Barycentre

[invite693d963c]

Bonjour,

J'ai un Dm à faire et je bloque sur la première question

L'énoncé est le suivant : Soit ABC un triangle du plan tel que AB=6 ; BC=5 et AC=4. Soit G son centre de gravité.

Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que || MA + MB + MC || = 4. ( Les points Sont des vecteurs )

Mon approche face à ce genre de question :

- C'est un somme de distance de vecteur qui doit être égal à 4 donc les points M se trouvent sur un cercle.

- M est un point quelconque du plan donc je pense directement à la propriété de reduction qui dit que xMa + yMB + zMc = (x+y+z)MG ( Les points sont des vecteurs ). Cependant sans les pondérations de { (A ;x) (B;y) (C;z) }, je ne peut pas avancer.

- J'essaye de trouver les pondérations en faisant un croquis de la figure. Je sépare AC en 4 partie equidistant ( AC vaut 4 cm ). Je peut en déduire que mon point I milieu de AC => I est le barycentre de { (B;2.5) (C;2.5) } soit
{ (B;5) (C;5) } d'apres la propriété d'homogénéité. Et j'effectue la même chose pour le reste. Cependant je n'arrive pas à faire de lien avec ma question

- Je reste 2 h devant cette question sans avoir aucune réponse


Merci
-----

[invitea3eb043e]

Et si tu prenais x=y=z=1 ?

[invite693d963c]

Et si tu prenais x=y=z=1 ?

- 1 + 1 + 1 différent de 0 <=> G est le barycentre de { (A;1)(B;1)(C;1) }

D'après la propriété de réduction, on a,
||MA + MB + MC|| = 3MG
soit ||3MG|| = 4 <=> Mg = 4/3

On a donc un cercle de rayon 4/3 où M sera présent tel que || MA + MB + MC || = 4

[invitea3eb043e]

Et toc !..................

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite693d963c]

Juste au passage ( Trou de mémoire avec ces vacances )

3 MG = 3 ( MX + XG ) X étant un point quelconque

[invite693d963c]

Juste au passage ( Trou de mémoire avec ces vacances )

3 MG = 3 ( MX + XG ) X étant un point quelconque

C'est pour répondre à la question :

Montrer que pour tout point M du plan, 2Ma -MB-MC =2IA, où I est le milieu de BC

[invitea3eb043e]

Oui, bien sûr.
On peut attaquer le problème de manière bestiale en écrivant (entre vecteurs) :
2 MA -MB - MC = 2(MI + IA) - (MI + IB) - (MI + IC) = 2 IA - IB - IC
Ca, c'est vrai pour tout point I.
Si I est maintenant le milieu de BC alors IB + IC = 0
Mais on peut faire plus élégant, c'est sûr.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Juste au passage ( Trou de mémoire avec ces vacances )

3 MG = 3 ( MX + XG ) X étant un point quelconque

C'est pour répondre à la question :

Montrer que pour tout point M du plan, 2Ma -MB-MC =2IA, où I est le milieu de BC

Oui, c'est l'utilisation de la relation de Chasles.

Duke.

EDIT : Grillé

[invite693d963c]

Oui, bien sûr.
On peut attaquer le problème de manière bestiale en écrivant (entre vecteurs) :
2 MA -MB - MC = 2(MI + IA) - (MI + IB) - (MI + IC) = 2 IA - IB - IC
Ca, c'est vrai pour tout point I.
Si I est maintenant le milieu de BC alors IB + IC = 0
Mais on peut faire plus élégant, c'est sûr.

Qu'entends tu par "élégant" ?
J'ai toujours utilisé ta méthode " bourrine "

[invite693d963c]

Quel est l'ensemble I des points M du plan tels que || MA + MB + MC || =
|| 2MA -MB -MC ||?

|| MA + MB + MC || = || 2MA - MB - MC ||
3MG = 2IA

Est ce que je peux dire que 4 = 2IA soit IA = 2 ?

[invite693d963c]

Quel est l'ensemble I des points M du plan tels que || MA + MB + MC || =
|| 2MA -MB -MC ||?

|| MA + MB + MC || = || 2MA - MB - MC ||
3MG = 2IA

Est ce que je peux dire que 4 = 2IA soit IA = 2 ?

