[1ereS+++] Axe de symétrie commun

[FonKy-]

Bonjour,
dans l'optique de donner des cours à un futur terminale, je fais les exos 3 étoiles du bouquin de cours que l'on trouve à la fin de chaque chapitre, malheureusement je bloque sur un des exos dans le chapitre: Comportement asymptotique. Etudes de fonctions.

L'exercice est le suivant:

Prouver que, dans un repere orthonormal, toutes les courbes Cm () d'équation ont un axe de symétrie commun.

Merci de votre aide car alors la je n'ai aucune idée hormis un éventuel changement de repere, mais par rotation je sais plus comment on fait
Si la réponse est toute bete veuillez me lancer maximum 3 pierres par personne je suis fragile

Cordialement, FonKy-
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[invitec053041c]

A vue de nez (tracé de courbes hein ), je dirais une symétrie par rapport à la première bissectrice.Je vais manger ,peut-être que ça va m'inspirer.
En gros, il faudrait montrer qu'elles sont leurs propres réciproques.

[FonKy-]

A vrai dire, si tu prend m=0, tu te retrouve avec la fonction , soit la fonction inverse qui n'a que 2 axes de symétries qui sont les bissectrices (heu je crois )

NB: JoYeUx AnNiVeRsAiRe Ledescast

[invitec053041c]

Donc , donc la fonction est symétrique par rapport à la première bbissectrice y=x .

NB: JoYeUx AnNiVeRsAiRe Ledescast

Merci .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Bonjour !
Par la symétrie d'axe y=x, on a : (x,y)->(y,x)
On a : y=(mx-3m+4)/(4x-1)
Remplaxe x par y, y par x et verifie que ton équation reste inchangée pour tout m (et que donc la courbe définie par cette équation est inchangée par cette symétrie !)

[invitebb921944]

J'ai essayé de poser y=ax+b et de résoudre pour trouver a=1 et b=0 mais ca a pas trop abouti

[invitec053041c]

J'ai essayé de poser y=ax+b et de résoudre pour trouver a=1 et b=0 mais ca a pas trop abouti

Il n'y a rien à résoudre...
Il faut trouver la fonction réciproque comme je l'ai fait deux posts avant, et remarquer qu'elle est la même.

Cordialement.

[invitebb921944]

Certes mais le jour ou l'axe de symétrie ne sera pas y=x, il faudra réfléchir un peu plus...

[invitec053041c]

Certes mais le jour ou l'axe de symétrie ne sera pas y=x, il faudra réfléchir un peu plus...

Oui, mais là c'est un exercice de 1ère, faut pas sortir l'artillerie lourde .

[FonKy-]

Merci beaucoup.
Moi aussi j'ai voulu montrer un axe de symétrie autre que bissectrice, admettons que ce ne soit pas celle si, est-tu sur ganash que c la bonne méthode ? parceque je vois mal comment tu t'en sort en posant y=ax+b, je vois mal a quoi ca peut mener, si vous avez des pistes sur le sujet.
Par exemple il me semble que la seconde bissectrice est aussi axe de symétrie, comment le démontrer, encore que la doit y avoir moyen de se ramener comme au 1er cas, dans tous les cas la solution m'interresse.

Merci, FonKy-

[invitec053041c]

J'ai tracé 2 courbes, et il est clair que la seconde bissectrice n'est pas axe de symétrie .

[invitebb921944]

C'est bon
Prenons tout simplement
(exemple simple)
On cherche y=ax+b axe de symétrie, cette axe transforme en !

On remplace dans l'équation y et x :





On identifie avec la première équation :
ab=1
a-b+b²=1
a=1
b-1=0
Donc a=1 et b=1
L'axe de symétrie a pour équation y=x+1

[invitec053041c]

J'ai fait un petit dessin, et il y a un truc comme ça:
La seconde bissectrice est axe de symétrie ssi: y=f(x) <=> x=-f(y)

[FonKy-]

J'ai tracé 2 courbes, et il est clair que la seconde bissectrice n'est pas axe de symétrie .

Tu es sur de toi ?? logiquement si la premiere l'est ,ca implique que la seconde aussi, mais la logique est parfois mauvaise

[invitec053041c]

Regarde avec m=3.
Il est clair que la courbe n'est pas symétrique par rapport à y=-x .
La preuve,la seconde bissectrice coupe un seul morceau de l'hyberbole en 2 points...

[Nox]

Tu es sur de toi ?? logiquement si la premiere l'est ,ca implique que la seconde aussi, mais la logique est parfois mauvaise

Bonjour,

Tu pourrais détailler ton raisonnement stp ? parce que la je vois pas ...

Cordialement,

Nox

PS Bon anniiv' Ledescat !

[invitec053041c]

Merci beaucoup Nox .

