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parité des fonctions



  1. #1
    davido

    parité des fonctions


    ------

    bonjour,
    je suis entrain d'étudier la parité des fonctions algébriques.
    à partir d'une fonction je dois donner l'ensemble de définition ( ED) et dire si elle est paire, impaire ou quelconque.
    je sais qie je dois regarder par rapport à la valeur de x; si la valeur de x et -x est égal la fonction est paire si elle est inversée la fonction est impaire.
    le problème c'est que dans une fonction comme : 3x(2) + 2x + 6
    on obtien les deux cas : pour 3x(2),( PS: le x(2) veut dire x au carré) x sera tjrs positif ( donc comme une fonction paire) et 2x, donnera une valeur opposée si le nb est positif ou négatif ( comme une f. impaire )
    donc en gros on a les deux cas dans une meme fonction ???

    -----

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  3. #2
    davido

    Question Re : parité des fonction

    pouvez vous m'aider ?

  4. #3
    kaiswalayla

    Re : parité des fonction

    calcule f(1) et f(-1)...

  5. #4
    davido

    Re : parité des fonctions

    j'ai déja fait:

    f(1)= 3x(2) + 2x + 6
    f(-1) = 3x(2) - 2x + 6


  6. #5
    Tonton Nano

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par davido Voir le message
    j'ai déja fait:

    f(1)= 3x(2) + 2x + 6
    f(-1) = 3x(2) - 2x + 6

    D'où viennent ces x ?
    Si ce sont des multiplications, ne les écrit pas, ca sert à rien, ca fait perdre du temps et on ne comprend plus rien.


    Pour ton problème, le plus simple est de calculer f(-x) et de regarder tout simplement si f(-x) = f(x) (fonction paire) ou si f(-x) = -f(x) (fonction impaire).

    Ici, f(-x) = ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    kaiswalayla

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par davido Voir le message
    j'ai déja fait:

    f(1)= 3x(2) + 2x + 6
    f(-1) = 3x(2) - 2x + 6

    Non, f(1)=...=11
    calcule f(-1) puis conclus.

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  10. #7
    davido

    Re : parité des fonctions

    de quoi d'ou viennent ces x ? ce sont les x de la fonction ..

    f(-x) = 3x(2) - 2x + 6 si jamais (2) , signifie " au carré "

  11. #8
    Tonton Nano

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par davido Voir le message
    ce sont les x de la fonction ..
    Ok mais pour f(1), il ne devrait plus y avoir de x non ?

  12. #9
    kaiswalayla

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par davido Voir le message
    j'ai déja fait:

    f(1)= 3x(2) + 2x + 6
    f(-1) = 3x(2) - 2x + 6

    t'as remplacé x par 1 à gauche mais tu ne l'as pas remplacé à droite !!!!!

    de même pour -1

  13. #10
    danyvio

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par davido Voir le message
    j'ai déja fait:

    f(1)= 3x(2) + 2x + 6
    f(-1) = 3x(2) - 2x + 6

    f(1)= 3x(2) + 2x + 6 = combien ???? scrongneugneu !!!
    f(-1) = 3x(2) - 2x + 6 = combien ???? scrongneugneu !!!

    Combien signifie une valeur numérique : 8 ? 256 ? 3,14 ? 1789 ? ou quoi ???
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  14. #11
    Tonton Nano

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    f(1)= 3x(2) + 2x + 6 = combien ???? scrongneugneu !!!
    f(-1) = 3x(2) - 2x + 6 = combien ???? scrongneugneu !!!

    Combien signifie une valeur numérique : 8 ? 256 ? 3,14 ? 1789 ? ou quoi ???
    Non !
    c'est f(x) qui vaut 3x(2) + 2x + 6 , pas f(1) !!!!

    Si tu veux montrer que la fonction est paire (ou impaire), il faut montrer que POUT TOUT x, f(x) = f(-x) (ou f(x) = -f(-x)).
    L'étudier en 1 point ne sert à rien. Maintenant, pour prouver qu'elle n'est ni paire ni impaire, on peut montrer qu'aucune des deux relations précédentes n'est vérifiée mais ca ne va pas plus vite !

  15. #12
    danyvio

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par Tonton Nano Voir le message
    Non !
    c'est f(x) qui vaut 3x(2) + 2x + 6 , pas f(1) !!!!

