Salut tout le monde.
On choisit un nombre strictement positif et on l'ajoute à son inverse. Quelle somme minimale peut-on obtenir?
(Aide: on pourra faire une conjecture à l'aide de la calculatrice puis la démontrer.)
Je bloque sur un exercice de maths depuis 2 jours et je n'arrive pas à avancer si quelqu'un pourrait m'aider... Merci d'avance.
Salut,
J'ignore de quel niveau est cet exercice, mais si tu es en première/terminale, peut-être pourrais-tu te pencher sur un tableau de variation, après avoir correctement retranscrit l'énoncé ?
D'après toi, quelle est la fonction à étudier ?
PS :
Dans l'ordre :
- Retranscription de l'énoncé (fonction ?)
- Calculatrice pour avoir une idée
- Méthode mathématique : tableau de variations :>
D'aprés moi cela donne ça (mais je suis pas sur) :Envoyé par MiMoiMolette
a>0
1/a>0
a+(1/a) = (a²/a)+(1/a) = (1+a²)/a >0
Arriver à ce stade je bloque et je ne vois vraiment pas ce que je peux démontrer de plus
Oui, tu as ta fonction.
a+1/a. Le but étant de déterminer a, tel que cette somme soit la plus petite possible. Donc a est considérée comme la variable.
Si tu traces sur ta calculatrice cette fonction, tu pourras voir s'il y a un minimum et "deviner" les variations de la fonction.
As-tu vu les dérivées de fonctions ?
Je n'ai pas encore fait les dérivés donc ça m'étonnerait que ce soit avec.
Tu dois trouver x + 1/x < M avec M fixé
Arranges toi pour te ramener à une inéquation du second degré
Merci de m'aider mais je ne comprend pas ce que tu veux dire, désolé.Tu dois trouver x + 1/x < M avec M fixé
Arranges toi pour te ramener à une inéquation du second degré
J'ai deja rencontré ce type d'exo, la solution est 1, et la somme devient 2 !
Méthode de fonctions (savoir les dérivées) :
f(x) = 1/x + x
f'(x) = -1/x² + 1
tu poses f'(x) = 0 tu trouve x = 1 ou -1 mais x est positif
Méthode équation :
1/x > 0
x+ 1/x > x
x² + 1 /x > 0
x est positif, d'ou x² + 1 doit être OBLIGATOIREMENT POSITIF !
x²+1 > 0 (ou égal) , x² + 1 = 0
x = 1 .
voila
Merci beaucoup de ton aide mais j'ai encore une question ^^
comment ça se fait que quand je trace ma courbe à la calculatrice le minimum de 1+a²/a le minimum sur [0;+infini[ est de 2, alors que pour toi il est de 1?
Bonsoir.
Non non, mx6 a bien dit :
Pour x=1, le minimum de la fonction vaut 2.
Duke.
Merci beaucoup pour votre aide...
Si x0 répond au problème, 1/x0 également, puisque si on échange x0 et 1/x0 on trouve la même équation . En effet : 1/(1/x0) = x0
Une solution est donc x0 = 1/x0 -> x0=1
Démontrer ensuite qu'elle est unique est un autre problème....
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
C'est faux. Là ce serait plutôt un maximum (enfin même pas, car ton inégalité est stricte !).Tu dois trouver x + 1/x < M avec M fixé
Arranges toi pour te ramener à une inéquation du second degré
Sinon une autre méthode (sans passer par les dérivées). On utilise pour cela la célèbre Inégalité Arithmético-Géométrique qui s'énonce comme suit (dans son cas particulier à 2 variables réelles positives) :
Soientet
avec égalité lorsque a = b.
En posant
qui est le minimum, obtenu lorsque
Salut,
Chose pas commune, je vais défendre patatoïde !!!!!!
