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Périodique ?



  1. #1
    A2l!n£

    Question Périodique ?


    ------

    Bnjour, je ne parviens pas à expliquer pourquoi l'écriture décimale de a/b est périodique sachant que a et b désignent des entiers naturels avec b non nul. Peut-être que toutes les écritures décimales de a/b sont périodiques (car on peut prolonger les nombres entiers d'une infinité de zéros) non?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    nissart7831

    Re : périodique?

    Citation Envoyé par A2l!n£ Voir le message
    Peut-être que toutes les écritures décimales de a/b sont périodiques (car on peut prolonger les nombres entiers d'une infinité de zéros) non?
    Tout à fait.

    Bnjour, je ne parviens pas à expliquer pourquoi l'écriture décimale de a/b est périodique sachant que a et b désignent des entiers naturels avec b non nul
    Il faut que tu poses comment on résoud une division euclidienne et ce que devient le reste, à chaque étape, quand tu continues à faire la division. Et tu raisonnes sur les valeurs que peut prendre le reste (par rapport au dénominateur).

  4. #3
    A2l!n£

    Question Re : périodique?

    Je n'ai pas tout compris mais est-ce que a= b qotient + reste doit figurer dans tout ça?

  5. #4
    nissart7831

    Re : périodique?

    Oui.

    La condition d'arrêt de la division euclidienne est quand r < b car on ne peut plus ajouter 1 au quotient.
    Ce qu'on fait ensuite : on ne peut plus continuer avec un quotient entier donc on fait 10r et on regarde combien de fois il y a b.
    On écrit donc r1=10r = b.d1+r'1
    puis on continue avec r2=10r'1 = b.d2+r'2
    et ainsi de suite ...
    Ce qui aura pour conséquence de trouver les décimales du "quotient".
    di représente la i-ème décimale.
    Souviens-toi comment tu fais une division après la virgule. Ce que j'ai écrit au dessus n'est que la traduction algorithmique de la manière dont tu fais une division.

    Et après pense aux restes de ses divisions, il y a un moment où ça va boucler, tu vas retomber sur les mêmes valeurs, donc la division par b donnera le même résultat.
    Pose sur le papier tout ce que je t'ai dit, ça t'apparaitra plus clair. Une fois que tu as compris ça, il faut que tu montres pourquoi au bout d'un moment ça boucle, donc ça devient périodique.

  6. A voir en vidéo sur Futura

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