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Somme minimale.



  1. #1
    -^Jonathan^-

    Somme minimale.


    ------

    Salut tout le monde.

    On choisit un nombre strictement positif et on l'ajoute à son inverse. Quelle somme minimale peut-on obtenir?

    (Aide: on pourra faire une conjecture à l'aide de la calculatrice puis la démontrer.)

    Je bloque sur un exercice de maths depuis 2 jours et je n'arrive pas à avancer si quelqu'un pourrait m'aider... Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    MiMoiMolette

    Re : Somme minimale.

    Salut,

    J'ignore de quel niveau est cet exercice, mais si tu es en première/terminale, peut-être pourrais-tu te pencher sur un tableau de variation, après avoir correctement retranscrit l'énoncé ?

    D'après toi, quelle est la fonction à étudier ?


    PS :
    Dans l'ordre :
    - Retranscription de l'énoncé (fonction ?)
    - Calculatrice pour avoir une idée
    - Méthode mathématique : tableau de variations :>
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  4. #3
    -^Jonathan^-

    Re : Somme minimale.

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Salut,

    J'ignore de quel niveau est cet exercice, mais si tu es en première/terminale, peut-être pourrais-tu te pencher sur un tableau de variation, après avoir correctement retranscrit l'énoncé ?

    D'après toi, quelle est la fonction à étudier ?


    PS :
    Dans l'ordre :
    - Retranscription de l'énoncé (fonction ?)
    - Calculatrice pour avoir une idée
    - Méthode mathématique : tableau de variations :>
    D'aprés moi cela donne ça (mais je suis pas sur) :

    a>0
    1/a>0

    a+(1/a) = (a²/a)+(1/a) = (1+a²)/a >0

    Arriver à ce stade je bloque et je ne vois vraiment pas ce que je peux démontrer de plus

  5. #4
    MiMoiMolette

    Re : Somme minimale.

    Oui, tu as ta fonction.

    a+1/a. Le but étant de déterminer a, tel que cette somme soit la plus petite possible. Donc a est considérée comme la variable.

    Si tu traces sur ta calculatrice cette fonction, tu pourras voir s'il y a un minimum et "deviner" les variations de la fonction.

    As-tu vu les dérivées de fonctions ?
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  6. #5
    -^Jonathan^-

    Re : Somme minimale.

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message

    As-tu vu les dérivées de fonctions ?
    Je n'ai pas encore fait les dérivés donc ça m'étonnerait que ce soit avec.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    patatoïde

    Re : Somme minimale.

    Tu dois trouver x + 1/x < M avec M fixé
    Arranges toi pour te ramener à une inéquation du second degré

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  10. #7
    -^Jonathan^-

    Re : Somme minimale.

    Citation Envoyé par patatoïde Voir le message
    Tu dois trouver x + 1/x < M avec M fixé
    Arranges toi pour te ramener à une inéquation du second degré
    Merci de m'aider mais je ne comprend pas ce que tu veux dire, désolé.

  11. #8
    mx6

    Re : Somme minimale.

    J'ai deja rencontré ce type d'exo, la solution est 1, et la somme devient 2 !

    Méthode de fonctions (savoir les dérivées) :
    f(x) = 1/x + x
    f'(x) = -1/x² + 1
    tu poses f'(x) = 0 tu trouve x = 1 ou -1 mais x est positif

    Méthode équation :
    1/x > 0
    x+ 1/x > x
    x² + 1 /x > 0

    x est positif, d'ou x² + 1 doit être OBLIGATOIREMENT POSITIF !
    x²+1 > 0 (ou égal) , x² + 1 = 0
    x = 1 .

    voila

  12. #9
    -^Jonathan^-

    Re : Somme minimale.

    Merci beaucoup de ton aide mais j'ai encore une question ^^
    comment ça se fait que quand je trace ma courbe à la calculatrice le minimum de 1+a²/a le minimum sur [0;+infini[ est de 2, alors que pour toi il est de 1?

  13. #10
    Duke Alchemist

    Re : Somme minimale.

    Bonsoir.
    Citation Envoyé par -^Jonathan^- Voir le message
    ...comment ça se fait que quand je trace ma courbe à la calculatrice le minimum de 1+a²/a le minimum sur [0;+infini[ est de 2, alors que pour toi il est de 1?
    Non non, mx6 a bien dit :
    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    J'ai deja rencontré ce type d'exo, la solution est 1, et la somme devient 2 !...
    Pour x=1, le minimum de la fonction vaut 2.

    Duke.

  14. #11
    -^Jonathan^-

    Re : Somme minimale.

    Merci beaucoup pour votre aide...

  15. #12
    danyvio

    Re : Somme minimale.

    Si x0 répond au problème, 1/x0 également, puisque si on échange x0 et 1/x0 on trouve la même équation . En effet : 1/(1/x0) = x0

    Une solution est donc x0 = 1/x0 -> x0=1
    Démontrer ensuite qu'elle est unique est un autre problème....
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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  17. #13
    -Zweig-

    Re : Somme minimale.

    Citation Envoyé par patatoïde Voir le message
    Tu dois trouver x + 1/x < M avec M fixé
    Arranges toi pour te ramener à une inéquation du second degré
    C'est faux. Là ce serait plutôt un maximum (enfin même pas, car ton inégalité est stricte !).

    Sinon une autre méthode (sans passer par les dérivées). On utilise pour cela la célèbre Inégalité Arithmético-Géométrique qui s'énonce comme suit (dans son cas particulier à 2 variables réelles positives) :

    Soient et deux réels strictement positifs. Alors :



    avec égalité lorsque a = b.


    En posant et , avec un réel positif, notre inégalité se réécrit alors :



    qui est le minimum, obtenu lorsque .
    Dernière modification par -Zweig- ; 11/12/2007 à 19h22.

