Equation, modulo 4

[invitedf60503e]

Hey everybody ! J'ai un petit souci avec un exo sur lequel je buche, donc ben je vais vous en faire part !

Déja l'énnoncé :
On note (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9 + a² ou dans ce cas a est un entier naturel non nul ; par exemple :
10 = 9 + 1²; 13 = 9 + 2², ...
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2,3 ou 5.

1. Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 2(puissance n), ou dans ce cas a appartient à N, n appartient à N, et n est plus grand ou égal à 4.

a) Montrer que si a existe, a est impaire.
b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.

Pour la réponse a, j'ai montrer que a² = 2(puissance n) - 9, que 2(puissance n) est paire, et que moin un impaire, ca donne un chiffre impaire. Donc a² est impaire, et a est impaire. Voila si vous penser que c'est faux ou que je dois rajouter quelque chose dites moi !

Sinon pour la deuxieme question, ben je buche, surtout sur le modulo 4, j'y arrive vraiment pas, donc ben voila dites moi si vous penser comprendre comment faire !

Merci d'avance !
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[invite787dfb08]

Je confirme pour le 1, c'est exactement ça :
tu arrives à : a² = 2^n -9
Il est évident que 2^n est pair, et que 9 est impair. Propriété : la somme d'un pair et d'un impair est impair (Si c'est de la spe maths que tu fais, c'est pas évident que la démo soit dans le cours, mais dans tous les cas c'est trouvalble facilement ^^)

donc a² est impair, ce qui signifie que 2 ne divise pas a², et donc que 2 ne divise pas a. Donc a est impair

Pour le 2, j'y réfléchis dans l'après midi

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[invite1237a629]

Ok, j'ai une solution à te proposer, mais je n'en suis pas sûre. (la 1 me semble bonne)

Si n est supérieur ou égal à 4, alors on peut écrire n = 2 + n', n'est-ce pas ?
Donc 2^(2+n') = 2² * 2^n'.

Or, 2² = .... et donc est congru à ?? [4]

Ensuite, tu essaies de trouver la congruence de à 4, que tu vas appeler x. Pour que l'égalité dont il faut trouver les solutions marche, il faut donc que x = 0. Jusque là, tu suis ?


Ensuite, tu as une formule qui te dit que :
si a est congru à b [n], alors a + c est congru à b + c [n].

Applique le ici, avec 9, tout en "simplifiant" la congruence (a+9 congru à b+9 [4], certes, mais c'est aussi congru à b+1, 1 étant la congruence de 9 par 4).
(ici, b = x)

Ensuite, tu arrives donc à la congruence de a² par 4. Et là, écris a sous la forme a = 2k+1 (puisque a est impair) et tu développes cette identité remarquable. Tu trouveras alors la solution normalement.


Ce n'est peut-être pas clair dès le début, mais si j'explique tout, il n'y a aucun suspense ^^
Vois déjà si tu arrives à quelque chose avec ça

[invite787dfb08]

Bien vu MimoiMolette, ta trouvé avant moi ^^.

De toute façon dès qu'on te demande de travailler modula quelque chose, faut utiliser la congruence. Sans congruence tu peux simplement montrer que l'équation n'a pas de solution pour n pair et supérieur à 4. Reste les impairs à résoudre....



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[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Que n soit pair ou impair, c'est la même chose tous sont des multiples de 4. J'ai perdu du temps sur ça, justement parce que je pensais qu'il fallait faire les deux cas.

[invitedf60503e]

j'essaie de comprendre petit à petit ! Je débute en spe maths, et c'est pas facile, mais je vois comment tu t'y prend, et ca m'a l'air corect quoi, en tout cas ca se suit ! Mercii bcp

[invitedf60503e]

mimolette, tu veux dire au début que si :
2² = 4, alors 2^n est congru à 2^2 [4] ??

[invite2220c077]

bastien90210 > Ta réponse 1) est correcte.

Maintenant pour la 2).

Tu sais que 2 = -2[4] donc 2^n = -2^n[4]

Or tu as prouvé que a était impair à la question 1), donc a = 2k + 1, k € Z.

a² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k² + k) + 1. Donc un nombre impair est toujours congru à 1 mod 4 (à retenir). D'où a² = 1[4] <=> a² + 9 = 10[4]. Or, nous avons par hypothèse a² + 9 = 2^n, de fait, on peut en déduire que l'équation, si je ne me suis pas trompé, n'admet aucune solution puisque 10 n'est pas une puissance de 2.

[invitedf60503e]

si tu veux ce que je comprends pas , c'est comment en raisonnant dans modulo 4, donc en utilisant des congruence, ont peu dire si une équation admet une solution ou pas, resolver des équations ! Et ca m'empeche de voir comment me lancer quoi !
Ton début oui je comprends, mais après non je vois pas. Surtout le rapport avec les solutions ou pas de l'équation.

[invitedf60503e]

Zweig tu est un master ! lol Non franchement, la j'ai compris ! C'est pas pareil que mimolette, mais la tu te base sur la parité, et c'est plus rapide ! ok merci bcp !

[invite2220c077]

De rien !

[invite1237a629]

C'est normal que tu n'aies pas bien compris avec moi, vu que je n'ai pas voulu tout donner :P (il me semble que c'est une mode sur ce forum ^^)

Enfin, si tu veux que je détaille ma méthode, mp, même si je doute que ça intéresse vraiment ^^

[invitedf60503e]

C'est avec plaisir que j'aimerais que tu détail ta méthode, et je ne la renie pas parce que tu ne m'as pas tout donner, je t'ai fait part du pourquoi je ne comprennais pas ton dévélopement, je l'ai mieu compris par la suite avec la parité qui intervenait, mais oui j'aimerai connaître ton dévelopement, parce que j'ai essayer, je vois le début, mais après non c'est flou ! voila encore dsl !