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TS - principe de récurence - exercice non résolu ...



  1. #1
    Tabby

    TS - principe de récurence - exercice non résolu ...


    ------

    bonjour,
    j'ai un exercice de maths a faire dont je n'arrive pas a trouver la fin :
    voici l'énoncé et le debut de ma demonstration:

    Montrer par récurrence que:
    1+2+3+...+n = (n*(n+1))/2 pour tout n sup ou égal à 1.

    Posons p(n):
    p(n): "1+2+3+...+n=(n*(n+1))/2"
    Initialisation: Montrons que P(1) est vaie
    Pour n=1, la somme 1+2+3+...+n=1
    Pour n=1, (n*(n+1))/2 =1 donc l'égalité est vraie pour n=1
    Hérédité: Supposons que P(n) est vraie pour un entier n sup ou égal à 1 quelconque:
    Montrons que P(n+1) est vraie:
    ...

    Voilà, c'est ici que je bloque ... est ce que quelqu'un pourrait me donner une piste ?
    merci pour vos réponses qui me seront sans doute très utile!

    -----
    °O°-| Tabby |-°O°

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  3. #2
    Ledescat

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    Bonjour.

    Que rajoute-t-on à P(n) pour obtenir P(n+1) ?
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    Tabby

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    serait-ce u(1) ?
    mais cela n'as pas de sens puisque avec cela on ne résoudre la suite ...
    je ne sais vraiment pas ...
    °O°-| Tabby |-°O°

  5. #4
    Dydo

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    Ben tu as :

    P(n) : 1+2+3+4+...+n = (n(n+1)) / 2

    Donc si tu veux montrer par récurrence que la proposition est vraie pour tout n, tu étudies P(n+1), et tu as deux possibilités :

    P(n+1) = 1+2+3+4+...+n+(n+1) = [1+2+3+...+n] + (n+1) = ?

    P(n+1) = ?

    Je ne sais pas si j'ai été clair sans trop faire à ta place :þ Mais tu as clairement deux façons différentes de calculer la proposition pour P(n+1), fais le, et voie ce que ça donne

  6. #5
    Tabby

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    ben non ... je ne vois pas ...
    je suis vraiment désolé mais est ce que tu pourrais quelques indications supplémentaires ??
    merci bcp pour ton aide
    °O°-| Tabby |-°O°

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Dydo

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    Tu as :



    Il suffit de remplacer par dans la formule ^^



    Il suffit de passer au même dénominateur, tu vas tomber sur la même chose si tes calculs sont justes : et par axiome de récurrence tu peux valider ta proposition pour tout

    Sinon tu es obligé de le faire par récurrence ? Sinon tu peux trivialiser le problème avec la technique de la double somme du petit Gauss

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  10. #7
    Tabby

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    est ce cela:
    n(n+1)/2 + 2(n+1)/2
    ensuite si je réorganise tout c'est-à-dire:
    (2n+n+2n+2)/2 je trouve: (5n+2)/2
    ce n'est pas le résultat de départ ...

    je suis vraiment nulle en maths ...
    oui je dois le faire avec la récurrence car c'est ce que l'on vient d'apprendre en cour et je n'aie jamais entendu parler de trivialité...
    °O°-| Tabby |-°O°

  11. #8
    Dydo

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    Ton calcul est faux, déjà tu as n(n+1) dans ton premier terme, donc si tu trouves quelque chose sans aucun n², il y a quelque chose qui cloche ^^

  12. #9
    Tabby

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    ah oui ! on voit que 2 mois de vacances sont passés ...
    cela fait donc (n2+3n+2)/2
    ensuite y a t-il une histoire de factorisation ??
    °O°-| Tabby |-°O°

  13. #10
    Dydo

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    Calcules l'autre expression que je t'ai donnée de P(n), tu vas trouver la même chose, ça suffit à prouver que ta proposition est vraie

  14. #11
    Tabby

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    euhh la première : 1+2+3+...+n= n+1 ?
    °O°-| Tabby |-°O°

  15. #12
    univscien

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    Citation Envoyé par Dydo Voir le message
    Tu as :



    Il suffit de remplacer par dans la formule ^^
    Il me semble.
    68 74 74 70 3A 2F 2F 77 77 77 2E 6A 65 72 72 6F 72 34 30 34 2E 66 72

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  17. #13
    Tabby

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    oui ! merci, je pense avoir trouver mon résultat !
    je verrai demain la correction du prof si c'est juste ^^
    merci bcp pour votre aide dydo et univscien je n'y serai jms arrivée sans vous !
    °O°-| Tabby |-°O°

  18. #14
    Dydo

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    Tu tombes finalement sur :






    Ce qui valide ton hypothèse Il ne te reste plus qu'à conclure et à bien rédiger tout ça :þ

  19. #15
    Tabby

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    oui c'est ce que j'ai trouvé !
    merci beaucoup pour toute ton aide !
    °O°-| Tabby |-°O°

  20. #16
    mohamedtunisie

    Re : TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

    on vérifi pour n =2
    on a 1+2=3
    2*(2+1)/2 =3 c'est le n*(n+1)/2 avec n = 2 donc c'est vérifié
    on suppose vrai que 1+2+3+......................n = n*(n+1)/2
    donc il faux montrer que 1+2+3+..................n + (n+1) = (n+1)*((n+1)+1)/2 = (n+1)(n+2)/2 ?

    or on a que 1+2+3+................+n = n*(n+1)/2 on la remplace dans l’équation recherché on trouve
    n*(n+1)2+(n+1) on met en facteur (n+1) on trouve
    (n+1)(n/2+1) = (n+1)(n+2)/2 et ce qu'on cherche

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