    Si tu veux montrer que la fonction est paire (ou impaire), il faut montrer que POUT TOUT x, f(x) = f(-x) (ou f(x) = -f(-x)).
    L'étudier en 1 point ne sert à rien. Maintenant, pour prouver qu'elle n'est ni paire ni impaire, on peut montrer qu'aucune des deux relations précédentes n'est vérifiée mais ca ne va pas plus vite !
    Tonton Nano a raison, il faut revenir aux simples définitions des fonctions paires, impaires ou autres, sans se polariser sur des valeurs particulières de la variable, ce qui peut faire arriver à un résultat FAUX simplement parce que pour une valeur particulière, la fonction peut SEMBLER paire (ou impaire) alors qu'elle ne l'est pas.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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  17. #13
    davido

    Re : parité des fonctions

    f(1)= 3x(2) + 2x + 6 = 11
    f(-1) = 3x(2) - 2x + 6 = 7

    je savais pas qu'on devait se baser sur le résultat de la fonction...
    donc cette fonction est impair ?

  18. #14
    Tonton Nano

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par davido Voir le message
    f(1)= 3x(2) + 2x + 6 = 11
    f(-1) = 3x(2) - 2x + 6 = 7
    C'est faux !


    f(1) = 11 c'est juste
    f(-1) = 7 c'est juste
    f(1)= 3x(2) + 2x + 6 c'est faux !

    A partir du moment où tu remplaces x par 1, tu le remplaces PARTOUT !

    Et f n'est pas impaire

  19. #15
    Blau3grana

    Re : parité des fonctions

    N'est -il pas plus facile de faire:
    f(-x)= .... et si f(x)=f(-x) alors fonction paire
    et si f(x) different de f(-x) alors calculé
    -f(x)=... et si f(x)=-f(x) alors la fonction est impaire

    Verifier que l'ensemble de definition en centré en 0

  20. #16
    davido

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par Tonton Nano Voir le message
    C'est faux !


    f(1) = 11 c'est juste
    f(-1) = 7 c'est juste
    f(1)= 3x(2) + 2x + 6 c'est faux !

    A partir du moment où tu remplaces x par 1, tu le remplaces PARTOUT !

    Et f n'est pas impaire
    je comprends plus rien et je ne comprends pas ou est le probème.

    alors pourrais tu m'expliquer comment tu procèdes ?

  21. #17
    Tonton Nano

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par davido Voir le message
    je comprends plus rien et je ne comprends pas ou est le probème.

    alors pourrais tu m'expliquer comment tu procèdes ?
    Le probleme est que tu écris que f(1) = quelque chose qui dépend de x.
    C'est pas vrai !

    f(1) = 3 + 2 + 6 = 11 (ya plus de x la-dedans !)

    Ma méthode est différente :
    Je calcule f(-x) :
    f(-x) = 3x(2) - 2x +6
    et je regarde si c'est égal à f(x) ou à -f(x).

    C'est plus général que de regarder ce qu'il se passe en un seul point.
    et comme le souligne Blau3grana, il faut vérifier que l'ED est symétrique (en gros, que f(-x) existe)

  22. #18
    kaiswalayla

    Re : parité des fonctions

    si je peux me permettre, dans sa formation intellectuelle ou disons scolaire, l'élève doit pouvoir interpréter le résultat d'un calcul fait sur des valeurs particulières:
    ici les valeurs de f(1) et f(-1) conduisent: f est ni ni

    comment voulez vous demander à un élève qui remplace x à gauche par 1 et pas à droite (et ce n'est pas une critique davido )
    de pouvoir conclure avec le résultat 2x=-2x ? qu'il aura obtenu quant à la parité ou non de la fonction ???

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  24. #19
    davido

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par Tonton Nano Voir le message
    Le probleme est que tu écris que f(1) = quelque chose qui dépend de x.
    C'est pas vrai !

    f(1) = 3 + 2 + 6 = 11 (ya plus de x la-dedans !)

    Ma méthode est différente :
    Je calcule f(-x) :
    f(-x) = 3x(2) - 2x +6
    et je regarde si c'est égal à f(x) ou à -f(x).

    C'est plus général que de regarder ce qu'il se passe en un seul point.
    et comme le souligne Blau3grana, il faut vérifier que l'ED est symétrique (en gros, que f(-x) existe)

    ok encore une chose,
    je comprends pas bien la différence entre f(-x) et -f(x) ?
    merci

  25. #20
    Tonton Nano

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par davido Voir le message
    ok encore une chose,
    je comprends pas bien la différence entre f(-x) et -f(x) ?
    merci
    f(-x), c'est la valeur que prend la fonction f en -x
    -f(x) c'est l'opposé de la valeur que prend f en x

    Si la fonction est impaire, c'est la même chose !

    Un exemple : je me place en x = 4.
    f(-4) = 3 * 4^2 + 2 * 4 + 6
    -f(4) = -(3 * (-4)^2 + 2 * (-4) + 6)

  26. #21
    Tonton Nano

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par kaiswalayla Voir le message
    si je peux me permettre, dans sa formation intellectuelle ou disons scolaire, l'élève doit pouvoir interpréter le résultat d'un calcul fait sur des valeurs particulières:
    ici les valeurs de f(1) et f(-1) conduisent: f est ni ni
    Bien sur ... mais je pense qu'il vaut mieux commencer par appliquer les définitions, à utiliser les méthodes générales ("qui marchent à tous les coups") avant de passer par des méthodes plus spécifiques et souvent plus rapides.

