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Dm de maths/spé maths TS



  1. #1
    Minos_Dragoon

    Dm de maths/spé maths TS


    ------

    Bonjour à tous et à toutes , je suis en terminale scientifique spécialité maths et notre professeur de mathématique se sentant en forme ^^nous a donné une quinzaine d'exercices dont quelques défis sous la forme d'un devoir maison pour les vacances.
    Malheureusement je bloque sur quelques un et je viens ici pour vous demander vos lumières.

    Pour le premier j'ai deja trouvé pas mal de trucs mais je bloque sur certaines parties , voila l'énoncé ainsi que ce que j'ai fait:

    Soit f définie sur ]-Pi/2 ; Pi/2[ (excusez moi je sais pas comment taper Pi au clavier) par
    f(x)=1/cosx -1- x²/2

    a)Démontrer que :
    (1-cosx)(cos²x+2cosx+2)
    f''(x)= ________________
    (cosx)^3

    b)déterminer le sens de variation de f' sur ]-pi/2 ; pi/2[ , calculer f'(0) et en déduire le signe de f'.
    c)En déduire une comparaison entre 1/cosx et 1+ x²/2 pour tout x de ]-pi/2 ; pi/2[

    Voila ce que j'ai fait:
    a)
    f(x)=1/cosx -1- x²/2
    sinx
    donc f'(x) = ______ -x
    cos²x
    (-cosx*cos²x)-(sinx*-sin²x)
    et f''(x)=_______________________ _ -1
    (cosx)^4
    (-cosx)^3 + (sinx)^3 - (cosx)^4
    = _____________________________
    (cosx)^4

    et la je bloque je n'arrive pas à retomber sur leur formule de f''(x)...

    b) en prenant leur résultat je dis que :
    *(1-cosx) est toujours positif car -1<cosx<1 -1<-cosx<1 et 0<1-cosx<2
    *(cosx)^3 est toujours positif car comme f défini sur ]-pi/2 ; pi/2[ alors cosx>0 et (cosx)^3 aussi.
    *cos²x+2cosx+2 , on peur remplacer cosx par X et on a X²+2X+2 équation du second degré : DELTA =-4 donc pas de solution dans R et cette expression est du signe de a donc positive.
    Donc f''(x) positive et donc f' croissante
    sin(0)
    f'(0) =_______ -0 =0
    cos²0
    et la il nous demande le signe de f' , on sait qu'elle est croissante donc
    on sait qu'elle est positive sur [0 ; pi/2[ mais je vois pas comment montrer qu'elle l'ai aussi sur ]-pi/2 ;0] car f'(-pi/2) est une forme indéterminée..

    c)si on trouve que f'(x) > 0 alors f croissante et donc 1/cosx >1+x²/2 car comme elle est croissante la différence entre les 2 augmente toujours.

    Voila tout ce que j'ai fait pour cet exercice.


    Le second est sur les suites de Finobacci(non étudiées en classe):

    Un représente le nombre d'ancêtres d'une abeille mâle à la génération n.Soit Fn le nombre d'ancêtres femelles et Mn le nombre d'ancêtres mâles à la génération n.
    1) a) montrer que Un=F(n+1) et que M(n+1)=Fn

    j'ai beau chercher je ne vois pas comment obtenir ca .

    b)En déduire U(n+1)=Un+Fn=Un+U(n-1)

    En réutilisant les résultats du livre j'arrive facilement à trouver les égalités :
    U(n+1)=F(n+1)+M(n+1)=Un+Fn
    Un=F(n+1) donc Fn=u(n-1)
    et donc
    U(n+1)=F(n+1)+M(n+1)=Un+Fn=Un+ U(n-1)

    2)On considère la suite de Fibonacci telle que :
    U0=U1=1 et u(n+1)=Un+U(n-1) pour tout n appartenant à N*

    a)montrer que pour tout n ,Un >= n.
    En déduire lim Un (n--->+l'infini)

    Ca j'ai réussi par récurrence ,et je trouve +l'infini à la limite

    b)Etablir par récurrence que , quelque soit le naturel n : Un²=U(n-1)*U(n+1)+(-1)^n

    J'ai vérifié que ca marchait bien pour n=1 mais pour l'hérédité je suis perdu , je ne sais pas comment retomber sur cette expression..
    U(n+1)
    3) On pose Vn= ______
    Un (-1)^n
    a)Montrer que V(n+1)-Vn= ______ en
    Un*U(n+1)
    déduire la limite de V(n+1)-Vn lorsque n tend vers +l'infini.

