suite

[invite02eda9c4]

Bonjour

J'ai un Dm à faire, et je voudrais que vous m'aidiez

ENONCE :

On considèr la suite Un définie par :

U1=3/2
Un+1=1/2(Un+(2/Un)) pour tout n appartient N

1) Montrez que pour tout n appartient , Un>0

2) Montrer que pour tout n appartient N, Un+1-racin2=1/2(Un-racin2)² / Un
En déduire que, pour tout entier n>=1, Un>=racin2

3) Etudier le sens de variation de la suite (Un). En déduire qu'elle est convergente

4) Montrer que pour tout n appartient N, Un+1-racin2=1/2(Un-racin2)+(1/Un)-1/racin2
En déduire que pour tout n appartient N, Un-racin2 < 1/2^n (faire une démonstration par récurrence).

5) Déterminez alors la lim de la suite (Un)

J'ai besoin d'aide aux questions :

2)en déduire
3)en déduire
4)J'ai essayé de mettre au même dénominateur mais je ne trouve pas le résultat
en déduire
5) Je ne sais pas

Merci
-----

[Flyingsquirrel]

Salut,

Pour la 2) tu veux montrer que et tu sais que

Pour la 3) ton cours te dis qu'une suite décroissante et minorée (ou croissante et majorée) converge.

[invite02eda9c4]

3) il ne demande pas le majorant donc comment je fais?

[invitee625533c]

l'énoncé te demande de prouver qu'elle es convergente.
C'est à toi de penser et voir si tu dois utiliser un majorant ou un minorant.
Si comme si tu disais : l'énoncé me demande de résoudre mais il ne me parle pas de !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02eda9c4]

ok, puis je avoir de l'aide pour le 4)5)

[invitee625533c]

4) mets au même dénominateur

[invite02eda9c4]

j'ai mis au même dénominateur mais je ne trouve pas le résultat

[invitee625533c]

envoie le détail de tes calculs.

[invite02eda9c4]

=1/2Un+2/2Un-racin2
=(1/2Un*2Un+2-racin2*2Un)/2Un
=(Un²-2racin2Un+2)/2Un
=1(Un-racin2)²/2Un
=1/2(Un-racin2)²/Un ....>c'était le résultat pour 2)

[invitee625533c]

C'est incompréhensible.

[invite02eda9c4]

je vais écrire plus lisiblement

[invitee625533c]

=1/2Un+2/2Un-racin2
=(1/2Un*2Un+2-racin2*2Un)/2Un
=(Un²-2racin2Un+2)/2Un
=1(Un-racin2)²/2Un
=1/2(Un-racin2)²/Un ....>c'était le résultat pour 2)

J'ai enfin compris ce que tu as fait. C'est juste. Maintenant c'est la récurrence.

[invite02eda9c4]

comment sa la récurrence, il faut que je trouve

Un+1-racin2=1/2(Un-racin2)+(1/Un)-1/racin2

[invitee625533c]

=1/2Un+2/2Un-racin2
=(1/2Un*2Un+2-racin2*2Un)/2Un
=(Un²-2racin2Un+2)/2Un
=1(Un-racin2)²/2Un
=1/2(Un-racin2)²/Un ....>c'était le résultat pour 2)

J'ai cru comprendre que dans tes calculs
- t'es parti du membre de gauche 1/2(Un-racin2)+(1/Un)-1/racin2;
- que t'es arrivé à
=1/2Un+2/2Un-racin2 (d'ailleurs chose que tu n'as pas détaillé: j'ai pas vu);
- t'as fait le calcul pour trouver =1/2(Un-racin2)²/Un
c'était le résultat escompté non ?

[invite02eda9c4]

moi, ce que je veux savoir c'est comment faire pour trouver

Un+1-racin2=1/2(Un-racin2)+(1/Un)-1/racin2

c'est la question 4)

[invitee625533c]

Je sais bien que c'est la question 4).
Je viens de te répondre le plus exactement possible.
Et n'oublie pas ce que tu sais sur ta suite (voir question 2°)

[invite02eda9c4]

Donc, voilà, ce que j'ai fais pour le 4) mais je n'aboutis pas au résultat

= 1/2(Un-√2) + 1/Un -1/√2

=1/2Un-√ (1/2) + (1/Un)-1/√2

=1/2Un (-√ (1/2) + 1)/Un -1/√2

=1/2Un (-1+√2-1)/ √2Un

=1/2Un (-2+√2)/ √2Un

[invitee625533c]

Donc, voilà, ce que j'ai fais pour le 4) mais je n'aboutis pas au résultat

= 1/2(Un-?2) + 1/Un -1/?2

=1/2Un-? (1/2) + (1/Un)-1/?2

=1/2Un (-? (1/2) + 1)/Un -1/?2

=1/2Un (-1+?2-1)/ ?2Un

=1/2Un (-2+?2)/ ?2Un

je comprends les 2 premières lignes mais la 3ème est fausse:
tu ne mets aucun symbole après =1/2Un !!!

tu divises (-racine (1/2) + 1) par Un alors que( - racine(1/2) n'était pas divisé par ce Un !!!!!!
je n'y comprends rien !!!

d'autre part je t'avais dit que tes calculs précédents
"
=1/2Un+2/2Un-racin2
=(1/2Un*2Un+2-racin2*2Un)/2Un
=(Un²-2racin2Un+2)/2Un
=1(Un-racin2)²/2Un
=1/2(Un-racin2)²/Un ....>c'était le résultat pour 2)"

étaient justes.

[invite02eda9c4]

je n'y comprend rien, tu voudrais pas m'aidez pour le début, je sais que tu m'as donné des indications mais ça ne m'aide pas beaucoup.C'est un vrai casse-tête ce calcul

MERCI

[invitee625533c]

tu parles de quel début? de la question 4)?

[invite02eda9c4]

oui, pour le calcul

[invitee625533c]

Or

à toi maintenant de mettre au même dénominateur et tu vas trouver



en utilisant l'identité remarquable :.

[invite02eda9c4]

4) "en déduire", voici ma réponse:

Initialisation

U1-raci2<1/2^n
3/2-racin2<1/2

Hérédité

Prouvons le pour Un+1

Un+1-raci2<1/2^(n+1)
17/12-racin2<1/4

la proprièté est vraie pour n=1

Conclusion
..........

Merci de me dire si c'est sa qu'il faut faire

[invitee625533c]

NON !

pour lhérédité dis moi (écris le clairement s.t.p):

ce que tu dois supposer ?

ce que tu dois démontrer ? en partant de cette supposition.

[invite02eda9c4]

On suppose que Un-racin2<1/2^n et on doit démontrer que Un+1-raci2<1/2^(n+1)

[invitee625533c]

très bien, on est d'accord
maintenant quelle est la première expression qu'on doit écrire en tenant compte du mot en déduire ?

[invite02eda9c4]

Un+1-raci2<1/2^(n+1)
U₁-raci2<1/2^(1+1)
17/12-racin2<1/4