    Selon moi, une fois que la question aura été résolue N fois (N étant à l'appréciation du correcteur !!!!), l'élève utilisera par lui-même les astuces ou les raccourcis tels que celui que tu proposes.

    Mais bon, c'est une question de point de vue ...

  27. #22
    danyvio

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par kaiswalayla Voir le message
    si je peux me permettre, dans sa formation intellectuelle ou disons scolaire, l'élève doit pouvoir interpréter le résultat d'un calcul fait sur des valeurs particulières:
    ici les valeurs de f(1) et f(-1) conduisent: f est ni ni
    NON Tout au plus peut-il vérifier (au brouillon) son résultat s'il a un doute. En aucun cas, dans ce problème précis, effectuer directement une application numérique ne peut servir de démo.

    Quand on demande par ex f(x)=x2 est-elle paire ou impaire ?

    On écrit f(x) = x2
    puis f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) . On en conclut que cette fonction est paire.

    Pour DAVIDO : quelle est la difficulté de comparer 3x2 + 2x + 6
    et 3x2 - 2x + 6 ? Sont-ils égaux ? De signe opposé ?
    Si ces deux termes sont égaux, tous ses constituants sont égaux. Est-ce le cas ?
    Les éléments sont -ils de signes opposés ?
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  28. #23
    vibraphone

    Re : parité des fonctions

    Je vois pas où est le problème.
    f(-x)=3(-x)2+2(-x)+6=3x2-3x+6≠f(x) et ≠-f(x)
    elle n'est ni paire ni impaire.

  29. #24
    danyvio

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par vibraphone Voir le message
    Je vois pas où est le problème.
    f(-x)=3(-x)2+2(-x)+6=3x2-3x+6≠f(x) et ≠-f(x)
    elle n'est ni paire ni impaire.
    Il n'y a pas de problème, sauf celui qui consiste à donner la solution au lieu d'amener à réfléchir, ce qui est un peu le but du site...
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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  31. #25
    vibraphone

    Re : parité des fonctions

    Désolé, je croyais qu'il y avait un problème.

  32. #26
    DSCH

    Re : parité des fonctions

    Il y a en effet un problème. Je ne sais pas si c'est bien raisonnable d'ajouter de l'huile sur le feu, mais en toute rigueur, seul le raisonnement de kaiswalayla est correct (du moins n'est pas incomplet).

    C'est un problème de quantification : l'élève qui apprend qu'une fonction f est paire lorsque f(-x)=f(x) n'a appris que la moitié de la définition. La définition complète, pour une fonction f dont l'ensemble de définition D est symétrique par rapport à 0, est : « f est paire si pour tout x dans D, on a f(-x)=f(x) ». La négation de cet énoncé donne : « f n'est pas paire s'il existe un x dans D, tel qu'on ait f(-x)≠f(x) ». Du coup, pour montrer qu'une fonction f n'est pas paire, il est naturel d'essayer d'exhiber un x tel que f(-x) et f(x) diffèrent. (Je passe sur le cas impaire/pas impaire, les énoncés sont analogues).

    Plus généralement, pour montrer qu'un énoncé quantifié par « pour tout x » est faux, on exhibe un contre-exemple ; alors que pour montrer qu'il est vrai, on fait une démonstration générale (et les élèves sont censés savoir cela).

    Quant à penser que les calculs de f(-x) et de f(x) pour tout x, au lieu d'un x particulier, suffisent pour montrer que la fonction f n'est pas paire (sous-entendu : qui peut le plus peut le moins), c'est une erreur : et si l'on avait obtenu, disons f(-x)=3(x-1)+2 et f(x)=3(x+1)-4, on aurait conclu que n'obtenant pas la même chose dans les deux cas, la fonction ne serait pas paire ? Pour montrer rigoureusement que deux expressions dépendant de x ne coïncident pas pour tout x, on ne peut se contenter de regarder la tête de ces expressions, on doit exhiber (au moins) un x particulier…

    Bref, aucun problème pour calculer f(-x) pour x quelconque si l'on ne devine pas a priori si la fonction qu'on étudie est paire, impaire, ou ni l'un ni l'autre. Mais pour conclure, dans le cas ni-ni, on doit choisir une valeur de x particulière pour laquelle f(-x) et f(x) diffèrent. Si l'on a déjà deviné qu'on est dans ce cas, inutile de faire le calcul général, on peut tout de suite passer à ce contre-exemple.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  33. #27
    vibraphone

    Re : parité des fonctions

    Je suis entièrement d'accord avec toi, ton raisonnement est mathématiquement parfait. Seulement imaginons que dans le devoir tu n'aie pas le droit à la calculatrice : tu ne sait absolument pas à quoi ressemble la fonction, et onc tu ne peux pas conjecturer qu'elle soit paire ou impaire. Le plus logique est d'essayer de montrer qu'elle est paire ou impaire plutôt que d'essayer de trouver un contre exemple (enfin c'est ce que je pense).

