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TS - exercice non compris sur la récurrence



  1. #1
    Tabby

    TS - exercice non compris sur la récurrence


    ------

    bonjour,

    ce matin j'ai corrigé un exo en Maths et en me relisant ce soir , je me suis rendu compte qu'il y a qq ch que je n'ai pas compri:

    voici le corrigé:


    Soit u(n) definie par u0= 1/2
    u(n+1)= 2u(n)+1
    Montrons u(n) est supérieur ou égal à 0 pour tout n appartenant N

    Posons p(n)
    P(n): "u(n) supérieur ou ehal à 0

    Initialisation:montrons que p(0) est vraie:On sait que u(0)=1/2, donc u0 supérieur à 0, donc P(0) est vraie.

    Hérédité:supposons que P(n) est vraie pour un entier n supérieur ou égal à 0 quelconque
    par hypothèse de récurrence, on a u(n) supérieur ou égal à 0:
    (C'est à partir de là que je ne comprend plus)
    donc 2u(n) supérieur ou egal à 0
    donc 2u(n)+1 supérieur ou egal a 1
    donc u(n+1) supérieur ou egal a 1
    donc u(n+1) supérieur ou egal a 0


    Quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi l'on fait cela ?
    je sais que c'est pour démontrer que u(n+1) est vrai mais je ne comprend pas le raisonnment ... (enfin les 4 inéquations ci dessus ..)


    je vous met la fin de l'exo:

    dont po(n+1) est vraie, donc p(n) est héréditaire.
    conclusion: d'apres le princie de récurrence, p(n) est vraie pour tout n supérieur ou egal à 0
    donc u(n) est supérieur ou egal a 0 pour tout n

    -----
    °O°-| Tabby |-°O°

  2. Publicité
  3. #2
    Ledescat

    Re : TS - exercice non compris sur la récurrence

    Bonjour.

    Je ne vois pas ce qui te gêne.

    Si Un est supposé positif, il est clair que Un+1=1/2Un+1 est positif.
    Les étapes par inégalités servent à le montrer plus "rigoureusement".
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    Tabby

    Re : TS - exercice non compris sur la récurrence

    ce qui me gène, c'est juste de savoir comment on passe de la 1ere inéquation a la 2nde et dela 2nde a la troisème ... et comment on trouve la première
    °O°-| Tabby |-°O°

  5. #4
    Ledescat

    Re : TS - exercice non compris sur la récurrence

    C'est du calcul élémentaire d'inégalités quand même.

    Un >=0 (par hypothèse de récurrence)

    2Un >= 2*0 (multiplication par un réel positif ne changeant pas le sens des inégalités)

    Donc 2Un>=0

    2(Un)+1>=1 (on ajoute 1 à gauche et à droite...)

    D'où U(n+1)>=1, et s'il est supérieur à 1, il est positif nécéssairement.
    Cogito ergo sum.

  6. #5
    Tabby

    Re : TS - exercice non compris sur la récurrence

    ah oui
    je comprend mieux dans ce sens là ...
    merci !
    moi si on ne détaille pas mon calcul, je suis perdu, donc comme mon prof est très speed et ben j'ai callé ...
    sinon tkt je sais résoudre une inéquation !
    merci encore !
    °O°-| Tabby |-°O°

  7. A voir en vidéo sur Futura

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