Son idée n'est pas si mauvaise, j'ai eu le même réflexe que toi en la voyant. Le seul problème est qu'elle mène à un cul-de-sacC'est faux. Là ce serait plutôt un maximum (enfin même pas, car ton inégalité est stricte !).
"célèbre" inégalité arithmético-géométrique, je ne sais pas si elle est si célèbre...pour toi qui fais du hors-programme, peut-être.
Bon après, c'est possible que je me trompe
Bah "célèbre", peut-être pas au Lycée c'est vrai même si on peut la voir :
Nous savons que pour tout x réel :
Ainsi en posant
Mais on peut la voir au Lycée en étudiant les suites :
Si a,b et c sont en progression arithmétique dans cet ordre, alors
Si a,b et c sont en progression géométrique dans cet ordre, alors
Après, on peut aussi la voir en Statisques au Lycée je pense, puisque
Et surtout cette inégalité fait partie d'un théorème plus général dit "inégalité des moyennes" qui relie les moyennes les plus importantes (moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique) qui est quand même célèbre je pense.
Je n'ai pas remis en cause l'existence de cette inéquation ^^
Bon, je reposte, juste pour rebondir sur ça :
x² + 1 = 0 alors x = 1 ? o.OMéthode équation :
1/x > 0
x+ 1/x > x
x² + 1 /x > 0
x est positif, d'ou x² + 1 doit être OBLIGATOIREMENT POSITIF !
x²+1 > 0 (ou égal) , x² + 1 = 0
x = 1 .
C'est pire que ce qu'a fait patatoïde !!
Bonjour.
Je propose de résoudre x + 1/x = m où m représente le minimum que l'on cherche.
Pour cela,
1. il faut réécrire cette équation sous la forme d'un polynôme du second degré (sans oublier de préciser que x est non nul).
2. Détermier le discriminant qui sera fonction de m.
3. Le minimum de x + 1/x sera celui du polynôme du second degré déterminé au 1. (Bien garder en mémoire que x est positif.)
4. Le minimum du polynôme correspond à un discriminant nul
5. On déduit m.
6. On déduit x. (la valeur positive bien sûr)
Voilà.
Duke.
Pourquoi ?
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Bonjour danyvio,
[MODE_MANQUE_DE_RIGUEUR=ON]
Le sommet de la parabole (ici le minimum) a pour abscisse -b/(2a) soit celle qui correspond à la valeur de la "racine double" i.e. quand
[MODE_MANQUE_DE_RIGUEUR=OFF]
Duke.
Certes, mais je suis un peu géné par le fait, que, normalement, on constate que le polynome a une racine double en fonction de la valeur de delta. Ici, on "force" le paramètre m pour que delta = 0. Mais bon... Je réfléchis à une autre solutionBonjour danyvio,
[MODE_MANQUE_DE_RIGUEUR=ON]
Le sommet de la parabole (ici le minimum) a pour abscisse -b/(2a) soit celle qui correspond à la valeur de la "racine double" i.e. quand
[MODE_MANQUE_DE_RIGUEUR=OFF]
Duke.
Cordialement,
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Je propose une autre solution. Sachant qu'on a (grâce à la calculatrice) conjecturé que x=1 serait la solution de x+(1/x) minimal, soit donc la valeur 2, voici mon raisonnement.
Prenons un nombre 1+e avec e > -1 mais # 0.
Calculons V=(1+e)+ (1/(1+e))
V=((1+e)2+1) / (1+e) = (1 + 2e + e2+1) / (1+e)
V=(2+2e+e2)/(1+e)=2+(e2/(1+e))
Or e2/(1+e) ne peut être que > 0
Donc V > 2, et la valeur conjecturée x=1 est la bonne.
CQFD
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
slt tout le monde
si on m'a dit que une expression quelquonque est minimale ... comment je peut traduire ça mathématiquement???
Plus petite.
Exemple : le polynôme x²+1 est minimal pour x=0 (0²+1<=x²+1 quel que soit x).
Cordialement.
merci bien
