TS - exercice non compris sur la récurrence

[invite1ec421a8]

bonjour,

ce matin j'ai corrigé un exo en Maths et en me relisant ce soir , je me suis rendu compte qu'il y a qq ch que je n'ai pas compri:

voici le corrigé:

Soit u(n) definie par u0= 1/2
u(n+1)= 2u(n)+1
Montrons u(n) est supérieur ou égal à 0 pour tout n appartenant N

Posons p(n)
P(n): "u(n) supérieur ou ehal à 0

Initialisation:montrons que p(0) est vraie:On sait que u(0)=1/2, donc u0 supérieur à 0, donc P(0) est vraie.

Hérédité:supposons que P(n) est vraie pour un entier n supérieur ou égal à 0 quelconque
par hypothèse de récurrence, on a u(n) supérieur ou égal à 0:
(C'est à partir de là que je ne comprend plus)
donc 2u(n) supérieur ou egal à 0
donc 2u(n)+1 supérieur ou egal a 1
donc u(n+1) supérieur ou egal a 1
donc u(n+1) supérieur ou egal a 0

Quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi l'on fait cela ?
je sais que c'est pour démontrer que u(n+1) est vrai mais je ne comprend pas le raisonnment ... (enfin les 4 inéquations ci dessus ..)


je vous met la fin de l'exo:
dont po(n+1) est vraie, donc p(n) est héréditaire.
conclusion: d'apres le princie de récurrence, p(n) est vraie pour tout n supérieur ou egal à 0
donc u(n) est supérieur ou egal a 0 pour tout n
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[invitec053041c]

Bonjour.

Je ne vois pas ce qui te gêne.

Si Un est supposé positif, il est clair que Un+1=1/2Un+1 est positif.
Les étapes par inégalités servent à le montrer plus "rigoureusement".

[invite1ec421a8]

ce qui me gène, c'est juste de savoir comment on passe de la 1ere inéquation a la 2nde et dela 2nde a la troisème ... et comment on trouve la première

[invitec053041c]

C'est du calcul élémentaire d'inégalités quand même.

Un >=0 (par hypothèse de récurrence)

2Un >= 2*0 (multiplication par un réel positif ne changeant pas le sens des inégalités)

Donc 2Un>=0

2(Un)+1>=1 (on ajoute 1 à gauche et à droite...)

D'où U(n+1)>=1, et s'il est supérieur à 1, il est positif nécéssairement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1ec421a8]

ah oui
je comprend mieux dans ce sens là ...
merci !
moi si on ne détaille pas mon calcul, je suis perdu, donc comme mon prof est très speed et ben j'ai callé ...
sinon tkt je sais résoudre une inéquation !
merci encore !