j'ai utilisé la relation cos² x + sin² x = 1 quand je suis tombé sur: 2 (sin x)² . (1 + cos² x)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Benzai

    Re : Problème équation trigonométrique

    je suis retombé sur mes pattes, maintenant je ne suis pas sur d'être juste...

    2 sin² x + sin² (2x) = 2
    2 (sin x)² + (2 sin x + cos x)² = 2
    2 sin²x + 4 sin² x + cos² x = 2
    2 sin ² + 4 sin² x + 1 - sin² x = 2
    5 sin² x = 1
    5 sin² x -1 = 0

    POSER y = sin x

    5y² - 1 = 0

    Rho = 0 + 20 => 2 racines

    y1 = rad(20)/10 et y2 = - rad(20)/10

    et puis tableau de signe

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  10. #7
    martini_bird

    Re : Problème équation trigonométrique

    2 (sin x)² + (2 sin x + cos x)² = 2
    Pas d'accord avec ça.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  11. #8
    Benzai

    Re : Problème équation trigonométrique

    je ne vois vraiment, mais alors vraiment pas...

    si sin² x = (sin x)², alors pourquoi ce n'est pas bon? :'(

  12. #9
    Tbop

    Arrow Re : Problème équation trigonométrique

    ce n'est pas bon parce que tu te trompes en recopiant :



    et puis par un hasard quelconque à la deuxième ligne tu remplaces par :

    ouais c'est pas un logarithme on passe pas de l'addition à la multiplication comme ça ^^ !

  13. #10
    Benzai

    Re : Problème équation trigonométrique

    je n'y comprends plus rien, encore moins qu'avant, ca m'énerve...

    j'essaye une autre méthode

    merci quand même

  14. #11
    Tbop

    Exclamation Re : Problème équation trigonométrique

    Allez ne te désespère pas, ce ne sont que des erreurs de calculs, c'est chiant la trigo, je détaille rien tiens :





    En développant tu dois te rappeler d'une astuce qui t'as été apprise en classe, et tu pourras avancer !

  15. #12
    hbenalia

    Re : Problème équation trigonométrique

    Citation Envoyé par Benzai Voir le message
    donc j'aurais:

    2 (sin x)² + (2 sin x . cos x)² = 1?

    Mais en développant, je tombe sur :

    -2 sin^4 x = 2

    Ca ne veut plus rien dire... erreur de calcul?

    PS: j'ai utilisé la relation cos² x + sin² x = 1 quand je suis tombé sur: 2 (sin x)² . (1 + cos² x)

    2 (sin x)² + (2 sin x . cos x)² = 2
    2 sin²x + 4 sin²x . cos²x = 2
    2 sin²x + 4 sin²x (1 - sin²x) = 2
    2 sin2x + 4 sin2x - 4 sin4x = 2
    - 4 sin4x + 6 sin2x - 2 = 0
    - 2 sin4x + 3 sin2x - 1 = 0

    Le reste de la solution se fait aisément...
    Dernière modification par hbenalia ; 17/08/2006 à 19h00.

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  17. #13
    kNz

    Re : Problème équation trigonométrique

    Citation Envoyé par hbenalia Voir le message
    2 (sin x)² + (2 sin x . cos x)² = 2
    2 sin²x + 4 sin²x . cos²x = 2
    2 sin²x + 4 sin²x (1 - sin²x) = 2
    2 sin2x + 4 sin2x - 4 sin4x = 2
    - 4 sin4x + 6 sin2x - 2 = 0
    - 2 sin4x + 3 sin2x - 1 = 0

    Le reste de la solution se fait aisément...
    C'est ptet pas la peine d'en rajouter, en ligne de calcul et en phrase démoralisante, si il n'y arrive pas, ça n'aide personne..

  18. #14
    Tbop

    Unhappy Re : Problème équation trigonométrique

    Peut-être pas la peine de dramatiser non plus... rien de démoralisant...
    par contre j'avais déjà maché une bonne partie du travail, si tout le monde rajoute sa petite pierre à chaque fois j'ai bien peur que la solution ne soit plus trouvée par Benzai.

  19. #15
    kNz

    Re : Problème équation trigonométrique

    Citation Envoyé par Tbop Voir le message
    par contre j'avais déjà maché une bonne partie du travail, si tout le monde rajoute sa petite pierre à chaque fois j'ai bien peur que la solution ne soit plus trouvée par Benzai.
    C'est ce que j'voulais faire remarquer...

  20. #16
    Scorp

    Re : Problème équation trigonométrique

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    C'est ptet pas la peine d'en rajouter, en ligne de calcul [...], si il n'y arrive pas, ça n'aide personne..
    Je suis entièrement d'accord. Mais c'est sûr que le calcul en général est difficile si on n'a pas de méthode : il faut donc chercher ce qui nous gène (par exemple ici le sin(2x) ) chercher les solutions qui nous permettent de lever cette gène (utiliser sin(2x)=2cos(x)sin(x) par exemple), et surtout, essayer de voir, de sentir, vers quoi on essaye d'aboutir (un produit de termes nul, une équation du second degré etc...bref, quelque chose que l'on sait résoudre). Essaye aussi de simplifier au plus tes calculs. Par exemple, hbenalia et Tbop sont arriver à 2sin²(x)+ 4 sin²(x ).cos²(x) = 2. Pourquoi ne pas simplifier par 2, surtout qu'on verra apparaitre ...(il y a moyen de fortement simplifier l'équation, beaucoup plus que ce qu'on a proposé jusque la, mais je te laisse chercher). Et puis enfin, n'oubli pas de vérifier tes résultats. En tout cas ne désepère pas, reprend cet exercice à tête reposée et tu devrais y arriver.

