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Arithmétique : pgcd et parité



  1. #1
    michamaza

    Arithmétique : pgcd et parité


    ------

    Bonjour à tous,
    Est-ce que le fait que : pgcd(Sx;P)=x (avec S,x,P des entiers naturels quelquonques) montre que S et P sont premiers entre eux.
    En fait mon idée est que si S et P ne sont pas premiers entre eux, alors il existe forcément un diviseur de S et P supérieur à x...je sais pas trop si ça tient debout et surtour comment le démontrer ???
    Cela dit, S et P ne sont pas si quelquonques que ça puisqu'on sait que S = x+y et P = xy avec x et y des entiers naturels.
    Voilà...merci d'avences pour vos idées.
    ps : je vous demande pas de faire le problème à ma place !!!

    -----
    7 et 7 ça fais 15...hé oui tout augmente

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  3. #2
    mystik_57

    Re : Arithmétique : pgcd et parité

    poste quand meme ton probleme (on ne te donneras pas les reponses mais des pistes ...) car là j'ai rien compris

  4. #3
    michamaza

    Re : Arithmétique : pgcd et parité

    Citation Envoyé par mystik_57 Voir le message
    poste quand meme ton probleme (on ne te donneras pas les reponses mais des pistes ...) car là j'ai rien compris
    Bas pas compliqué. Démontrer que S et P sont premiers entre eux avec S = x + y et P = xy. On sait que x et y sont premiers entre eux.
    Mais il est demandé de tenir un raisonnement par l'absurde, donc je voulais démontrer qu'il est impossible que S et P ne soient pas premiers entre eux.

    Donc si S et P ne sont pas premiers entre eux alors il existe un diviseur c commun à S et P, avec c>1.
    Donc c|S et c|P, donc c|Sx.
    Donc pgcd(Sx,P)>1
    (Jusqu'à là c'est l'aide donnée par le bouquin, maintenant la suite de mon raisonnement).
    pgcd(Sx,P) = pgcd[(x+y)x;xy) = x pgcd(x+y;y) = x pgcd(x+y-y;y) = x pgcd(x;y)
    Or x et y sont premiers entre eux, donc pgcd(x;y)=1
    Donc : pgcd(Sx,P)=x

    Maintenant la question est de savoir comment prouver - si le début de mon raisonnement est utile - que cette situation est impossible.

    Voilà, j'espère avoir été clair.
    7 et 7 ça fais 15...hé oui tout augmente

  5. #4
    patatoïde

    Re : Arithmétique : pgcd et parité

    Yop!
    Sujet identique en page 2 ^^
    http://forums.futura-sciences.com/thread185942.html

    Lis les post un par un avant de courir à la fin si tu veux que cela soit efficace

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    MiMoiMolette

    Re : Arithmétique : pgcd et parité

    Mouarf !

    Est-ce que le fait que : pgcd(Sx;P)=x (avec S,x,P des entiers naturels quelquonques) montre que S et P sont premiers entre eux.
    En fait mon idée est que si S et P ne sont pas premiers entre eux, alors il existe forcément un diviseur de S et P supérieur à x.
    S et P sont premiers entre eux, alors pgcd(S,P) = 1.
    Si x est quelconque, ça ne veut rien dire...prends x = S. pgcd(S,P) = S signifierait que S divise P et donc, c'est tout sauf du premieragentreux.

    Pour ton idée, elle est, de facto, fausse.
    De toute façon, pour montrer que deux nombres ne sont pas premiers entre eux, il faut et il suffit de montrer qu'il existe un diviseur commun aux deux nombres strictement supérieur à 1.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  8. #6
    michamaza

    Re : Arithmétique : pgcd et parité

    Ok merci à tous...
    L'article qu'à cité patatoïde : http://forums.futura-sciences.com/thread185942.html m'a beaucoup aidé !
    A bientôt !
    7 et 7 ça fais 15...hé oui tout augmente

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