    Alors la j'y arrive en "trichant" un peu et je ne suis pas sur que ca soit bien juste:
    U(n+2) - U(n+1)
    V(n+1)-Vn= ________ ______
    U(n+1) Un

    U(n+2)*Un - [U(n+1)]²
    = _____________________ et la je dis que c'est
    U(n+1)*Un
    égal à ca , mais j'en suis pas sur:
    U(n+1)*U(n-1) -Un² (-1)^n
    = ___________________ = ________
    U(n+1)*Un U(n+1)*Un
    D'aprés la 2 b)

    Pour la limite il n'y a pas de probleme je trouve 0.

    Et la la suite devient carrément imperméable pour moi...

    b) On pose Wn=V(2n-1) et Tn=V(2n)
    2tudier le sens de variation de chacune de ces 2 suites.

    J'ai essayé par récurrence et en faisant la soustraction du rang (n+1) au rang n , mais sans succes..

    c) montrer que les suites Wn et tn sont adjacentes

    j'imagine qu'on doit en trouver une croissante et une autre décroissante mais pour prouver que la limite de la différence tend vers 0....

    d)Montrer que lim(Vn²-Vn-1)=0 (quand n tend vers + l'infini)

    Ici pareil je ne vois pas du tout comment procéder.

    Un autre exercice ou je bloque :

    Déterminer tous les couples (a,b) de naturels (a>=b) tels que:
    a²-b² =1620 et pgcd(a;b)=6

    J'ai posé : a=6a' et b=6b'
    a²-b²=1620 donc (6a')²-(6b')² =1620
    donc 36 (a'²-b'²)=1620
    a'²-b'² =45
    A partir d'ici j'arrive à toruver quelques couples de solutions pour les a' et b' comme (7,2) et (9,6) mais je n'arrive pas à trouver tous les couples étant donné qu'il s'agit d'une osustraction et non d'une addition et donc qu'il peut avoir un nombre illimité de solutions.

    Les autres exercices ou je bloque sont considérés comme des "défis" par mon professeur et il est vrai que je n'ai réussi aucun d'entre eux :

    Le premier:

    On définit les entiers An et Bn , n appartient à N* par : (1+\/¯2 )^n =An+Bn*\/¯2
    Montrer que An et Bn sont premiers entre eux

    j'ai commencé comme ca:
    (1+\/¯2)(1+\/¯2)^(n-1)=An+Bn*\/¯2
    Puis en montrant que (1+\/¯2) divise An+Bn*\/¯2 mais je ne sais pas si ca va m'amener a quelque chose....

    Le second est encore plus obscure:
    Soit n ,appartenant à N*, et p premiers entre eux.
    1)Montrer que l'exposant de p dans la décomposition de n! en facteurs premiers est:

    (la c'est vraiment dur à écrire sur ordi même ave l'éditeur d'équation) Ln n
    Sigma (la somme) pour tout k de 1 à E(_____)
    n Ln p
    des E(__ )
    p^k

    La je ne comprend même pas l'écriture , de plus on a pas encore vu la fonction logarithme ni les factoriels......

    2) Suite éventuelle si réponse trouvée

    Et le 3eme défi qui lui est obscur de chez obscur :

    Hadamard , de La Vallée (1896)
    " x / Ln x est à peu près le nombre de nombres premiers inférieurs à x.

    La encore je sèche ....

    Je remercie d'avance toute aide quelle qu'elle soit , merci encore.
    Minos

    -----
    Ceux qui font étalage de leur force se terrent lorsque les vrais puissants arrivent.

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  3. #2
    Antho07

    Re : Dm de maths/spé maths TS

    Citation Envoyé par Minos_Dragoon Voir le message
    Bonjour à tous et à toutes , je suis en terminale scientifique spécialité maths et notre professeur de mathématique se sentant en forme ^^nous a donné une quinzaine d'exercices dont quelques défis sous la forme d'un devoir maison pour les vacances.
    Malheureusement je bloque sur quelques un et je viens ici pour vous demander vos lumières.

