DM composition de fonctions (1°S)

[invite7fc83dff]

Bonjour !
J'ai un DM de maths à faire mais un exo me pose problème :

Soit f une fonction affine définie sur R (réels) par f(x)=ax+b (a appartient à R et b appartient à R). On note id la fonction définie sur R par id(x)=x (id est appelée fonction identité).
1)A quelle(s) condition(s) a-t-on fof=id ? (on lit f "rond" f)
2)Donner trois fonctions affines différentes vérifiant fof=id.

Ce que j'ai fait :
fof(x)=f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b) +b=a^2x+ab+b
après pour prouver l'égalité j'ai réduit l'égalité a^2x+ab+b=x et j'ai trouvé
x=-b/(a-1)
Voila après je sais pas trop quoi dire !!! Svp aidez moi !
Merci d'avance !!
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[invite03f2c9c5]

Bonjour !
J'ai un DM de maths à faire mais un exo me pose problème :

Soit f une fonction affine définie sur R (réels) par f(x)=ax+b (a appartient à R et b appartient à R). On note id la fonction définie sur R par id(x)=x (id est appelée fonction identité).
1)A quelle(s) condition(s) a-t-on fof=id ? (on lit f "rond" f)
2)Donner trois fonctions affines différentes vérifiant fof=id.

Ce que j'ai fait :
fof(x)=f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b) +b=a^2x+ab+b
après pour prouver l'égalité j'ai réduit l'égalité a^2x+ab+b=x et j'ai trouvé
x=-b/(a-1)
Voila après je sais pas trop quoi dire !!! Svp aidez moi !
Merci d'avance !!

Bonsoir, jusqu'à l'égalité , il n'y a rien à redire, mais ensuite, tu souhaites que cette égalité soit vérifiée pour tout réel et non seulement pour une valeur de particulière. Il s'agit d'indentifier les coefficients de deux polynômes de degré un : tu veux avoir et . Je te laisse poursuivre…

[invite7fc83dff]

Bonsoir, jusqu'à l'égalité , il n'y a rien à redire, mais ensuite, tu souhaites que cette égalité soit vérifiée pour tout réel et non seulement pour une valeur de particulière. Il s'agit d'indentifier les coefficients de deux polynômes de degré un : tu veux avoir et . Je te laisse poursuivre…

Merci pour ta réponse mais d'après ce que tu as dis il faut avoir des notions sur les polynômes or mon prof n'a pas encore abordé ce chapitre !! et je ne sais pas comment m'y prendre ! Si tu pouvais me donner plus de détails sur la manière de s'y prendre...

[invitee3b6517d]

Merci pour ta réponse mais d'après ce que tu as dis il faut avoir des notions sur les polynômes or mon prof n'a pas encore abordé ce chapitre !! et je ne sais pas comment m'y prendre ! Si tu pouvais me donner plus de détails sur la manière de s'y prendre...

Hello,

tu as

donc en identifiant il te faut et

As toi de trouver et .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03f2c9c5]

Bon, dans un cas si simple, on n'a pas besoin de connaître beaucoup de théorie sur les polynômes. Comme tu l'as remarqué, si l'on avait , on n'obtiendrait qu'une seule valeur de vérifiant l'équation ; comme on souhaite qu'elle soit vérifiée pour tout réel , cela ne convient pas.

Ainsi, nécessairement, on veut . Mais dans ce cas, l'équation devient . C'est ainsi que tu obtiens ces deux conditions nécessaires pour que l'égalité soit vérifiée pour tout . Ces conditions sont évidemment aussi suffisantes. En résumé, cela te donne toutes les fonctions affines que tu cherches.

[invite7fc83dff]

Hello,

tu as

donc en identifiant il te faut et

As toi de trouver et .

Ok donc, si a²=1 et b(1+a)=0 donc a=1 et b=0 de plus il peut y avoir a=-1 et b quelconque. C'est ça ?

[invite03f2c9c5]

Ok donc, si a²=1 et b(1+a)=0 donc a=1 et b=0 de plus il peut y avoir a=-1 et b quelconque. C'est ça ?

Oui, c'est ça.

[invite7fc83dff]

Merci pour vos réponses ça m'a beaucoup aidé !