Sinus spé maths

[inviteb6693cd2]

bonjour a tous, j'ai un problème sur l'exercice suivant, j'ai repondu a la question et et la 2 ( je ne sais pas si la deux est bonne mais j'ai demontré par récurrence):

on cherche à savoir pour quelle(s) valeur(s) de l'entier naturel n, sin(2^n) est le plus grand possible, 2^n étant la mesure d'un angle en degré.

1) décomposer 360 en facteurs premiers
2) démontrer que pour tout n>(ou égal) 3 , 2^(n+12) est congru modulo à 2^n (360)

3) en déduire qu'il suffit d'observer les valeurs de sin (2^n) pour 0<(ou égal) n < (ou égal) 14

4) quelle est la valeur maximale de sin (2^n) ?

aidez moi s'il vous plait merci
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[invite1237a629]

Salut,

Nous, on n'aime pas ce qui est urgent. On fait des maths, doigts de pied en éventail, le verre de pastis à la main.



Sinon, pour la question 2, je ne démontrerais pas ça par récurrence...tu peux, mais je trouve ça compliqué.
2^(n+12) = 2^n * 2^12 non ?
Ben now tu as juste à montrer que 2^12 est congru à 1 modulo 360

Pour la 3), tu as juste à te servir de la question précédente : tout nombre de la forme 2^(n+12) sera congru à 2^n, pour n > 2 (strictement), ce qui revient à n > 3 (ou égal)
Par exemple, quand n = 12, tu peux certes écrire de la forme n = x+12, mais x n'est pas > 2 (petit changement de nom à comprendre), donc tu ne peux pas "simplifier"
Donc c'est seulement lorsque n > 14 que tu pourras effectuer la "simplification" de 12+n en n.
Donc les valeurs possibles de n seront toujours comprises entre ... ? et ... ?


Allez, je t'ai bien aidé là ^^ ce dont tu dois te servir est souligné
Par contre, j'suis pas sûre que tu comprennes l'explication :/ c'est pas forcément clair
Et puis il y a sûrement une démonstration plus formelle...là, ce sont des sortes de pistes

[inviteb6693cd2]

je n'es pas trop compris ton explication surtout pour le changement avec n = x +12 :s

[invite1237a629]

Bon suppose que tu étudies les congruences de 2^N

Quand N dépasse 14, tu peux l'écrire sous la forme 12+n, avec n > 2. Mais Quand N est entre 12 et 14, certes ça peut s'écrire sous la forme 12+n, mais n n'est pas > 2.
Ne parlons pas du cas N < 12 ^^

Valà le truc

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb6693cd2]

ok merci et donc a partir de là on peut dire que les valeur de sin (2^n) sont compris entre 0 et 14

et pour la 4) je calcule tout les sin 2^0 , sin 2^1.....sin 2^14 et je regarde la plus grande valeur ?

[invite1237a629]

Oui

Enfin je vois pas d'autre méthode pour le moment
Mais ça risque d'être fastidieux...
Marche bien par congruences par rapport à 360...
Sers toi du fait que la fonction sinus est croissante de -180 à 180, ça te permettra d'éliminer ce bouiboui au fur et à mesure

[inviteb6693cd2]

merci beaucoup de ton aide mimoimolette

[invite1237a629]

De rien :-p

Et j'ai dit une énorme bêtise... sinus est croissante de -90 (=270) à 90 et décroissante de 90 à -90 (=270)