  21. #17
    Tbop

    Re : Problème équation trigonométrique

    Scorp on est pas là pour donner la réponse, moi j'ai juste rectifié son erreur de calcul, la simplification par 2 ( que d'ailleurs hbenalia a fait ) doit venir de benzai et non de nous.

    Oui plus simple surement, j'ai aucune compétence en calcul trigonometrique... par contre si benzai ne se décide pas à revenir nous donner sa solution je ne vais pas résister plus longtemps pour la trouver moi-même ( en toute intimité bien sur )

  22. #18
    Scorp

    Re : Problème équation trigonométrique

    Je suis entièrment d'accord, ce n'est pas à nous de donner le résultat. D'ailleurs j'ai le résultat qui après vérification à l'air bon (mais bon, je suis pas un pro du calcul non plus, il me manque peut etre des solutions ?), mais je préfère comme toi le laisser réfléchir un peu. En fait, je faisais remarquer que ca serait bien que Benzai nous explique ce qui le gène dans cet exercice pour qu'on puisse vraiment l'aider sur ce point spécifique ou il bloque et non juste donner des lignes de calcul, surtout que le calcul est plutôt personnel, chacun à sa facon de faire. Donc j'ai essayé de lui montrer comment on aborde un calcul de manière général. Mais c'est sur que s'il ne revient pas sur le forum, ca ne va pas avancer cette affaire là.

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  24. #19
    Benzai

    Re : Problème équation trigonométrique

    Bonjour tout le monde,

    j'ai laissé tombé hier, et j'ai repris aujourd'hui...

    j'ai compris, je faisais une bête erreur de calcul, mais merci à hbenalia, sans qui je ne l'aurais peut-être jamais trouvée...

    je poursuit donc son raisonnement:

    - 2 sin^4 x + 3 sin² x - 1 = 0

    La, je pose y= sin² x

    -2 y² + 3 y -1 = 0

    Rho = 9-8 = 1 -> 1 racine

    y = -(-3+1)/4 = 1/2

    D'où sin² x = 1/2

    sin x = 1/rad(2)

    D'où x = {45°;135°} + k.360°

    Juste?

  25. #20
    kNz

    Re : Problème équation trigonométrique

    Salut,

    Pourquoi une seule racine ?? C'est quand ton Rho vaut 0 que tu n'as qu'une solution, reprends ton calcul

    A+

  26. #21
    Benzai

    Re : Problème équation trigonométrique

    Tu as entièrement raison, je veux aller trop vite ...

    de puis, quand je passe de sin²x = 1/2 à sin x, ce dernier peut valoir + ou - rad(1/2)

    Edit: Solutions finals : {35°,90°,135°} + k.180°

  27. #22
    kNz

    Re : Problème équation trigonométrique

    Non prends ton temps.

    Tu as finalement deux solutions à ton équation du second degré.

    Ce qui t'amène à sin²x = y1 ou sin²x = y2

    Pour le premier, tu as ou .

    Tu fais pareil avec le deuxième, poste le détail de tes calculs, ce sera plus simple.

    A+

  28. #23
    Tbop

    Re : Problème équation trigonométrique

    Moi des solutions j'en ai 4.

  29. #24
    Tbop

    Re : Problème équation trigonométrique

    PS : 8 pardon mal compté

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  31. #25
    kNz

    Re : Problème équation trigonométrique

    T'as dû vraiment mal compté pour confondre 4 et 8

    Moi j'en ai 4

  32. #26
    Tbop

    Re : Problème équation trigonométrique

    Ouais c'est à cause de ma façon d'écrire nan j'en ai bien 4 aussi -___- !

  33. #27
    Scorp

    Re : Problème équation trigonométrique

    De quelle manière vous comptez vos solutions ? : quand tu dis 4 solutions, c'est dans l'intervalle ?
    En tout cas, moi j'obtiens deux solutions, la première étant à pi près et la seconde à pi/2 près. Dans l'intervalle , j'ai donc 6 solutions. Oula, je sens que j'ai fait une boulette moi aussi dans mes calculs
    Pourtant j'ai vérifié mes résultats ??? je suis perdu

  34. #28
    Scorp

    Re : Problème équation trigonométrique

    Après calcul en utilisant votre méthode avec l'équation du second degré, j'obtient également 6 solutions.
    Pour moi, il y a donc bien 6 solutions distinctes dans l'intervalle et non 4 ou 8.

  35. #29
    Tbop

    Re : Problème équation trigonométrique

    Ah bon moi j'arrive à :

    soit -->

    Soit -->

  36. #30
    Tbop

    Re : Problème équation trigonométrique

    ouais dans l'intervalle il y en a bien 6, moi je comptais dans

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