TS - principe de récurence - exercice non résolu ...

[invite1ec421a8]

bonjour,
j'ai un exercice de maths a faire dont je n'arrive pas a trouver la fin :
voici l'énoncé et le debut de ma demonstration:

Montrer par récurrence que:
1+2+3+...+n = (n*(n+1))/2 pour tout n sup ou égal à 1.

Posons p(n):
p(n): "1+2+3+...+n=(n*(n+1))/2"
Initialisation: Montrons que P(1) est vaie
Pour n=1, la somme 1+2+3+...+n=1
Pour n=1, (n*(n+1))/2 =1 donc l'égalité est vraie pour n=1
Hérédité: Supposons que P(n) est vraie pour un entier n sup ou égal à 1 quelconque:
Montrons que P(n+1) est vraie:
...

Voilà, c'est ici que je bloque ... est ce que quelqu'un pourrait me donner une piste ?
merci pour vos réponses qui me seront sans doute très utile!
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[invitec053041c]

Bonjour.

Que rajoute-t-on à P(n) pour obtenir P(n+1) ?

[invite1ec421a8]

serait-ce u(1) ?
mais cela n'as pas de sens puisque avec cela on ne résoudre la suite ...
je ne sais vraiment pas ...

[Dydo]

Ben tu as :

P(n) : 1+2+3+4+...+n = (n(n+1)) / 2

Donc si tu veux montrer par récurrence que la proposition est vraie pour tout n, tu étudies P(n+1), et tu as deux possibilités :

P(n+1) = 1+2+3+4+...+n+(n+1) = [1+2+3+...+n] + (n+1) = ?

P(n+1) = ?

Je ne sais pas si j'ai été clair sans trop faire à ta place :þ Mais tu as clairement deux façons différentes de calculer la proposition pour P(n+1), fais le, et voie ce que ça donne

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1ec421a8]

ben non ... je ne vois pas ...
je suis vraiment désolé mais est ce que tu pourrais quelques indications supplémentaires ??
merci bcp pour ton aide

[Dydo]

Tu as :



Il suffit de remplacer par dans la formule ^^



Il suffit de passer au même dénominateur, tu vas tomber sur la même chose si tes calculs sont justes : et par axiome de récurrence tu peux valider ta proposition pour tout

Sinon tu es obligé de le faire par récurrence ? Sinon tu peux trivialiser le problème avec la technique de la double somme du petit Gauss

[invite1ec421a8]

est ce cela:
n(n+1)/2 + 2(n+1)/2
ensuite si je réorganise tout c'est-à-dire:
(2n+n+2n+2)/2 je trouve: (5n+2)/2
ce n'est pas le résultat de départ ...

je suis vraiment nulle en maths ...
oui je dois le faire avec la récurrence car c'est ce que l'on vient d'apprendre en cour et je n'aie jamais entendu parler de trivialité...

[Dydo]

Ton calcul est faux, déjà tu as n(n+1) dans ton premier terme, donc si tu trouves quelque chose sans aucun n², il y a quelque chose qui cloche ^^

[invite1ec421a8]

ah oui ! on voit que 2 mois de vacances sont passés ...
cela fait donc (n2+3n+2)/2
ensuite y a t-il une histoire de factorisation ??

[Dydo]

Calcules l'autre expression que je t'ai donnée de P(n), tu vas trouver la même chose, ça suffit à prouver que ta proposition est vraie

[invite1ec421a8]

euhh la première : 1+2+3+...+n= n+1 ?

[inviteba9bce0d]

Tu as :



Il suffit de remplacer par dans la formule ^^

Il me semble.

[invite1ec421a8]

oui ! merci, je pense avoir trouver mon résultat !
je verrai demain la correction du prof si c'est juste ^^
merci bcp pour votre aide dydo et univscien je n'y serai jms arrivée sans vous !

[Dydo]

Tu tombes finalement sur :






Ce qui valide ton hypothèse Il ne te reste plus qu'à conclure et à bien rédiger tout ça :þ

[invite1ec421a8]

oui c'est ce que j'ai trouvé !
merci beaucoup pour toute ton aide !

[invite49f171bc]

on vérifi pour n =2
on a 1+2=3
2*(2+1)/2 =3 c'est le n*(n+1)/2 avec n = 2 donc c'est vérifié
on suppose vrai que 1+2+3+......................n = n*(n+1)/2
donc il faux montrer que 1+2+3+..................n + (n+1) = (n+1)*((n+1)+1)/2 = (n+1)(n+2)/2 ?

or on a que 1+2+3+................+n = n*(n+1)/2 on la remplace dans l’équation recherché on trouve
n*(n+1)2+(n+1) on met en facteur (n+1) on trouve
(n+1)(n/2+1) = (n+1)(n+2)/2 et ce qu'on cherche