[FonKy-]

ah non mais moi j'ai tracer pour m=0 et m=1 a la calcu, et j'y voyai rien ><
il me semblait que pour m=1 ca semblait etre un grossissement de m=0 qui est en fait y=4/x qui elle possede deux axes de symétrie qui sont les bissectrices.. c'est la ou je voulais en venir Mon raisonnement était juste que la premiere bissectrice était un axe de symétrie, or pour f=1/x f(-x)=-f(x) d'ou la seconde bissectrice est aussi axe de sym .. mais c'est de la logique ELOIGNEE C'est juste une visualisation faite au niveau de mon cerveau =D

Cordialement, FonKy-

[invitec053041c]

D'accord, mais ça n'est pas une symétrie partagée par toute la famille des {f(x)=(mx-3m+4)/(x-m)|m appartenant à IR}.

[FonKy-]

J'ai quand meme du mal a comprendre la methode globale :/ Comment se fait-il qu'on arrive a ce resultat
Peut-on envisager une parabole symétrique ?

[invitec053041c]

J'ai quand meme du mal a comprendre la methode globale :/

Tente la méthode syllabique
Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

[FonKy-]

On cherche y=ax+b axe de symétrie, cette axe transforme en !

Ca ! comment on pense à ca et pourquoi ca donne le bon resultat, quel est le lien géometrico-analytique (). C'est pas trivial je trouve, on l'a vu au lycee ?

FonKy-

[invitec053041c]

Ben c'est pas très compliqué:
y=ax+b
d'où y=ax+b et x=(y-b)/a

Après tu regardes s'il y a des invariances en fonction de m etc...
Mais là c'est de l'artillerie lourde car en première, ça dépasse rarement la 1ère bissectrice.

EDIT:tout compte fait ça me paraît curieux, car ce sont les coordonnées de points sur la droite. Faut y réfléchir ^^

[Nox]

Bonjour !

En fait je pense que c'est assez compliqué, surtout pour un première ... Mais bon comme des post-bac passent régulièrement par ici (n'est-ce pas Ledescat ?), je me lance quand même (la géomètrie n'est pas vraiment mon truc donc il est possible que je me plante totalement)
Alors on recherche une symétrie éventuelle par rapport à la droite d'équation y=ax+b. On note le point de la courbe considéré. Pour moi il faut essayer de caractériser le point symétrique de par rapport à la droite y=ax+b (symétrie orthogonale) et vérifier qu'il appartient à la courbe. Caractérisons un tel point.
Alors un vecteur directeur de la droite y=ax+b est (1;a). Cherchons l'équation de la prependiculaire à passant par . Soit M(X,Y) un point de cette droite notée .
On cherche les coordonnées du point d'intersection de et . Puis on utilise le fait que ce point est le milieu de avec le symétrique recherché. Et on regarde si ce point appartient à la courbe ou non.

Désolé je n'ai pas le temps de détailler plus mon idée.

Cordialement,

Nox

[invitec053041c]

Oui voilà, si j'avais la motivation j'aurais fait quelque chose comme ça.
Quoique ça irait sûrement plus vite de passer par une matrice orthogonale de réflexion .

[Gabriel]

, donc la fonction est symétrique par rapport à la première bbissectrice y=x

Si je prend y = Log (x) , x = exp(y) , y(-1)(x) # y(x) et pourtant ces 2 fonctions sont symétriques par rapport à la 1ère bissectrice ?

[invitec053041c]

Si je prend y = Log (x) , x = exp(y) , y(-1)(x) # y(x) et pourtant ces 2 fonctions sont symétriques par rapport à la 1ère bissectrice ?

Le signifie que f est sa propre réciproque ,donc que cette fonction est symétrique par rapport à la première bissectrice.( comme la fonction x->1/x par exemple)
x->exp(x) n'est pas sa propre réciproque , c'est pour cela qu'elle ne possède pas cette symétrie (mais il est évident que sa réciproque ln lui sera symétrique, mais c'est une autre fonction)

[FonKy-]

Si je prend y = Log (x) , x = exp(y) , y(-1)(x) # y(x) et pourtant ces 2 fonctions sont symétriques par rapport à la 1ère bissectrice ?

log ou ln ?

[invitec053041c]

log ou ln ?

Il y a une histoire de majuscule...Log ou log, l'une des deux représente la néperienne.
Mais bon on l'a compris c'est le principal .

[FonKy-]

Oki merci Nox, la je comprend mieux comment on a pu arriver a ce resultat, et je suppose ensuite qu'on retrouve ((y-a)/a,ax+b). Tres bien, mais je continu a dire que poser ceci directement comme tu l'a fait releve du génie , car géométriquement j'avais beaucoup de mal a le visualiser mais ca doit peut etre personnel. Donc j'en conclue que soit tu t'es rappelé une méthode vue auparavant soit . Apres les calculs de ta démonstration sont gentillets, il était inutile de continuer je te fais confiance

Merci beaucoup, FonKy-