Il faut que je trouve la configuration qui permet de dire que 3 fois MG c'est à dire 4 unité est égale à 2 fois IA soit AB c'est a dire 6 unité

[invitea3eb043e]

Oui, ça va.
Une méthode plus élégante consisterait à dire qu'il n'existe pas de barycentre de (A,2),(B,-1), (C,-1) parce que la somme des coefficients vaut zéro, donc la somme est constante et je la calcule en prenant M en I. Point.

[invite693d963c]

Oui, ça va.
Une méthode plus élégante consisterait à dire qu'il n'existe pas de barycentre de (A,2),(B,-1), (C,-1) parce que la somme des coefficients vaut zéro, donc la somme est constante et je la calcule en prenant M en I. Point.

C'est plus zoli

[invite693d963c]

Il faut que je trouve la configuration qui permet de dire que 3 fois MG c'est à dire 4 unité est égale à 2 fois IA soit AB c'est a dire 6 unité

Moi ce que je pense :

Quel est l'ensemble I des points M du plan tels que || MA + MB + MC || =
|| 2MA -MB -MC ||?

Donc, on a,

|| MA + MB + MC || = || 2MA -MB -MC ||
La somme des longueurs de ces vecteurs doivent être égaux.

On sait que,

MA + MB + MC = 3MG
2MA -MB -MC = 2IA

Alors, on a,

3MG = 2IA
MG est le rayon du cercle de 4/3 d'unité donc 3MG est égal à 3 x (3/4) soit 4 unité.
2IA vaut 6 unité car I est milieu de AB.

Donc,
Quel est l'ensemble I des points M du plan tels que 4 unité = 6 unité => S = { ensemble vide }
4 différent de 6

[invitea3eb043e]

Je ne comprends pas, tu es en train de mélanger 2 cas : celui où le module de la somme vaut 4 et celui où il vaut 2 IA.
2 IA ne vaut pas 4, on peut le calculer assez facilement et on ne trouve pas 4.

[invite693d963c]

Je ne comprends pas, tu es en train de mélanger 2 cas : celui où le module de la somme vaut 4 et celui où il vaut 2 IA.
2 IA ne vaut pas 4, on peut le calculer assez facilement et on ne trouve pas 4.

Je me mélange de partout, je vais donc essayer de calculer 2AI.

D'après l'énoncé,
BC = 5 cm...I est le milieu de [BC]

On a,
I médiane de [BC] passant par A ; G est le centre de gravité du triangle c'est à dire l'isobarycentre des points A, B et C <=> AG = (2/3)AI

Je ne suis pas dans un triangle rectangle => Je n'utilise pas Pythagore et La Trigonométrie
Je vois pas de configuration de Thalès

[invitea3eb043e]

Non, pas de Thalès mais si tu connais la relation du cosinus dans les triangles, tu peux y arriver en l'écrivant dans le triangle ABC :
AC² = AB² + BC² - 2 AB . BC . cos(B)
et la même chose dans le triangle ABI.
AI² = ...
C'est le même cosinus de B, donc tu l'élimines entre les deux expressions.
Si tu ne connais pas ce théorème, tu ne peux que mesurer sur le dessin.

[invite693d963c]

Non, pas de Thalès mais si tu connais la relation du cosinus dans les triangles, tu peux y arriver en l'écrivant dans le triangle ABC :
AC² = AB² + BC² - 2 AB . BC . cos(B)
et la même chose dans le triangle ABI.
AI² = ...
C'est le même cosinus de B, donc tu l'élimines entre les deux expressions.
Si tu ne connais pas ce théorème, tu ne peux que mesurer sur le dessin.

Je ne connais que les relations :

Sin = opp / hyp
Cos = adj / hyp
Tang = opp / adj

Je pense que ma méthode de résolution du porlbème ne me permet pas de la résoudre avec mes connaissances
Je doit donc trouvé un autre moyen mais lequel ?

[invitea3eb043e]

Tu fais un dessin et tu mesures. Tu en profites pour dessiner le cercle.
D'ailleurs, tu n'as pas besoin de connaître la valeur du rayon pour tracer le cercle, il suffit de le reporter sur le dessin.

[invite693d963c]

Je ne connais que les relations :

Sin = opp / hyp
Cos = adj / hyp
Tang = opp / adj

Je pense que ma méthode de résolution du porlbème ne me permet pas de la résoudre avec mes connaissances
Je doit donc trouvé un autre moyen mais lequel ?