  18. #14
    MiMoiMolette

    Re : Somme minimale.

    Salut,

    Chose pas commune, je vais défendre patatoïde !!!!!!

    C'est faux. Là ce serait plutôt un maximum (enfin même pas, car ton inégalité est stricte !).
    Son idée n'est pas si mauvaise, j'ai eu le même réflexe que toi en la voyant. Le seul problème est qu'elle mène à un cul-de-sac

    "célèbre" inégalité arithmético-géométrique, je ne sais pas si elle est si célèbre...pour toi qui fais du hors-programme, peut-être.
    Bon après, c'est possible que je me trompe
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  19. #15
    -Zweig-

    Re : Somme minimale.

    Bah "célèbre", peut-être pas au Lycée c'est vrai même si on peut la voir :

    Nous savons que pour tout x réel : .

    Ainsi en posant nous avons :

    .

    Mais on peut la voir au Lycée en étudiant les suites :

    Si a,b et c sont en progression arithmétique dans cet ordre, alors .
    Si a,b et c sont en progression géométrique dans cet ordre, alors .

    Après, on peut aussi la voir en Statisques au Lycée je pense, puisque étant la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de a et b.

    Et surtout cette inégalité fait partie d'un théorème plus général dit "inégalité des moyennes" qui relie les moyennes les plus importantes (moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique) qui est quand même célèbre je pense.
    Dernière modification par -Zweig- ; 11/12/2007 à 19h35.

  20. #16
    MiMoiMolette

    Re : Somme minimale.

    Je n'ai pas remis en cause l'existence de cette inéquation ^^

    Bon, je reposte, juste pour rebondir sur ça :

    Méthode équation :
    1/x > 0
    x+ 1/x > x
    x² + 1 /x > 0

    x est positif, d'ou x² + 1 doit être OBLIGATOIREMENT POSITIF !
    x²+1 > 0 (ou égal) , x² + 1 = 0
    x = 1 .
    x² + 1 = 0 alors x = 1 ? o.O
    C'est pire que ce qu'a fait patatoïde !!
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  21. #17
    Duke Alchemist

    Re : Somme minimale.

    Bonjour.
    Citation Envoyé par -^Jonathan^- Voir le message
    Salut tout le monde.

    On choisit un nombre strictement positif et on l'ajoute à son inverse. Quelle somme minimale peut-on obtenir?

    (Aide: on pourra faire une conjecture à l'aide de la calculatrice puis la démontrer.)

    Je bloque sur un exercice de maths depuis 2 jours et je n'arrive pas à avancer si quelqu'un pourrait m'aider... Merci d'avance.
    Je propose de résoudre x + 1/x = m où m représente le minimum que l'on cherche.

    Pour cela,
    1. il faut réécrire cette équation sous la forme d'un polynôme du second degré (sans oublier de préciser que x est non nul).

    2. Détermier le discriminant qui sera fonction de m.

    3. Le minimum de x + 1/x sera celui du polynôme du second degré déterminé au 1. (Bien garder en mémoire que x est positif.)

    4. Le minimum du polynôme correspond à un discriminant nul

    5. On déduit m.

    6. On déduit x. (la valeur positive bien sûr)

    Voilà.

    Duke.

  22. #18
    danyvio

    Re : Somme minimale.

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    4. Le minimum du polynôme correspond à un discriminant nul
    Pourquoi ?
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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  24. #19
    Duke Alchemist

    Re : Somme minimale.

    Bonjour danyvio,
    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    4. Le minimum du polynôme correspond à un discriminant nul
    Pourquoi ?
    [MODE_MANQUE_DE_RIGUEUR=ON]

    Le sommet de la parabole (ici le minimum) a pour abscisse -b/(2a) soit celle qui correspond à la valeur de la "racine double" i.e. quand , non ?

    [MODE_MANQUE_DE_RIGUEUR=OFF]

    Duke.

  25. #20
    danyvio

    Re : Somme minimale.

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Bonjour danyvio,

    [MODE_MANQUE_DE_RIGUEUR=ON]

    Le sommet de la parabole (ici le minimum) a pour abscisse -b/(2a) soit celle qui correspond à la valeur de la "racine double" i.e. quand , non ?

    [MODE_MANQUE_DE_RIGUEUR=OFF]

    Duke.
    Certes, mais je suis un peu géné par le fait, que, normalement, on constate que le polynome a une racine double en fonction de la valeur de delta. Ici, on "force" le paramètre m pour que delta = 0. Mais bon... Je réfléchis à une autre solution
    Cordialement,
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  26. #21
    danyvio

    Re : Somme minimale.

    Je propose une autre solution. Sachant qu'on a (grâce à la calculatrice ) conjecturé que x=1 serait la solution de x+(1/x) minimal, soit donc la valeur 2, voici mon raisonnement.
    Prenons un nombre 1+e avec e > -1 mais # 0.
    Calculons V=(1+e)+ (1/(1+e))
    V=((1+e)2+1) / (1+e) = (1 + 2e + e2+1) / (1+e)
    V=(2+2e+e2)/(1+e)=2+(e2/(1+e))
    Or e2/(1+e) ne peut être que > 0
    Donc V > 2, et la valeur conjecturée x=1 est la bonne.
    CQFD
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  27. #22
    seviyorum_ben

    Re : Somme minimale.

    slt tout le monde
    si on m'a dit que une expression quelquonque est minimale ... comment je peut traduire ça mathématiquement???

  28. #23
    gg0

    Re : Somme minimale.

    Plus petite.

    Exemple : le polynôme x²+1 est minimal pour x=0 (0²+1<=x²+1 quel que soit x).

    Cordialement.

  29. #24
    seviyorum_ben

    Re : Somme minimale.

    merci bien

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