    Pour le premier j'ai deja trouvé pas mal de trucs mais je bloque sur certaines parties , voila l'énoncé ainsi que ce que j'ai fait:

    Soit f définie sur par



    a)Démontrer que :





    b)déterminer le sens de variation de f' sur , calculer f'(0) et en déduire le signe de f'.

    c)En déduire une comparaison entre et [TEX]1+ \frac{x^{2}}{2} pour tout x de

    Voila ce que j'ai fait:
    a)


    donc

    et

    =

    et la je bloque je n'arrive pas à retomber sur leur formule de f''(x)...

    b) en prenant leur résultat je dis que :

    *(1-cosx) est toujours positif car -1<cosx<1 -1<-cosx<1 et 0<1-cosx<2

    * est toujours positif car comme f défini sur , alors cosx>0 et aussi.
    *cos²x+2cosx+2 , on peur remplacer cosx par X et on a X²+2X+2 équation du second degré : DELTA =-4 donc pas de solution dans R et cette expression est du signe de a donc positive.
    Donc f''(x) positive et donc f' croissante


    et la il nous demande le signe de f' , on sait qu'elle est croissante donc
    on sait qu'elle est positive sur mais je vois pas comment montrer qu'elle l'ai aussi sur car est une forme indéterminée..

    c)si on trouve que f'(x) > 0 alors f croissante et donc 1/cosx >1+x²/2 car comme elle est croissante la différence entre les 2 augmente toujours.

    Voila tout ce que j'ai fait pour cet exercice.


    Le second est sur les suites de Finobacci(non étudiées en classe):

    Un représente le nombre d'ancêtres d'une abeille mâle à la génération n.Soit Fn le nombre d'ancêtres femelles et Mn le nombre d'ancêtres mâles à la génération n.
    1) a) montrer que Un=F(n+1) et que M(n+1)=Fn

    j'ai beau chercher je ne vois pas comment obtenir ca .

    b)En déduire U(n+1)=Un+Fn=Un+U(n-1)

    En réutilisant les résultats du livre j'arrive facilement à trouver les égalités :
    U(n+1)=F(n+1)+M(n+1)=Un+Fn
    Un=F(n+1) donc Fn=u(n-1)
    et donc
    U(n+1)=F(n+1)+M(n+1)=Un+Fn=Un+ U(n-1)

    2)On considère la suite de Fibonacci telle que :
    U0=U1=1 et u(n+1)=Un+U(n-1) pour tout n appartenant à N*

    a)montrer que pour tout n ,Un >= n.
    En déduire

    Ca j'ai réussi par récurrence ,et je trouve +l'infini à la limite

    b)Etablir par récurrence que , quelque soit le naturel n :


    J'ai vérifié que ca marchait bien pour n=1 mais pour l'hérédité je suis perdu , je ne sais pas comment retomber sur cette expression..

    3) On pose

    a)Montrer que

    EN déduire

    Alors la j'y arrive en "trichant" un peu et je ne suis pas sur que ca soit bien juste:
    U(n+2) - U(n+1)
    V(n+1)-Vn= ________ ______
    U(n+1) Un

    U(n+2)*Un - [U(n+1)]²
    = _____________________ et la je dis que c'est
    U(n+1)*Un
    égal à ca , mais j'en suis pas sur:
    U(n+1)*U(n-1) -Un² (-1)^n
    = ___________________ = ________
    U(n+1)*Un U(n+1)*Un
    D'aprés la 2 b)

    Pour la limite il n'y a pas de probleme je trouve 0.

    Et la la suite devient carrément imperméable pour moi...

    b) On pose Wn=V(2n-1) et Tn=V(2n)
    2tudier le sens de variation de chacune de ces 2 suites.

    J'ai essayé par récurrence et en faisant la soustraction du rang (n+1) au rang n , mais sans succes..

    c) montrer que les suites Wn et tn sont adjacentes

    j'imagine qu'on doit en trouver une croissante et une autre décroissante mais pour prouver que la limite de la différence tend vers 0....

    d)Montrer que lim(Vn²-Vn-1)=0 (quand n tend vers + l'infini)

    Ici pareil je ne vois pas du tout comment procéder.

    Un autre exercice ou je bloque :

    Déterminer tous les couples (a,b) de naturels (a>=b) tels que:
    a²-b² =1620 et pgcd(a;b)=6

    J'ai posé : a=6a' et b=6b'
    a²-b²=1620 donc (6a')²-(6b')² =1620
    donc 36 (a'²-b'²)=1620
    a'²-b'² =45
    A partir d'ici j'arrive à toruver quelques couples de solutions pour les a' et b' comme (7,2) et (9,6) mais je n'arrive pas à trouver tous les couples étant donné qu'il s'agit d'une osustraction et non d'une addition et donc qu'il peut avoir un nombre illimité de solutions.