  34. #28
    vibraphone

    Re : parité des fonctions

    En revanche tu fais une erreur de raisonnement quand tu dis que :
    si l'on avait obtenu, disons f(-x)=3(x-1)+2 et f(x)=3(x+1)-4, on aurait conclu que n'obtenant pas la même chose dans les deux cas, la fonction ne serait pas paire
    , car f(-x)=3(x-1)+2=3x-3+2=3x-1=3x+3-4=3(x+1)-4=f(x) : elle est donc paire !
    PS : si je n'ai pas parlé de l'ensemble de définition dans mon post précédant c'est parce que le fonction étant un polynôme, donc je pensais que ce serait naturel à tout le monde de mettre dans la copie que Df=R, donc Df est symétrique/0.

  35. #29
    DSCH

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par vibraphone Voir le message
    Seulement imaginons que dans le devoir tu n'aie pas le droit à la calculatrice : tu ne sait absolument pas à quoi ressemble la fonction, et onc tu ne peux pas conjecturer qu'elle soit paire ou impaire. Le plus logique est d'essayer de montrer qu'elle est paire ou impaire plutôt que d'essayer de trouver un contre exemple (enfin c'est ce que je pense).
    C'est exactement ce que j'ai écrit dans mon dernier paragraphe. Cela dit, cela ne dispense pas, une fois le calcul de f(-x) et f(x) effectué, et qu'on réalise que f semble finalement ni paire ni impaire, d'exhiber un exemple de valeur de x pour lequel on a bien f(-x)≠f(x) ; ce n'est pas rigoureux d'en rester aux expressions en fonction de x et d'affirmer qu'elles sont différentes « parce qu'elles n'ont pas la même tête ».

    Le cas de f(-x)=3(x-1)+2 et f(x)=3(x+1)-4 est bidon (en fait ces deux expressions sont contradictoires !), mais il y a des situations où cela n'a rien d'évident. Par exemple, pour , si l'on se contente de comparer f(-x) et f(x) « à vue de nez », on risque de penser que la fonction n'est ni paire, ni impaire, à tort… Alors qu'en essayant d'exhiber un contre-exemple, on voit bien qu'on n'arrive pas à en trouver, et qu'au contraire la fonction semble impaire… Ensuite, pour le démontrer, il faut bien sûr faire un calcul général valable pour tout x.

    De toute façon, c'est une démarche naturelle pour un mathématicien de tester quelques exemples avant de s'attaquer au cas général ! Finalement, je retire le dernier paragraphe de mon message précédent : s'attaquer bille en tête au calcul de f(-x) pour tout x sans regarder des exemples auparavant, c'est typiquement la démarche d'un élève formaté pour démontrer qu'une fonction est paire ou impaire (si elle était ni l'une ni l'autre, on ne lui aurait pas posé la question, se dit-il), mais non, ça n'est pas naturel pour celui qui se donne une fonction et se demande si elle possède des propriétés de symétrie. Si l'on prend une fonction « au hasard » (bon, je ne cherche pas à définir ce terme rigoureusement), elle a toutes les chanches d'être ni paire ni impaire ; pourquoi serait-il naturel d'essayer de montrer une propriété rarissime, alors qu'il est si simple de vérifier que cette exception n'a pas lieu ?
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  36. #30
    DSCH

    Re : parité des fonctions

    Citation Envoyé par vibraphone Voir le message
    En revanche tu fais une erreur de raisonnement quand tu dis que :, car f(-x)=3(x-1)+2=3x-3+2=3x-1=3x+3-4=3(x+1)-4=f(x) : elle est donc paire !.
    Non, je ne fais pas d'erreur de raisonnement (à ceci près que l'exemple choisi est volontairement bidon, et que je mime une erreur de raisonnement d'élève, nuance), mais tu sembles ne pas avoir compris le point crucial. Bien sûr, pour montrer que f est paire, il faut faire le calcul dans le cas général (et le pousser jusqu'au bout !). Mais pour montrer que f n'est pas paire, faire le calcul dans le cas général ne permet en aucun cas de conclure. Tant que tu n'as pas exhibé un contre-exemple, tu peux faire tous les calculs généraux que tu veux, torturer tes expressions dans tous les sens sans réussir à montrer que les deux termes sont égaux, cela ne démontre rien (ce n'est pas parce qu'on n'a pas réussi à le faire que c'est impossible).
    Dernière modification par DSCH ; 05/11/2007 à 16h11. Motif: typo et complément
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

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