Bonjour à tous et à toutes , je suis en terminale scientifique spécialité maths et notre professeur de mathématique se sentant en forme ^^nous a donné une quinzaine d'exercices dont quelques défis sous la forme d'un devoir maison pour les vacances.
Malheureusement je bloque sur quelques un et je viens ici pour vous demander vos lumières.
Pour le premier j'ai deja trouvé pas mal de trucs mais je bloque sur certaines parties , voila l'énoncé ainsi que ce que j'ai fait:
Soit f définie sur ]-Pi/2 ; Pi/2[ (excusez moi je sais pas comment taper Pi au clavier) par
f(x)=1/cosx -1- x²/2
a)Démontrer que :
(1-cosx)(cos²x+2cosx+2)
f''(x)= ________________
(cosx)^3
b)déterminer le sens de variation de f' sur ]-pi/2 ; pi/2[ , calculer f'(0) et en déduire le signe de f'.
c)En déduire une comparaison entre 1/cosx et 1+ x²/2 pour tout x de ]-pi/2 ; pi/2[
Voila ce que j'ai fait:
a)
f(x)=1/cosx -1- x²/2
sinx
donc f'(x) = ______ -x
cos²x
(-cosx*cos²x)-(sinx*-sin²x)
et f''(x)=_______________________ _ -1
(cosx)^4
(-cosx)^3 + (sinx)^3 - (cosx)^4
= _____________________________
(cosx)^4
et la je bloque je n'arrive pas à retomber sur leur formule de f''(x)...
b) en prenant leur résultat je dis que :
*(1-cosx) est toujours positif car -1<cosx<1 -1<-cosx<1 et 0<1-cosx<2
*(cosx)^3 est toujours positif car comme f défini sur ]-pi/2 ; pi/2[ alors cosx>0 et (cosx)^3 aussi.
*cos²x+2cosx+2 , on peur remplacer cosx par X et on a X²+2X+2 équation du second degré : DELTA =-4 donc pas de solution dans R et cette expression est du signe de a donc positive.
Donc f''(x) positive et donc f' croissante
sin(0)
f'(0) =_______ -0 =0
cos²0
et la il nous demande le signe de f' , on sait qu'elle est croissante donc
on sait qu'elle est positive sur [0 ; pi/2[ mais je vois pas comment montrer qu'elle l'ai aussi sur ]-pi/2 ;0] car f'(-pi/2) est une forme indéterminée..
c)si on trouve que f'(x) > 0 alors f croissante et donc 1/cosx >1+x²/2 car comme elle est croissante la différence entre les 2 augmente toujours.
Voila tout ce que j'ai fait pour cet exercice.
Le second est sur les suites de Finobacci(non étudiées en classe):
Un représente le nombre d'ancêtres d'une abeille mâle à la génération n.Soit Fn le nombre d'ancêtres femelles et Mn le nombre d'ancêtres mâles à la génération n.
1) a) montrer que Un=F(n+1) et que M(n+1)=Fn
j'ai beau chercher je ne vois pas comment obtenir ca .
b)En déduire U(n+1)=Un+Fn=Un+U(n-1)
En réutilisant les résultats du livre j'arrive facilement à trouver les égalités :
U(n+1)=F(n+1)+M(n+1)=Un+Fn
Un=F(n+1) donc Fn=u(n-1)
et donc
U(n+1)=F(n+1)+M(n+1)=Un+Fn=Un+ U(n-1)
2)On considère la suite de Fibonacci telle que :
U0=U1=1 et u(n+1)=Un+U(n-1) pour tout n appartenant à N*
a)montrer que pour tout n ,Un >= n.
En déduire lim Un (n--->+l'infini)
Ca j'ai réussi par récurrence ,et je trouve +l'infini à la limite
b)Etablir par récurrence que , quelque soit le naturel n : Un²=U(n-1)*U(n+1)+(-1)^n
J'ai vérifié que ca marchait bien pour n=1 mais pour l'hérédité je suis perdu , je ne sais pas comment retomber sur cette expression..
U(n+1)
3) On pose Vn= ______
Un (-1)^n
a)Montrer que V(n+1)-Vn= ______ en
Un*U(n+1)
déduire la limite de V(n+1)-Vn lorsque n tend vers +l'infini.
Alors la j'y arrive en "trichant" un peu et je ne suis pas sur que ca soit bien juste:
U(n+2) - U(n+1)
V(n+1)-Vn= ________ ______
U(n+1) Un
U(n+2)*Un - [U(n+1)]²
= _____________________ et la je dis que c'est
U(n+1)*Un
égal à ca , mais j'en suis pas sur:
U(n+1)*U(n-1) -Un² (-1)^n
= ___________________ = ________
U(n+1)*Un U(n+1)*Un
D'aprés la 2 b)
Pour la limite il n'y a pas de probleme je trouve 0.
Et la la suite devient carrément imperméable pour moi...
b) On pose Wn=V(2n-1) et Tn=V(2n)
2tudier le sens de variation de chacune de ces 2 suites.
J'ai essayé par récurrence et en faisant la soustraction du rang (n+1) au rang n , mais sans succes..
c) montrer que les suites Wn et tn sont adjacentes
j'imagine qu'on doit en trouver une croissante et une autre décroissante mais pour prouver que la limite de la différence tend vers 0....
d)Montrer que lim(Vn²-Vn-1)=0 (quand n tend vers + l'infini)
Ici pareil je ne vois pas du tout comment procéder.
Un autre exercice ou je bloque :
Déterminer tous les couples (a,b) de naturels (a>=b) tels que:
a²-b² =1620 et pgcd(a;b)=6
J'ai posé : a=6a' et b=6b'
a²-b²=1620 donc (6a')²-(6b')² =1620
donc 36 (a'²-b'²)=1620
a'²-b'² =45
A partir d'ici j'arrive à toruver quelques couples de solutions pour les a' et b' comme (7,2) et (9,6) mais je n'arrive pas à trouver tous les couples étant donné qu'il s'agit d'une osustraction et non d'une addition et donc qu'il peut avoir un nombre illimité de solutions.
Les autres exercices ou je bloque sont considérés comme des "défis" par mon professeur et il est vrai que je n'ai réussi aucun d'entre eux :
Le premier:
On définit les entiers An et Bn , n appartient à N* par : (1+\/¯2 )^n =An+Bn*\/¯2
Montrer que An et Bn sont premiers entre eux
j'ai commencé comme ca:
(1+\/¯2)(1+\/¯2)^(n-1)=An+Bn*\/¯2
Puis en montrant que (1+\/¯2) divise An+Bn*\/¯2 mais je ne sais pas si ca va m'amener a quelque chose....
Le second est encore plus obscure:
Soit n ,appartenant à N*, et p premiers entre eux.
1)Montrer que l'exposant de p dans la décomposition de n! en facteurs premiers est:
(la c'est vraiment dur à écrire sur ordi même ave l'éditeur d'équation) Ln n
Sigma (la somme) pour tout k de 1 à E(_____)
n Ln p
des E(__ )
p^k
La je ne comprend même pas l'écriture , de plus on a pas encore vu la fonction logarithme ni les factoriels......
2) Suite éventuelle si réponse trouvée
Et le 3eme défi qui lui est obscur de chez obscur :
Hadamard , de La Vallée (1896)
" x / Ln x est à peu près le nombre de nombres premiers inférieurs à x.
La encore je sèche ....
Je remercie d'avance toute aide quelle qu'elle soit , merci encore.
Minos
-----
Envoyé par Minos_Dragoon 
par 