    Les autres exercices ou je bloque sont considérés comme des "défis" par mon professeur et il est vrai que je n'ai réussi aucun d'entre eux :

    Le premier:

    On définit les entiers An et Bn , n appartient à N* par : (1+\/¯2 )^n =An+Bn*\/¯2
    Montrer que An et Bn sont premiers entre eux

    j'ai commencé comme ca:
    (1+\/¯2)(1+\/¯2)^(n-1)=An+Bn*\/¯2
    Puis en montrant que (1+\/¯2) divise An+Bn*\/¯2 mais je ne sais pas si ca va m'amener a quelque chose....

    Le second est encore plus obscure:
    Soit n ,appartenant à N*, et p premiers entre eux.
    1)Montrer que l'exposant de p dans la décomposition de n! en facteurs premiers est:



    La je ne comprend même pas l'écriture , de plus on a pas encore vu la fonction logarithme ni les factoriels......

    2) Suite éventuelle si réponse trouvée

    Et le 3eme défi qui lui est obscur de chez obscur :

    Hadamard , de La Vallée (1896)
    " x / Ln x est à peu près le nombre de nombres premiers inférieurs à x.

    La encore je sèche ....

    Je remercie d'avance toute aide quelle qu'elle soit , merci encore.
    Minos


    J 'ai arrangé beacoup de truc en latex pas tout mais cela sera déjà cela

  4. #3
    Antho07

    Re : Dm de maths/spé maths TS

    Je qualifirais les deuxiemes et troisiemes défi de "inchiables"

    plus sérieusement E désigne la partie entière.

    Mais ces défis sont extrement compliqués

  5. #4
    Antho07

    Re : Dm de maths/spé maths TS

    Pour le troisieme défi trace la courbe x/ln x

    et trace la fonction en escalier suivante.

    tu part de (0,0) tu avance horizontalement et dès que tu rencontre un nombre premier tu monte de un(tu continue horizontalement apres)



    au début sa donne
    .............................. ...___6___
    .............................. ..|
    .............................. ..|
    ................... ___4___5
    ...................|
    ...................|
    ............. ___3
    .............|
    .............|
    0___1___2

    (je suis obliger de mettre des points sinon sa colle tout a gauche)


    En faite la hauteur a laquelle se trouve ton escalier te donne le nombre de nombre premiers rencontré précedemment.

    Trace la courbe x/ln x par dessus et tu remarques que globalement(en dezoomant grossierement) le coin gauche des marches d'escalier est tres pres de la courbe). Pour que cela marche il faut néanmoins dessiner pour un grand nombre.

    donc que la courbe donne une approximation du nombre de nombre premier rencontrée avant x.


    Ceci est tres loin du demo mais permet de visualiser ce qui se passe.

    Un collegue avait fait un TIPE sur ceci, cela donnait lieu a des calculs et raisonnement assez élaborer.
    Dernière modification par Antho07 ; 02/11/2007 à 22h10.

  6. #5
    Minos_Dragoon

    Re : Dm de maths/spé maths TS

    Merci beaucoup Antho 07 , j'essayerais demain de tracer cette courbe.
    En fait c'est une sorte d'approximation de la fonction non?
    Ceux qui font étalage de leur force se terrent lorsque les vrais puissants arrivent.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Antho07

    Re : Dm de maths/spé maths TS

    Le probleme pour la tracer c'est qu'il faut en tracer vraiment beacoup j'essairai de faire cela avec un logiciel et de le poster dans la soirée (enfin plutot la nuit maintenant lol).

    je crois de mémoire que lorsque qu il m expliquait son tipe, il m avat di que en faite on est sur q une tres grande partie de l'escalier sera sous la courbe mais que par moment il y en a qui le seront pas.

    En faite la répartition des nombres premier varie enormemen, l'ecart entre deux nombres premiers change enormement .

    C'est je pense oui une approximation mais je ne peux pas te répondre, ne connaissant pas grand chose a ce sujet.

    D'autre le feront je suppose

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  10. #7
    Antho07

    Re : Dm de maths/spé maths TS

    Bon en faite je sais pas comment la tracer je pensais faire sous maple un truc du style

    On demande d'entrer un entier p.
    k=0
    Pour i allant de 0 à p par pas de 1

    tracer le point (i,k)

    et si p est premier k<-k+1 et tracer le point(i,k)

    Apres il faudrait relier les points et on aurait l'escalier


    On rajoute sur le graphe la fonction x/ln x.