On sait qu'on travaille dans le domaine du barycentre cependant je ne sais pas par ou commencé
( On m'a toujours dit que mesurer un objet en math par un dessin ca ne prouve rien cependant vu que c'est la seule chose a faire, je vais en profiter )

[invitea3eb043e]

On sait qu'on travaille dans le domaine du barycentre cependant je ne sais pas par ou commencé
( On m'a toujours dit que mesurer un objet en math par un dessin ca ne prouve rien cependant vu que c'est la seule chose a faire, je vais en profiter )

Ben tu commences par trouver l'isobarycentre du triangle, c'est le point de concours des médianes, pas trop dur.
Ensuite tu as trouvé 2 cercles par les calculs précédents, tu les traces et c'est fini.

[invite693d963c]

Ben tu commences par trouver l'isobarycentre du triangle, c'est le point de concours des médianes, pas trop dur.
Ensuite tu as trouvé 2 cercles par les calculs précédents, tu les traces et c'est fini.

Je trace un cercle de rayon 4 unité pour 3MG et 9.2 unité pour 2IA cependant les cercles ne se touchent pas

[invite693d963c]

Je trace un cercle de rayon 4 unité pour 3MG et 9.2 unité pour 2IA cependant les cercles ne se touchent pas

Oups... J'ai encore confondu le module de la somme vaut 4 et celui où il vaut 2 IA

[invite693d963c]

Oups... J'ai encore confondu le module de la somme vaut 4 et celui où il vaut 2 IA

Comment tracer des cercles en ne connaissant pas leur rayon

|| 2MA -MB -MC || = 2IA
Nous connaissons I milieur de BC et A sommet du triangle ABC. Il nous suffit donc de reporter 2 fois la distance IA et de tracer un rayon de cette distance qui aura pour centre I.


|| MA + MB + MC || = 3MG
M est un point "imaginaire", il n'est pas défini avec une valeur exacte. Meme avec une méthode avec l'utilisation du théorème de Charles qui dit que AC = AB + BC, on arrive pas à grand chose je ne peux pas tracer ce cercle

[invite693d963c]

Quel est l'ensemble I des points M du plan tels que || MA + MB + MC || =
|| 2MA -MB -MC ||?



Cette question me pose problème vu que je ne vois pas comment calculer 3MG

Le calcul de 2IA me semble faisable cependant avec les outils de résolution dont je dispose me permettent pas de résoudre le calcul ( Sauf en mesurant l'angle sur le dessin ).

Je peux utiliser la relation :
Non, pas de Thalès mais si tu connais la relation du cosinus dans les triangles, tu peux y arriver en l'écrivant dans le triangle ABC :
AC² = AB² + BC² - 2 AB . BC . cos(B)
et la même chose dans le triangle ABI.
AI² = ...
C'est le même cosinus de B, donc tu l'élimines entre les deux expressions.
Si tu ne connais pas ce théorème, tu ne peux que mesurer sur le dessin.
Cependant je ne l'ai pas encore vu en cours donc je ne peux pas l'utiliser

Y a t -il un moyen de résoudre cela par une méthode faisant intervenir le barycentre ( propriété de reduction ) ?

[invite693d963c]

Quel est l'ensemble I des points M du plan tels que || MA + MB + MC || =
|| 2MA -MB -MC ||?



Cette question me pose problème vu que je ne vois pas comment calculer 3MG

Le calcul de 2IA me semble faisable cependant avec les outils de résolution dont je dispose me permettent pas de résoudre le calcul ( Sauf en mesurant l'angle sur le dessin ).

Je peux utiliser la relation :
Non, pas de Thalès mais si tu connais la relation du cosinus dans les triangles, tu peux y arriver en l'écrivant dans le triangle ABC :
AC² = AB² + BC² - 2 AB . BC . cos(B)
et la même chose dans le triangle ABI.
AI² = ...
C'est le même cosinus de B, donc tu l'élimines entre les deux expressions.
Si tu ne connais pas ce théorème, tu ne peux que mesurer sur le dessin.
Cependant je ne l'ai pas encore vu en cours donc je ne peux pas l'utiliser

Y a t -il un moyen de résoudre cela par une méthode faisant intervenir le barycentre ( propriété de reduction ) ?

|| MA + MB + MC || = || 3MG ||
|| MA + MB || = || 3MG - MC ||
|| -BM + MA || = || -3GM -MC ||
|| -BA || = || -3GC ||
|| BA || = || 3GC ||


|| 2MA -MB -MC || = || 2IA ||
|| 2MA +BM -MC || = || 2IA ||
|| MA - MC = || 2IA ||
|| -AC || = || 2IA ||