    Et on aurait notre graphe mais je suis incapable de faire un tel programme.
    ....

  11. #8
    homotopie

    Re : Dm de maths/spé maths TS

    Pour le calcul de f" :
    ton f' est bon mais tu as mal débuté ton calcul de f", réapplique et ça devrait aller mieux.
    Pour le reste de cet exo, bien sauf la fin :
    tu montres (en admettant le résultat pour f") que f' est croissante sur l'intervalle centré en 0 avec f(0)=0. Cela veut dire que "f granfit tout le long de l'intervalle, passe par 0 en 0 donc est >0 après 0, et était ?? avant 0".

    Pour Fibonnacci fais une recherche sur le forum tu devrais trouver ton bonheur (enfin je crois).

    Pour l'arithmétique, tu as un on début mais pas assez précis.
    pgcd(a,b)=6, tu poses a=6a' et b=6b', comment sont a' et b' entre eux ? (Par exemple a'=9 et b'=6 n'est pas une solution valide)
    On a a'²-b'²=1620/36=45.
    Factorise a'²-b'², (on peut éventuellement montrer que les deux facteurs sont 1ers entre eux), décompose 45 en ces divers produits possibles, tu aboutis sur un certain nombre de petits systèmes à résoudre.

    1er défi :
    tu le fais par récurrence a(n-1) et B(n-1) premiers entre eux (c'est vrai pour n=0+1 et 1+1). Tu exprimes An et Bn en fonction de ces premiers. Puis à coupe de somme et de soustraction tu montres que le pgcd de An et de Bn est le même que An-1 et de Bn-1. Exemple : pgcd(a,a+b)=pgcd(a,b) car si d divise a et b il divise a et a+b, de même si d divise a et a+b , il divise b=(a+b)-a.

    2ème défi :
    l'exposant de 3 dans 10! est égal à
    nombre de multiples de 3 dans 1x2x...x10 : E(10/3)=3
    mais il y a 9 qui est d'exposant 2 il faut ajouter
    nombre de multiples de 9 : E(10/9)
    En fait au lieu de compter 3(+1),6(+1),9(+2),...15(+1), 18(+2),...27(+3)...
    on compte 3,6,9,12,15,...27,...->+1 pour chaque
    + on compte 9,18,27,...->+1 pour chaque (qui sont donc désormais comptés deux fois)
    + on compte 27,54,81...->+1
    ...
    On met ça au propre (ça en a besoin mais c'est volontaire) et tu montres la formule.

    3ème défi :
    je conseille de mettre : "j'ai une preuve très simple et tellement élémentaire que i ne mérite guère plus qu'une note en marge malheureusement vous refusez que nous y écrivions..."

    J'espère pour votre prof va revenir en forme de ses vacances pour corriger tout ça

  12. #9
    MiMoiMolette

    Re : Dm de maths/spé maths TS

    - Nouillerie sans nom -

    A supprimer svp
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  13. #10
    Minos_Dragoon
    Merci beaucoup de votre aide , pour les défis je crois que je vais laisser tomber , c'est loin d'être de mon niveau et j'avou être vite perdu.
    Pour le reste je m'en suis sorti a peu pres partout sauf pour le calcul de cette dérivée seconde au premier exercice ainsi que la 1 a) et la 2 b) de l'exercice sur les suites de Fibonacci.
    Merci encore à vous tous, j'essaierai peut être de me replonger dans les 3 défis plus tard , mais la j'ai trop de trucs à faire et j'ai pas trop l'esprit à ca et vu que c'est compliqué...
    Ceux qui font étalage de leur force se terrent lorsque les vrais puissants arrivent.

  14. #11
    Antho07

    Re : Dm de maths/spé maths TS

    je me demande comment votre prof va vous corriger le 3eme défi

  15. #12
    Minos_Dragoon

    Re : Dm de maths/spé maths TS

    Je dois rendre le DM pour mardi dans une semaine et demi mais vu que ce DM est très long j'aurais pas le résultat de suite.
    j'essayerais de lui demander une correction des défis avant et je la mettrais ici.
    Ceux qui font étalage de leur force se terrent lorsque les vrais puissants arrivent.

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